Le problème se pose simplement et ne nécessite que des accessoires élémentaires:

Un carré de papier

Une paire de ciseaux

Un crayon

Une règle

Un compas

La question est de savoir si à l'aide de ces seuls instruments, il est possible de découper un carré en portions... permettant, en les recomposant, de former 3 carrés de plus petites dimensions.

En remplaçant le 3 par un 4 ou un 2, des réponses au problème posé sont quasi immédiates:

Pour recomposer un carré en 2 carrés, il suffit de faire apparaitre le carré central en reliant les milieux de ses cotés, et les quatre triangles rectangles externes  se réorganisent en un second carré de mêmes dimensions.

Le problème de la trisection est nettement plus ardu mais pas impossible, contrairement à celui de la quadrature du cercle, par exemple.

Le problème a été traité par Abu'l Wafa (940,998) pour répondre aux besoins du zellige. Les artisans de l'époque utilisaient des techniques de découpe. Celles-ci étaient très efficaces mais pas exactes d'un point de vue mathématique. Abu'l Wafa proposa une solution exacte  avec un morcellement du carré initial en 9 morceaux.

La construction est détaillée dans cet article (lire les commentaires pour la référence du problème inverse et historique).

Cette figure est à mettre en relation avec le motif suivant présent à la mosquée d'Ispahan en Iran:

Ce qui est intéressant avec la trisection d'Abu'l Wafa c'est qu'il s'agit d'un cas particulier de découpage de carré que l'on peut généraliser, en apportant en passant une démonstration originale du théorème de Pythagore. C'est ce qu'a montré Henry Perigal. Il a démontré que quelque soit la dimension du carré central, que l'on placera à l'extérieur de l'un des cotés droits du triangle rectangle, il est possible de réaliser le découpage d'un carré dont le coté est l'hypothénuse, en reconstituant le deuxième carré adossé à l'angle droit. Il fut tellement heureux de cette découverte qu'il la fit inscrire sur sa tombe.

Perigal résolut aussi le problème de la trisection du carré comme le montre l'animation suivante à partir du problème inverse: Comment former un carré à partir de trois carrés identiques?

Perigal's Three-Squares-to-One Dissection from the Wolfram Demonstrations Project by Izidor Hafner

 

Le problème de la trisection du carré fit bien d'autres adeptes qui construirent des solutions toutes plus originales les unes que les autres. Lucas, Yoshigahara et Frederickson s'y collerent.

En fait le découpage du carré en des carrés plus petits relève presque de l'art. Il est possible de se fixer des contraintes de plus en plus fortes:

minimisation du nombre de pièces

pièces de même aire

généralisation de la technique

C'est le résultat auquel est parvenu Christian Blanvillain aidé de Janos Pach. Leur solution comporte 6 pièces de même aire et donne une infinité d'autres possibilités par glissement.

Le début du raisonnement de C. Blanvillain et J. Pach démarre sur une solution fausse utilisée par les artisans avant Abu'l Wafa.

 

L'erreur commise est d'environ 1,7%, ce qui justifie pleinement son utilisation par les artisans du Xème siècle.

L'idée est de rompre la parfaite symétrie de la bande centrale, de la décaler, de faire glisser le carré central et d'utiliser une symétrie centrale:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tous les points utiles au tracé s'obtiennent à la règle et au compas.

 

 

La recomposition des 3 carrés se fait de la façon suivante:

 

 

L'historique de la trisection du carré et les explications de celle de Christian Blanvillain sont détaillées dans un article qu'il a déposé sur Arxiv.

Images sauf gif animé: C. Blanvillain
Animation gif: O. Leguay et fichier original ICI

 

Wolfram permet dorénavant d'embarquer les animations du Wolfram Demonstration Project sur un blog, un site ou tout autre support numérique. Il suffit pour le lecteur d'installer gratuitement le player pour les visualiser.

Les objectifs de la base de données tilingsearch sont:

D'offrir une collection complète de motifs géométriques et de pavages du plan

De déterminer un motif à l'aide de ses propriétés géométriques

D'offrir les explications pour chaque motif

Il est possible de parcourir cette base de données de plusieurs façons:

Aléatoirement

Par un arbre de choix des propriétés géométriques

Par un questionnaire simple ou plus approfondi

Source: UREM

Je remarque à chaque début d'année, la  difficulté d'élèves concernant leurs apprentissages mais aussi la mienne pour les aider. Je dirai même que malgré l'hypertrophie communicationnelle des cours, il est difficile de remédier facilement à des situations individuelles, d'engager et d'orienter l'élève dans une dynamique de changement. Pire, on se croirait parfois presque au pays de Lewis Carroll, dans lequel l'incommunicabilité est la règle. Un mot et l'élève se recroqueville, deux mots il acquiesce sans tenir et trois il décroche du discours comme une goutte d'huile glissant sur le verre.

Alors comment établir une communication positive, échanger de l'information, aider l'élève en dehors de la classe dans ses apprentissages, le motiver, l'aider à se comprendre? Et cela dans un temps très contraint par les exigences scolaires.

J'ai commencé par travailller sur les compétences mais j'ai vite buté sur l'impossible transmission exhaustive de l'information et surtout sur le difficile retour de la part des élèves durant les cours. Alors j'ai développé un concept beaucoup plus simple autour d'un jeu de cartes.

Initialement vierges, j'ai complété les cartes de façon manuscrite avec les termes suivants:

• Persévérer
• Se lancer des défis
• Se réguler
• Se motiver
• Avoir le sentiment d’être efficace
• Avoir une bonne estime de soi
• Eviter d’éviter
• Gérer l’anxiété
• Eliminer les distractions
• S’organiser
• Se questionner
• Se fixer des buts intermédiaires
• Se concentrer
• S’évaluer correctement
• Questionner
• S’engager
• Ma force
• Ma faiblesse 

Les règles du jeu sont assez simples. Voici le texte que j'ai rédigé et que je place dans l'enveloppe contenant les cartes distribuées. 

1. Vous êtes en possession de cartes. Deux d’entre elles sont à compléter.
2. Vous devez me rendre (dans l’enveloppe à votre prénom ou de la main à la main), les cartes qui ne vous concernent plus, c’est-à-dire celles dont vous pensez que vous possédez la capacité durable de conduire l’action qui y est mentionnée.
3. Par exemple si vous me rendez la carte « Eviter d’éviter », c’est que vous ne faites pas ou ne faites plus appel aux stratégies d’évitement, que vous affrontez les situations scolaires qui se présentent à vous, et cela de façon durable.
4. Toute carte rendue l’est de façon définitive. Impossible de revenir en arrière, c’est-à-dire qu’il faut être certain que vous possédez réellement la compétence qui est mentionnée de façon définitive (jusqu’à la fin de l’année scolaire).
5. Vous pouvez illustrer et annoter les cartes que vous me rendez. C’est une possibilité, pas une obligation.
6. Vous pouvez me rendre les cartes de façon confidentielle dans l’enveloppe jointe à votre prénom - je vous en redonnerai une - ou de la main à la main.
7. Ce jeu est sans témoin et confidentiel, c’est-à-dire que personne d’autre que nous n’aura accès aux informations qui en ressortiront.
8. Si vous gardez des cartes jusqu’à la fin de l’année, je vous demanderai néanmoins de me les restituer le dernier jour de classe.
9. Vous pouvez me rendre les cartes à votre rythme, le tout étant que cela corresponde vraiment à la réalité.
10. Vous pouvez joindre un écrit aux cartes rendues pour vous exprimer.

L'idée sous-jacente est assez simple: 
Les cartes rendues constituent une description de l'élève qui m'autorise de le définir ainsi. Les cartes restant en sa possession sont une invitation à poursuivre le travail de réflexion , de transformation et d'évolution. 

Un carré et un triangle équilatéral ont le même périmètre. Quel est le rapport des aires des cercles circonscrits?