Quelle drôle de société qui fait croire à ses enfants  qu'il est facile d'être une star de football et à ses adultes qu'on peut se passionner pour ce sport sans le pratiquer.

Alors que cette même société fait comprendre à ses enfants que les mathématiques sont très difficiles et à ses adultes, qu'il est impossible de se passionner pour les histoires qu'elles racontent sans les avoir pratiquées pendant de très nombreuses années!

J'avais commencé l'histoire un peu romancée de Li Shanlan. Je me suis appuyé sur un article de Jean-Claude Martzloff dans la revue Pour la Science de Mai 1988, et je cherchais depuis tout ce temps plus de renseignements disponibles sur le Web que les liens que je vais fournir. Le début de l'histoire de Li est ICI et la suite ICI,  l'histoire se termine juste avant qu'il n'échoue à la licence. Notez que les conditions décrites sont réelles, c'est ainsi qu'avait vraiment lieu le concours ( voir à ce sujet, le document Word passionnant "Pratique des examens littéraires en Chine" :  ICI ) .

Vous trouverez sa biographie complète en anglais ICI

Quelle fut l'oeuvre mathématique de cet homme autodidacte dont l'échec à l'examen triennal de la licence sonna le début de sa carrière mathématique alors qu'il était littéraire ?

En 1867, à 56 ans il fit paraître la collection de ses oeuvres intitulées " Les mathématiques du studio voué à l'imitation des Anciens".

Le traité Duoji bilei ( somme finie d'entiers ), dans lequel il présente la formule de Li Renshu ( c'est lui ) est déconcertant: pas de théorèmes, pas de définitions, pas de démonstrations! La langue utilisée est celle du XIIIème siècle et les formules sont justes...
On y reconnaît les nombres eulériens, les nombres de Stirling de première espèce. La traduction du texte laisse apparaitre entre des tas de petites billes et des petits cubes représentants des nombres figurés, des formules dont aucune trace n'apparaît avant 1867 pour la formule dite de Li Renshu et avant 1883 pour la formule dite de Worpitzki. Le style et la présentation très personnels de Li Shanlan décontenancèrent les premiers historiens. Li indique qu'il voulu présenter son travail avec clarté tout en restant fidèle au style traditionnel, ce qui rend impossible d'établir les démonstrations de ses résultats dans une forme qui nous est familière.
La logique du Duoji bilei serait plus d'ordre heuristique que formel. Beaucoup d'indices convergent dans ce sens : abondance des généralisations à partir d'exemples, mises à profit des ressemblances de situations proches, procédés de suggestion des résultats.

Li Shanlan a su utiliser à merveille le Triangle de Pascal ( voir notes et références de l'article de Wikipédia ) et eut l'idée des triangles de Pascal généralisés. Sans expliquer comment il s'y prend pour calculer des sommes complexes d'entiers, il ne se trompe pourtant jamais dans les formules, ce qui montre qu'il savait vraiment s'y prendre.

Fooplot est extrêmement simple et vous permet de représenter 5 fonctions sur le même graphique en quelques opérations élémentaires - déplacement du repère, zoom avant arrière, changements d'échelles,  avant de sauvegarder le résultat sous plusieurs formats possibles PDF, PNG, EPS et SVG.

C'est ICI

Les horizontales se rencontrent dans tous les milieux, les parallèles jamais.

Si vous ne connaissez pas le Yi-king, lisez cette note : ICI

Interprétation : 2 traits rigides entourés par 4 souples font penser au trigramme de l'eau où la lumière est enfermée par l'obscurité extérieure et dominante. Cet hexagramme, agrandissement du trigramme de l'eau nous incite à la prudence, celle de l'eau, symbole des plus grandes peurs et des plus grands dangers mais aussi source de vie. Les deux traits lumineux sont minoritaires et intérieurs, ils sont comme prisonniers et toute tentative de mouvement entrainerait rapidement leur perte, leur destruction. Il s'agit donc d'adopter une attitude humble en attendant que la situation évolue. Cet hexagramme représente en quelque sorte la résignation de la faiblesse devant le plus nombreux, le plus puissant, l'incapacité d'atteindre rapidement quelque levier de changement positif mais aussi une grande volonté à demeurer dans l'action,  qui par sa constance va ammener inéluctablement à ce que la situation évolue. Le Tonnerre, au dessus de la Montagne se fait entendre, il se fait voir, le tremblement de terre fait vibrer la Montagne, mais celle-ci reste immuable à notre échelle et il serait vain de croire que la force du Tonnerre et de la germination puisse avoir une quelconque influence sur la montagne. Mieux vaut poursuivre l'action modérée sans attendre une modification profonde et immédiate de la situation.  L'hexagramme 62 représente à mes yeux l'image du travail de l'ombre, de toutes ces forces qui agissent positivement et de façon souteraine en attendant que les circonstances soient plus favorables pour atteindre leur maturité et apparaître au grand jour.

Commentaire:

La première idée qui m'est venue lorsque j'ai réfléchi à cet hexagramme est celle du catalyseur, cette substance rajoutée en quantité limitée qui permet à une réaction d'avoir lieu tout en n'étant pas consommée par celle-ci. Ce catalyseur peut même servir à la cicatrisation des ailes d'avions ou des pales d'éoliennes, mais si celui-ci est trop onéreux, son usage est abandonné, le "faible" ne doit pas trop en demander. Le matériau devient ainsi comme vascularisé. L'éclairage se fait à l'intérieur de la matière, matière auparavant obscure qui est maîtrisée de l'intérieur. Les recherches sur les nanotubes sont à l'origine de ces progrès. Les mathématiques, toujours discrètes ( sans jeu de mot ! ) ne sont pas étrangères à cette meilleure compréhension, elles interviennent, via l'informatique, dans la modélisation des matériaux nano-structurés. Comme toute technologie, celle du petit, celle de l'intérieur,  doit faire preuve de modération. Elle fait peur, plus elle fait subir à l'extérieur de fortes pressions, plus celui-ci réagit. On le voit lorsqu'il s'agit d'organismes génétiquement modifiés qui véhiculent de nombreuses peurs alors que des technologies locales autour d'une tumeur cancéreuse seraient plus aptes à susciter l'adhésion collective.

Dans mon introduction, j'ai cité Leibniz dont je ne sais pas si il a vraiment été émerveillé par le Yi-King ou simplement été un peu « harcelé » par ce Père Bouvet pour confirmer, à ses yeux, le génie de ce texte millénaire par des calculs savants.

De Leibniz au calcul différentiel, il n'y a qu'un pas à franchir et il suffit de le faire avec Newton. Le calcul différentiel s'appuie justement sur une idée géniale  et lumineuse qui sait se faire oublier , attendant juste le temps qu'il faut avant de disparaître. Sa puissance est à la hauteur de sa petitesse et plus "prétencieux" serait cet infiniment petit  qu'il ne serait d'aucun usage. A cette « quantité évanescente » de supporter le calcul presque jusqu'à son terme, pour ensuite disparaître au profit de la puissance du résultat qu'il produit. C'est dans la métaphore géométrique donnée par Leibniz lui-même que peut s'entrevoir l'image de cette «quantité évanescente» : le dx est au x, ce que le point est à la droite . Cette notion d'infiniment petit, ou de très petit d'ordre supérieur me paraît tout à fait en accord avec le sujet de l'hexagramme. S'évanouir devant plus grand que soit, mais produire un résultat puissant. La rigueur de ce sacrifice n'est pas encore totale et il faudra encore des années de travail mathématique pour mettre tout cela dans une théorie solide. Cela me paraît être une bonne illustration de l'hexagramme 62.

Par analogie, l'histoire du zéro semble se rapprocher de cette interprétation. Pendant très longtemps, on indiquait une absence par un simple espace approximatif entre deux chiffres. Le zéro est apparu sous un sens nouveau en ôtant l'identique d'une quantité à elle même, il a aussi été perçu comme signe d'anéantissement total, comme signe intéressant pouvant favoriser les calculs algébriques, comme premier entier... Le zéro s'est tapis pendant des siècles dans les interstices d'une humanité à la recherche de progrès calculatoires et pouvant refuser en même temps l'idée du vide qu'il véhiculait. Zéro, quel drôle de nombre qui éclaire de sa propre nullité tous les autres plein de dangers lorsque sa puissance n'est pas maîtrisée, lorsque son sens n'est pas clairement défini comme dans le cas où l'on voudrait calculer 0 puissance 0 ou simplement diviser par 0.

Les anciens voyaient en cet hexagramme un oiseau avec les ailes ouvertes, dont le corps serait formé des deux traits pleins. Il descend nécessairement pour apporter son message car s'il monte il risquerait de se brûler les ailes. Le vol de cet oiseau me fait penser à la conjecture de Syracuse où les nombres "oiseaux" ( ou feuilles ) montent jusqu'à l'altitude la plus élevée pour descendre à la fin de leur vol en piqué jusqu'au 1 tant attendu et délivrer leur message de victoire.

On peut, j'imagine trouver encore de nombreux exemples illustrant cet hexagramme, de la lumière qui ne peut rapidement sortir de l'ombre. Je ne sais pas si j'ai respecté à la lettre ( ou au nombre ), la pensée des anciens, mais à quoi bon?... Il me semble que la philosophie du Yi-king peut et doit être un support pour l'interprétation. J'espère que cette promenade sino-scientifico-mathématique vous a plus. Vous êtes maintenant arrivé à destination. Le prochain voyage se fera à bord de l'hexagramme 30: "le Feu".