Résolution de la Conjecture de Rota, un problème mathématique de plus de 40 ans
Une équipe de mathématiciens a résolu un problème, posé pour la première fois, il y a plus de 40 ans et qui jusqu'à présent déconcertait les mathématiciens modernes.
Le professeur Jim Geelen de l'Université de Waterloo et ses collègues, le Professeur Bert Gerards du Centrum Wiskunde & Informatica et de l'Université de Maastricht aux Pays-Bas, et Professeur Geoff Whittle de l'Université Victoria de Wellington en Nouvelle Zélande ont réussi à prouver la fameuse conjecture de Rota. Les trois chercheurs ont travaillé pendant près de 15 ans sur la résolution de ce problème posé par le mathématicien et philosophe Gian-Carlo Rota en 1970. Un peu plus tôt cette année, le trio a complété la dernière étape de ce projet.
La Conjecture de Rota fait référence à un domaine spécialisé des mathématiques, la théorie des matroïdes, une forme moderne de géométrie instaurée par le célèbre mathématicien de Waterloo Bill Tutte. Cette théorie examine l'implantation de structures géométriques abstraites, ou matroïdes, dans des cadres géométriques concrets, autrement dit les géométries projectives dans un corps fini donné. La conjecture est que, pour tout corps fini, il existe une liste finie de mineurs exclus caractérisant les matroïdes représentables sur ce corps. Cette conjecture a été posée par Rota au Congrès International des Mathématiciens en 1970, étrange coïncidence, une semaine avant la naissance du Professeur Geelen.
D'après le Professeur Geelen, "La partie la plus enrichissante du projet a été la collaboration avec Bert et Geoff. Nous travaillons ensemble trois fois par an, pour une période de trois semaines, soit ici à Waterloo, soit en Nouvelle Zélande, soit aux Pays-Bas. Ces visites sont intenses ; nous nous asseyons ensemble dans un bureau, tous les jours, toute la journée, devant un tableau blanc. Les discussions peuvent parfois être très animées, tandis qu'à d'autres moments, lorsque nous n'arrivons pas à avancer, nous pouvons rester deux heures sans parler, chacun pensant à des manières de franchir l'obstacle. "
En 1999, Geelen, Gerards et Whittle ont joint leurs forces pour travailler sur la Conjecture de Rota, ainsi que pour généraliser la célèbre Théorie des Mineurs de Graphes développée par Robertson et Seymour. Les chercheurs ont complété l'année dernière leur Théorie des Mineurs de Matroïdes, ce qui leur a donné une vision profonde de la structure des matroïdes. La preuve de la conjecture de Rota dépend de la puissance de cette théorie et nécessitait, en plus, de nouveaux résultats révolutionnaires sur la connectivité des matroïdes.
D'après le trio, le véritable travail a réellement commencé en début de cette année, quand ils ont commencé à rédiger le résultat de leurs travaux. La Théorie des Mineurs de Graphes en elle-même a rempli plus de 600 pages de journal, et la Théorie des Mineurs de Matroïdes sera au moins aussi longue. L'équipe prévoit que l'écriture prendra au moins 3 ans.
Jim Geelen est Professeur au Département of Combinatorics and Optimization de l'Université de Waterloo et est titulaire d'une Chaire de Recherche du Canada. Il a reçu plusieurs distinctions telles que le Prix Fulkerson, une bourse Sloan et le Prix Coxeter-James.