Inclassables Mathématiques Le blog 2.0

Même si je ne dispose pas des connaissances suffisantes pour émettre un avis sur le sujet, j'ai apprécié le billet de David Madore, certes très technique, De quoi parlent les mathématiques?, abordant la problématique du codage des mathématiques.

On y retrouvera les acteurs principaux que sont ZFC, Peano et Gödel.

J'adore....

On dit des stéréotypes qu'ils ont la vie dure, mais il en est au moins un qui serait en train de changer: l'idée selon laquelle les garçons seraient meilleurs que les filles en mathématiques n'aurait plus cours chez les adolescents de 14 à 16 ans. Même que la perception favorable aux garçons serait en train d'être renversée au profit des filles.

C'est ce que montrent les travaux de doctorat d'Isabelle Plante, réalisés au Département de psychopédagogie et andragogie sous la direction de Manon Théorêt et Olga Favreau.

La doctorante a voulu savoir qu'elle était l'opinion des élèves d'aujourd'hui à l'égard de deux perceptions qui seraient les produits de stéréotypes sociaux: les mathématiques comme discipline où les garçons réussissent mieux que les filles et le français comme chasse gardée des filles. «Les choses étaient perçues ainsi dans les années 70, mais on ne savait pas comment les jeunes voient les choses à présent, souligne Isabelle Plante. Mes travaux sont les premiers à revoir ces stéréotypes.»

Revirement en mathématiques

Près de 1000 garçons et filles francophones de 6e, 8e et 10e année ont accepté de répondre à 32 questions sur chacune des deux disciplines.... La suite sur le site de l'Université de Montréal

Une excellente animation sur le sujet de la mesure d'un arc de méridienne par Delambre et Méchain à la fin du XVIIIème siècle.
On pourra compléter par le travail de l'IREM d'Orléans sur la Méridienne.

On peut aussi, à l'occasion, rappeler l'existence du livre de Denis Guedj - La méridienne. Impossible d'en dire plus car je ne l'ai pas encore lu.

Une découverte ABC Maths

Trois jours de stage et six heures de train pendant lesquelles j'ai dévoré ce livre. Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de Philosophie 2007 décerné par l'Académie Française. Je ne connais pas les autres lauréats mais pour ce qui est de ce livre je pense que la philosophie a vraiment trouvé du grain à moudre pour quelques années dans ces métamorphoses numériques.

Au début du livre, j'étais en territoire connu mais j'ai déjà lu beaucoup de livres sur l'histoire des mathématiques alors j'ai pensé, tiens encore une histoire des maths. C'est vrai pour le tout début du livre mais la première partie est nécessaire à quiconque ne maîtrise par bien ce sujet afin d'introduire la logique des prédicats.

Et puis dès la cinquantième page, je vois apparaître mon copain Kant et ses jugements synthétiques à priori. Alors je commence à me dire que ça va cogner. On pourra d'ailleurs lire le documents suivant : La philosophie des mathématiques de Kant . Quel est le problème?

Kant propose deux types de jugements :

Analytique si une proposition est vraie par définition comme "un triangle à trois cotés".

Synthétique si la propostion est vraie sans que ce soit une définition. Par exemple "La terre a un satellite" . Ce jugement peut être a priori si on peut le concevoir dans la tête ou a poseriori s'il faut une intéraction avec la nature.

Les jugements analytiques semblent quant à eux exclusivement à priori.

Pour Kant le raisonnement se situe dans les jugements synthétiques à priori mais c'est là que ça coince par ce que ce n'est pas aussi simple que ça!

Le "simple", 2+2=4 pose problème. Frege va d'ailleurs montrer que 2+2=4 peut se déduire de la définition des nombres entiers et doit être classé parmi les jugements analytiques et non parmi les jugements synthétiques à priori.

On voit déjà poindre à l'horizon une problématique philosophique centrale concernant les mathématiques, leur constitution et leur évolution. Se constituent-elles au sein d'elles mêmes auquelles cas elles sont analytiques à partir des simples définitions. Relèvent-elles du jugement synthétique à priori ou doivent-elles aller chercher des éléments dans la nature pour se construire.

Il est inutile de vouloir répondre simplement à ces questions qui dépendent de l'évolution des mathématiques elles mêmes dont le pivot central est certainement la thèse de Church des années 30, affirmant l'identité entre la notion de calcul "informatique et la notion "commune " de calcul que nous avons.

En avançant encore un peu dans le livre on voit apparaitre l'idée selon laquelle Démonstration = Algorithme et puisque la thèse de Church nous donne Algorithme = Calcul, on a donc l'identité Démonstration = Calcul. Il devient donc nécessaire de distinguer les notions de démontrable et d'explicatif, ce qui est loin d'être facile pour les mathématiciens. La longueur des démonstrations est aussi abordée, avec par exemple la problèmatique suivante : Peut-on démontrer qu'un problème démontrable possède une démonstration "courte"?

Philosophiquement le sujet est dense!

D'autant qu'à la fin de l'histoire une surprise de taille nous attend avec un retour nécessaire à la nature... Mais je n'en dis pas plus.

Ce qui m'a aussi passioné dans le livre est le traitement du rapport du mathématicien et de la machine, de ce nouvel outil qui lui est maintenant indispensable. L'auteur s'interroge aussi sur le fait que l'ordinateur du mathématicien est le même que celui de Mme Michu, sauf bien sûr si les calculs sont vraiment très très longs et demandent un super-calculateur pour pouvoir être faits  en un temps "raisonnable". Il est intreressant de comprendre quelles est la place de l'ordinateur-machine à coté du mathématicien-humain.

J'ai extrait quelques courtes citations vers la fin du livre qui me semblent assez explicites sur les métamorphoses du calcul qui est le sujet du livre et donc des mathématiques elles-mêmes:

En 1976, les mathématiques sont entrées dans la période instrumentée de leur histoire. Les instruments utilisés par les mathématiciens, ne sont pas des instruments qui prolongent les facultés de nos sens, mais qui prolongent les capacités de notre entendement: notre faculté de raisonner et surtout, de calculer. ( p 182 )

L'utilisation d'instruments commence, de même à changer, les mathématiques. ( p 182 )

La maquette sur laquelle on fait l'essai est donc une machine à résoudre un problème mathématique,[...] (p 188)

L'entrée des mathématiques dans leur ère instrumentée incite donc, non à accorder une confiance excessive dans les instruments utilisés, mais à restreindre prudemment la confiance parfois exagérée, que nous avons en nous-mêmes: nous aussi nous pouvons faire des erreurs. (  p 191 )

Podcast de Gille Dowek sur le livre et sur Canal-Académie

Pour compléter :

Des p'tits problèmes de coloriage ( autour du théorème des quatre couleurs)

tice et mathématiques

Après l'histoire de la réforme des lycées discutée-détestée-discutée-repoussée-abandonnée-édulcorée, les commentaires d'origine diverses affluent alors que le président de la République vient de prendre la parole. On pourra suivre quelques unes  des péripéties en appuyant sur le bouton...

Réformes

Et Le Monde de trouver le coupable, ce n'est pas difficile c'est toujours le même: c'est la faute aux mathématiques ! Tiens c'est vrai pourquoi n'y a-t-on pas pensé plus tôt? Ah mais si on y a pensé mais c'est Le Monde qui n'est pas tout a fait au courant que les filières C et D n'existent plus et que les exigences associées à la matière ont été entièrement revisitées depuis 20 ans maintenant. Les endomorphismes et autres applications linéaires ne figurent plus au menu de nos chères têtes blondes depuis bien longtemps. Maintenant en maths on mange bio et équilibré (un peu light?) dans le système scolaire français.

D'ailleurs, les temps changent et les commentateurs (abonnés) de l'article l'ont bien remarqué  et ils ne sont plus vraiment en phase avec cette idée. La plupart des commentaires sont négatifs vis à vis du contenu de l'article. Il va falloir changer de rhétorique messieurs les journalistes du Monde!

La réaction des abonnés.

La page du Café Pédagogique

Après la version 2 voilà la version 4 du célèbre "Did you know ?"

Source : PédagoTic

L'évaluation est un art difficile, comme l'indiquent de nombreux billets dont celui de Missmath très récemment. Les buts visés ne sont pas nécessairement compatibles. L'évaluation doit faire sens pour infléchir les pratiques de l'élève de façon positive, elle doit viser à ne pas le décourager car dans ce cas elle est contre-productive et elle classe les élèves en vue d'optimiser leur orientation.

En classe, l'élève se retrouve souvent dans le schéma suivant: attente de la date du contrôle+contrôle+attente de la note+note+attente de la date du prochain contrôle..., l'investissement étant commandé par l'objectif visé et le sentiment d'efficacité personnelle de l'élève dans la discipline en question.

Comment donc créer un système d'évaluation continue, plutôt positif mais pas trop, qui soit facilement lisible par les élèves et réalisable par l'enseignant, et qui de plus ne cadence pas sans cesse le temps par de longues périodes d'attente (d'un contrôle ou d'une note)?

J'avais déjà réfléchi à la question dans un précédent billet "Evaluation dynamique, différentielle et par compétences" en construisant un flux de petites notes. L'idée était bonne mais incomplète car je ne pouvais guère donner une note globale aux élèves qu'en fin de trimestre. Il m'était donc difficile d'avoir un discours sur les notes car celles-ci restaient trop longtemps en ma possession. L'élève ne la voyait que sur le bulletin lorsque j'en avais fait l'obscure moyenne. J'avais aussi beaucoup de difficultés à distinguer l'élève qui me donnait des travaux facultatifs de celui qui n'en donnait aucun. Le choix d'un coefficient plus ou moins important était mon seul levier et il était difficile à manoeuvrer.

J'ai eu l'idée pour cette année de faire évoluer, non pas le système d'évaluation que j'ai trouvé très performant mais la façon dont il produit des notes. Je souhaitais un système de production d'un flux évaluatif dans lequel je pourrai extraire des notes en nombre suffisant et faisant sens pour les élèves. Je crois avoir trouvé une piste prometteuse.

Il faut d'une part s'entendre sur ce que j'évalue dans ce flux. Il ne s'agit pas des travaux de synthèse mais de travaux très brefs (5 à 7 mns) réalisés en classe ciblant un objectif très précis, des devoirs faits en temps libre en dehors de la classe, des travaux facultatifs dont seuls ceux qui sont réussis sont comptabilisés, de compétences évaluées en cours, de l'attitude générale en face de l'activité de la discipline.

Pour que le flux évacue une note en direction de l'élève il lui faut en faut quatre. La plus basse est rayée. La moyenne des 3 autres donne la note en direction de l'élève. Les 2 notes les plus fortes sont rayées et il reste la 3ème en mémoire. On répète l'expérience.

Pourquoi ce système me semble bon ?