La théorie des catégories est une branche des mathématiques du 20e siècle qui d’une part a vu des applications mathématiques du premier rang mais qui d’autre part s’est trouvée au centre de débats philosophiques controversés. Dans le but de d’abord comprendre et puis éclaircir autant que possible cette situation inhabituelle et insatisfaisante, la théorie a fait l’objet d’une étude profonde, aussi bien historique que philosophique.

Le concept de catégorie dont on parle ici a été introduit par Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane en 1945. Une telle catégorie comporte deux collections, celle des objets et celle des morphismes ; le plus souvent, il s’agit d’objets typiques de la mathématique des structures (comme les ensembles, les groupes, les espaces topologiques etc.) avec les fonctions liant deux objets (applications d’ensembles, homomorphismes de groupes, fonctions continues d’espaces topologiques etc.). Du concept de composition des morphismes, obéissant à certains postulats, dérive une multitude d’autres constructions.

La théorie a été introduite en topologie algébrique, discipline mathématique qui, remontant à Henri Poincaré, met en œuvre des objets algébriques (dont les groupes dites d’homologie sont les plus importants) dans l’étude d’espaces topologiques. Dans le contexte d’Eilenberg et Mac Lane, il s’agissait d’étudier l’opération d’appliquer un espace sur un autre à l’aide d’une fonction continue, et les effets de cette opération sur les groupes correspondants. Ici, la théorie des catégories sert surtout à exprimer ces effets sans toutefois apporter de résultats tout à fait nouveaux.

L'intégralité de l'article sur Le Mensuel de l'université : ICI

L'article original : ICI

Jusqu'à présent, les travaux en physique statistique n'avaient permis de calculer le temps de premier passage que pour des systèmes à géométrie simple ou pour des milieux homogènes. Aujourd'hui, ces même chercheurs du Laboratoire de physique théorique de la matière condensée proposent une théorie qui permet d'évaluer le temps moyen de premier passage pour une très large classe de situations : le transport dans des structures fractales, des milieux désordonnés, des réseaux complexes (présentant de nombreuses connexions à partir d'un point donné, par exemple Internet) ou encore dans les cas de diffusion anormale (quand le déplacement quadratique moyen n'est pas proportionnel au temps). À la base de cette théorie se trouve une interprétation physique des termes des équations qui caractérisent ces situations. Cette interprétation a conduit les chercheurs à un modèle d'approximation. Résultat : ils ont montré que le temps moyen de premier passage dépend en fait simplement du volume du système et de la distance entre les points de départ et d'arrivée. Pour tester leur théorie, les chercheurs ont fait des simulations numériques sur les différentes classes de situations mentionnées plus haut. La théorie est en bon accord avec les temps réels observés.

Ils poursuivent maintenant leurs travaux sur les temps de réaction des biomolécules dans leur milieu, directement corrélés au temps de première rencontre entre réactifs.

Article du 31 octobre 2007 du CNRS : ICI

Un précédente note sur "la marche de l'ivrogne" : ICI

curiosphere.tv est une vidéothèque destinée à l'éducation. On y trouvera ICI toutes les vidéos qui répondent au mot clé "mathématiques". Pour les intégrer à un blog, il faut remplir un formulaire, ce  que je n'ai pas encore fait...

On y verra, par exemple Denis Guedj, principalement connu pour son roman mathématique Le théorème du perroquet, l'un des tous premiers du genre, dans les vidéos suivantes :

On nait plus ou moins doué en maths

Les mathématiciens sont des êtres un peu fous

Les maths, ça ne sert à rien!

Les maths et la philo, ça n'a rien à voir

En maths, tout a été démontré
 

L'université Libre de Liège propose "reflexions" un site dédié à la vulgarisation. Voilà la présentation qu'en fait le Recteur :

Les deux missions principales des universités, leurs raisons d'être, sont la recherche et l'enseignement, le second trouvant toute sa qualité dans la première. Les enseignants, dans une université, sont avant tout des chercheurs qui enseignent.

Reflexions symbolise parfaitement ces deux objectifs: partager avec chacun le fruit de la recherche à l'ULg.

La recherche au sein de l'ULg génère de très nombreuses découvertes, elle contribue de manière significative à l'avancement des connaissances dans le monde mais, trop souvent, ces contributions à l'Humanité restent seulement connues des spécialistes: le grand public, ainsi que les membres de l'Université qui travaillent dans d'autres domaines, ignorent généralement l'excellence et l'originalité des découvertes liégeoises.

Reflexions assure désormais ce rôle. Les travaux des chercheurs de l'ULg y sont exposés, expliqués, remis en perspective par rapport à l'état du savoir dans le monde en la matière et leur contribution originale à l'évolution des connaissances ou leur compréhension seront clairement mis en évidence.

Reflexions est une vitrine de l'ULg, de sa science et de la qualité de sa transmission. C'est un hommage au travail et à l'inventivité des chercheurs liégeois.

Quelques articles concernent les mathématiques, l'un d'entre eux s'intitule "Raz de marée sur l'ADN":

Outil mathématique performant, les ondelettes ont déjà révolutionné le monde de la transmission des images en permettant le programme JPEG 2000. Samuel Nicolay a, quant à lui, choisi d’appliquer les ondelettes au domaine de la biologie. Avec des résultats très prometteurs. C'est ICI

On  trouvera aussi sur ce site, d'autres articles de vulgarisation, sur les sciences comme par exemple la physique du tas de sable, mais aussi par exemple sur la présomption d'innocence, Stendhal, la géographie de l'énergie. Bonne lecture.

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