Souvenez-vous, il y a quelques temps de cela, un ingénieur retraité annonçait la chose suivante: les billets de grattage distribués par la Française des Jeux ne sont pas répartis au hasard puisque :

"Selon lui, dans chaque carnet de tickets, qui ont une valeur totale de 150 euros, il y a un tiers de petits lots (de 1 à 10 euros) afin de maintenir l’addiction des joueurs, les deux tiers restant étant perdants. Et quand sort un lot «significatif», supérieur à 20 euros, il n’y en a qu’un seul. Ce qui signifie que les joueurs qui acquerront un billet dans la fin du carnet n’ont plus aucune chance de gagner un gros lot. " ( Extrait de l'article de Libération.fr : le cauchemar de la Français des Jeux).

Robert Riblet, qui a accusé la Française des Jeux de "tricherie", est poursuivi par cette dernière pour "diffamation".

Mais alors y a-t-il ou non tricherie ?

Ce n'est pas à moi de répondre juridiquement à la question, ni d'établir si les procédures d'impression  et de répartition des billets dans chaque carnet, étaient suffisamment précises et si la communication laissant croire à la répartition "au hasard" était clairement définie par cette société pour qu'il n'y ait pas de "manipulation du hasard" possible par des tiers, ce qui serait rendu possible par le type de répartition annoncé par M. Riblet.

Mais qu'en est-il d'une répartition mathématique des nombres au hasard ?

Il suffit de faire une simulation numérique.

Utilisons un générateur de nombres aléatoires, celui d'Excel par exemple, dont il semble qu'il produise  des listes de nombres au hasard de très bonne qualité. Je vais lui faire établir 20 séries verticales de 150 nombres de 1 à 150 pris au hasard, chacun pouvant être choisi aucune , une ou plusieurs fois.

On pourra supposer qu'un carnet de ticket est composé de 150 tickets et que c'est le 1 qui gagne le gros lot. A-t-on mathématiquement , lorsque l'on distribue les nombres au hasard, une équi-répartition des tickets gagnants ( des 1 ) ? Où sont-ils ?

Il suffit pour cela de recopier dans Excel la formule =ENT(ALEA.ENTRE.BORNES(1;150))

En fait, toute personne connaissant un tant soi-peu "les règles du hasard" ( c'est peut-être paradoxal de parler de règles du hasard mais il en possède qui lui sont propres ), sait qu'une répartition homogène des tickets gagnants est impossible si ceux-ci sont répartis de façon aléatoire.

L'exemple suivant, que l'on peut reproduire à l'infini le montre. Prenons le 1 pour chiffre gagnant. Les séries verticales sont  composées de 150 chiffres choisis au hasard entre 1 et 150. Il n'y a pas 20 "tickets gagnants" ( le 1 en fait ) répartis chacun dans chaque colonne. Il y en a  dans cette série seulement 14 dont on voit que chaque colonne en contient de 0, 1, 2 ou 3. Dans les prochaines séries, il y aurait peut-être plus de tickets gagnants, de telle façon qu'au bout d'un très grand nombre de tirages, il y ait  quasiement autant de tickets gagnants ( les 1 ) que de tirages de 150 chiffres. Mathématiquement , la fréquence ( statistique ) de sortie du 1 converge inexorablement vers la probabilité ( théorique ) associée à son tirage qui est de 1/150. En pratique, on ne trouve cependant pas un "1" tous les 150 chiffres sortis. Il y a des séries de 150 chiffres sans aucun "1", certaines avec un "1", d'autres avec 2 ou 3 "1".

Dans l'exemple suivant de 20 séries de 150 nombres on a :

12 séries sans ticket gagnant

3 séries avec 1 ticket gagnant

4 séries avec 2 tickets gagnants

1 série avec 3 tickets gagnants.

On peut légitimement se demander si ce type de hasard brut est "plus acceptable" et  que celui décrit par M. Riblet. Dans tous les cas, il possède un avantage considérable sur une autre répartition. Il est absolument imprévisible. Ainsi on constate, par exemple, qu'au milieu des tirages, 4 séries successives de 150 nombres chacunes ne contiennent aucun ticket gagnant et que la série "Royale" avec 3 tickets gagnants ne se situe pas après, mais avant, ces quatre séries cauchemardesques, qui pourraient, comble de malchance, être livrée à la même civette!

Alors, attendons avec impatience, fin novembre, le verdict de ce procès du hasard, pour connaître la définition juridique du hasard puisqu'il semble que la Française des Jeux ne soit pas en accord avec sa seule définition mathématique.

La belle brochure de 45 pages en format PDF de l'exposition " Mathématiques et art" organisée par l'université Paris 12 est ICI

On y retrouvera les artistes suivants :

François APÉRY
Boris ASSANCHEYEV
Philippe CHARBONNNEAU
Jean-François COLONNA
Jean CONSTANT
Patrice JEENER
Bahman KALANTARI
Jos LEYS
Sylvie PIC
Philippe RIPS
John SULLIVAN

Lorsque

startshape pop

rule pop {
TRIANGLE{flip 10}
TRIANGLE{flip 0 b 1 s 0.99999}
3* {r (120)} pop{s .5 y .58}
}

produit

Et lorsque

startshape grid

rule grid {
10* {y 1} row {}
}
rule row {
10* {x 1} core {}
}
rule core .5  {
SQUARE {b -1 }
CIRCLE {b 1}
core {s .95}
}
rule core .5 {
SQUARE {b 1  }
CIRCLE {b -1}
core {s .95 }
}
rule core .001 {}

produit

Que

startshape earth


background {b -1}


rule earth {
globe { z 1 s 5 }
continent1 { z 2 s 1 y 0.31 x -0.6 rotate 180 alpha -0.7
}
cloud { z 3 s 0.9 y -0.54 x 2 rotate 90 }
}

rule globe {
CIRCLE { hue 204.8874 sat 0.7374 b 0.0575  }
globe { s 0.99 b 0.02 x 0.0045 }
}


rule cloud {
cloud1 {}
cloud2 {}
}

rule cloud1 {
CIRCLE { s 4 alpha -0.95 }
cloud1 { b 0.1 x 1.5 s 0.6 rotate 46 alpha 0.01}
cloud2 { b 0.2 y 1.4 s 0.8 rotate 43 alpha 0.01}
}

rule cloud2 {
cloud1 { b 0.2 x 1.3 s 0.8 rotate 12 alpha 0.01}
cloud2 { b 0.1 y 1.2 s 0.4 rotate 14 alpha 0.01}
}




rule continent1 {
TRIANGLE { s 2 hue 118.4956 sat 0.2747 b 0 skew 20 30 }
continent1 { b 0.01 x 0.58 y 0.78 s 0.35 rotate 55 }
continent1 { b 0.01 x 0.75 y 0.2 s 0.15 rotate 55 }
continent1 { b 0.01 x -0.0 y 0.75 s 0.78 0.37 rotate 37
}
continent1 { b 0.01 y -0.79 s 0.9  rotate 155 }
}

aboutit à

startshape TETESS

rule TETESS {9*{x 1.2}TETES{}}
rule TETES {9*{y 1.5}TETE{}}

rule TETE {FormeT{z -5}FormeY{s .3 y .2 z 5}FormeB{b 1 y
-.24}CHEVEUX{y .3 z -10}}

rule CHEVEUX 10{CHEVEUX{flip 90}}
rule CHEVEUX .5{CHEVEUX{flip 180 y -.5}}
rule CHEVEUX {100*{r 3.6}Sh3{x .1 s .15}}
rule CHEVEUX {15*{r -18 s .95}Sh3[r 150 x .2 s .2]}
rule CHEVEUX .2{60*{r 6}TRIANGLE{y .3 s .05 .6}}
rule CHEVEUX {30*{r 3 s .96}Sh6[r -60 x .15 s .15] 30*{r -3
s .96}Sh6[r 240 x .15 s .15]}
rule CHEVEUX .3{30*{r 6 s .9}TRIANGLE{y .3 s .05 .6}}
rule CHEVEUX {3*{r 9 s .9}Sh4[r 60 x .15 s .01]}
rule CHEVEUX {30*{r -6}Sh5[r 180 x .15 s .2]}

rule FormeT {FormeT{s .96}}
rule FormeT 10{FormeT{r 2}}
rule FormeT 10{FormeT{flip 90}}
rule FormeT 10{FormeT{flip 180}}
rule FormeT 10{FormeT{skew 1 .84}}
rule FormeT {ShT{}}

rule FormeY 3{FormeY{s .96}}
rule FormeY 5{FormeY{x .1}}
rule FormeY {FormeY{y .1}}
rule FormeY 10{FormeY{flip 90}}
rule FormeY 30{FormeY{r 1}}
rule FormeY 10{FormeY{skew 1 .84}}
rule FormeY {ShY{x -.5 s 1.1}ShY{x .5 s .9}}
rule FormeY {ShY{x -.4}ShY{x .4}}
rule FormeY {ShY{x -.5 s .8}ShY{x .5 s .8}}
rule FormeY {ShY{x -.4 s 1.15 z 1}ShY{x .4 s .85}}

rule FormeB 10{FormeB{flip 90}}
rule FormeB 10{FormeB{r 3}}
rule FormeB {Sh2{s .03}Sh2{s -.03 .03}}

rule ShT 3{CIRCLE{s .8 1.1}}
rule ShT 2{3*{y -.1}CIRCLE{y .15 s .8}}
rule ShT 2{5*{y -.1}CIRCLE{y .25 s .7}}
rule ShT 5{6*{y -.1 s .95}CIRCLE{y .25 s .78}}
rule ShT {8*{x -.05 r 2}Sh1{x .15 s .3 .27 r -7.5}}
rule ShT 2{8*{x -.05 r 2 s .98}Sh1{x .12 s .3 r -9}}
rule ShT 5{6*{y -.1 s .95 r 6}CIRCLE{y .25 s .78}}
rule ShT {9*{y -.06 r 9}CIRCLE{y .3 s .66}}

rule ShY 10{ShY{s -1 .95}}
rule ShY 10{ShY{s -.95 1}}
rule ShY 10{ShY{r 3}}
rule ShY {CIRCLE{b 1 s .3}}
rule ShY {CIRCLE{} CIRCLE{b 1 s .8 z .1} PUP{s .15 z .2}}

rule PUP 3{CIRCLE{}}
rule PUP {CIRCLE{s 2.4}CIRCLE{b 1 s 1}}
rule PUP 60{PUP{x .1}}
rule PUP 30{PUP{r 30}}

rule Sh1 {30*{y -.1}CIRCLE{y 1.5}}

rule Sh2 60{CIRCLE{}Sh2{x .1 r 2 }}
rule Sh2 1.5{}
rule Sh2 {Sh2{flip 180}}

rule Sh3 30{CIRCLE{}Sh3{x .1 r 2 s .97}}
rule Sh3 {Sh3{flip 180}}

rule Sh4 1000{CIRCLE{}Sh4{x .1 r .2 s .999}}
rule Sh4 {Sh4{flip 180}}

rule Sh5 {SQUARE{s 2 .1}}
rule Sh5 6{Sh5{s .9 1}}

rule Sh6 10{CIRCLE{}Sh6{x .1 r 1 s .98}}
rule Sh6 {Sh6{flip 180}}

arrive à représenter :

startshape snake_matrix

rule snake_matrix{
2*{y 10} snake_column{r 90 y 5 x 25}
4*{x 10} snake_column{z -1}    
}

rule snake_column{
3*{y 10} snake_with_bg{}
}

rule snake_with_bg{
CIRCLE{s 10 b 1}
snake{}
}

rule snake_with_bg{
CIRCLE{s 10 b 1}
snake{flip 180}
}

rule snake{
20*{r 18} element{y -4.5}
snake{s .8 r 9}
}

rule element{
SQUARE{s .7 1}
CIRCLE{s .5 1 x -.35 h 60 sat 100 b 0.82}
CIRCLE{s .5 1 x .35  h 216 sat 100 b 1}
}

Et que ces quelques lignes de code

startshape SF
background{b -1}

rule SF {
6*{r 60}ARM{ }
}
rule ARM {
SPHERE{ s 5 1}
ARM { x 3 s 0.6 r 32 alpha -0.03}
ARM {x 3 s 0.6 r -32 alpha -0.03}
}

rule SPHERE {
COLORING{ h 60 b 0.25 }
}

rule COLORING {
SHAPE{}
COLORING { x 0.001 y 0.001 z 1 s 0.99  b 0.05 hue 0.15
}
}

rule SHAPE {
CIRCLE{}
}

suffisent à faire :

Je dis qu'il est certainement intéressant d'aller voir d'un peu plus près ce qui se passe Là !

Un petit puzzle avec un dessin de Serge Cecconni à qui je fais un petit clin d'oeil. N'hésitez pas à passer sur son site très illustré ICI

L'adresse de ce puzzle est ICI , il y a plus de place que dans cette note et toutes les pièces sont visibles. Vous pourrez ainsi le réaliser en toute tranquillité.

Il est possible de créer un puzzle à partir de n'importe quelle image ICI

"Images des mathématiques" est une revue publiée par des mathématiciens de haut niveau rassemblant des articles dont l’ambition est de faire connaître, de manière précise et attrayante, des mathématiques en train de se faire, à des lecteurs scientifiques, en particulier des étudiants en mathématiques. Les blogs de maths se sont tous fait écho de cette double publication en 2004 et 2006. Les archives sont disponibles article par article ICI.

L'ancien site un peu désuet ICI s'est transformé en un site beaucoup plus dynamique ICI avec une publication d'articles associés à un code couleur suivant leur difficulté ( tiens j'ai déjà vu ça quelque part :) ), mais là il s'agit de descendre des pistes de ski de différentes couleurs. Pour l'instant elles sont vertes et bleues. J'espère que toutes les couleurs seront représentées et si je ne rechigne pas à me faire une petite noire au ski, je ne suis pas persuadé que mon niveau mathématique puisse me permettre une telle prouesse dans les pentes arides de cette discipline.

On trouvera aussi les billets des habitués et une rubrique  "Portraits de mathématiciens". On trouvera celui du très surprenant "Magic Diaconis" qui est passé de la magie en cabaret...à une chaire d'excellence en mathématiques !

Les blogs de maths n'ont pas été oublié et sont tous regroupés dans une catégorie "lien/blogs". C'est ainsi que je me retrouve tout près du lien pointant vers Alain Connes et Terry Tao. Et moi je dis où il y a de la gène, il n'y a pas de plaisir.

Mon avis est que tout cela va dans le bon sens. Il semble que la communication autour des mathématiques commence à réellement prendre son envol. Il est important qu'elle soit considérée comme une composante fondamentale dans le regard que pourra porter le grand public à cette discipline d'ici quelques années. Elle devra être diversifiée et s'adresser à des publics très différents du néophyte au spécialiste en passant par  l'amateur averti.

Les institutions de recherche et les universités se doivent de développer ces aspects afin que les "mathématiques" qui sont non seulement exigeantes et difficiles ne restent pas en plus invisibles ce  qui signerait presque leur arrêt de mort dans l'enseignement, d'autant plus que nous avons déjà vu que certains hommes politiques, y compris des scientifiques, peuvent franchir facilement le pas de l'extinction de l'espèce déjà presque en voie de disparition, sans beaucoup d'état d'âme!