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  • Représentations en mathématiques et représentations des mathématiques

    L'univers des représentations m'a toujours interpellé. Les mathématiques peuvent-elles exister sans aucune représentation, sans graphique? Mon avis est que ce n'est pas possible. Quelles représentations apparaissent en mathématiques? Ou plutôt ce qui m'interesse ici serait plutôt de déterminer en quoi une représentation interpelle en mathématiques mais aussi en quoi une représentation sur les mathématiques peut aussi poser question.

    Je donnerai dans ce billet un exemple de chaque.

     

    La main de Descartes


    Pour ce qui est la représentation au sein de la production mathématique, on peut se poser la question de savoir pourquoi est-ce que Descartes a inclus quelques figures avec une main au milieu d'autres schémas sans aucune intervention humaine.

     

     

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    manière de tracer un ovale - Traité sur la géométrie - 1637

    Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie qui sont des essais de cette méthode. René Descartes (1596-1650).

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    Les mathématiques dans la nature

    Les photos de Nikki Graziano mettent en scène les mathématiques là où on ne les attend pas et suscitent l'interrogation, l'étonnement.


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    Représentations

    J'avais, il y a quelques temps commencé de façon un peu humoristique, ce que j'avais appelé le musée du crobar. Je pense que je vais pousser un peu plus loin cette idée  de l'interrogation sur la représentation et les mathématiques dans une nouvelle catégorie créée à cet effet intitulée "Représentations".

  • Réveil tardif et remède de grand-mère.

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    En 1648, notre très cher Descartes pensait passer le reste de ses jours au Pays-Bas, mais ce fut en Suède qu'il se dirigea, invité par la Reine Christine qui lui offrit une place à la cour pour enseigner l'éthique, la théologie et en vue d'établir une Académie. Dès qu'il eût donné son accord, la Reine lui envoya un navire de guerre pour l'emmener dans son pays.

    Descartes n'a cependant pas été traité de façon aussi royale qu'il aurait pu l'imaginer.

    Il aimait dormir toute la matinée. Descartes était d'assez mauvaise constitution et les premiers pas de la journée lui coûtaient. Quelle ne fut pas sa surprise dès son arrivée à Stockholm le 4 octobre 1649, lorsque, reçu par Christine, elle lui demanda de venir dans sa bibliothèque chaque matin à cinq heures, moment « tranquille » pour la reine qui se lève dès 4 heures. Il dut ainsi se plier à cette exigence quelque soit le temps, qui n'était guère clément en Suède, et se lever tous les jours sans exception, à quatre heures et demi, luttant difficilement contre la rudesse du climat nordique.

    Ce fut d'ailleurs la rigueur de l'hiver 49-50 qui eut raison de sa médiocre santé.  Descartes y contracta une pneumonie. Préférant ses propres remèdes à ceux des médecins de la Reine Christine, il se soigna lui-même avec... une préparation de tabac infusée dans du vin, sensée lui faire expectorer les mucosités. Cette décoction n'eut visiblement pas les effets attendus par notre génie. Son état s'empira rapidement, il entra dans un délire profond et mourut deux jours plus tard le 11 février 1650.


    Pour approfondir :

    Descartes de Ferdinand Alquié

  • Descartes et l'intellection

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    Quel que soit le maître, il vient un moment où l’élève est tout seul en face du problème mathématique; s’il ne détermine son esprit à saisir les relations, s’il ne produit de lui-même les conjectures et les schèmes qui s’appliquent tout comme une grille à la figure considérée et qui en dévoileront les structures principales, s’il ne provoque enfin une illumi­nation décisive, les mots restent des signes morts, tout est appris par cœur. Ainsi puis-je sentir, si je m’examine, que l’intellection n’est pas le résultat mécanique d’un procédé de pédagogie, mais qu’elle a pour origine ma seule volonté d’attention, ma seule contention, mon seul refus de la distraction ou de la précipitation et, finalement, mon esprit tout entier, à l’exclusion radicale de tous les acteurs exté­rieurs. Et telle est bien l’intuition première de Descartes: il a compris, mieux que personne, que la moindre démarche de la pensée engage toute la pensée, une pensée autonome qui se pose, en chacun de ses actes, dans son indépendance plénière et absolue.

     

    (…) Pourtant l’enfant qui applique sa liberté à faire une addition selon les règles n’enrichit pas l’univers d’une vérité nouvelle; il ne fait que recommencer une opération que mille autres ont faite avant lui et qu’il ne pourra jamais mener plus loin qu’eux. C’est donc un paradoxe assez frappant que l’attitude du mathéma­ticien; et son esprit est semblable à un homme qui, engagé dans un sentier fort étroit où chacun de ses pas et la position même de son corps seraient rigoureusement conditionnés par la nature du sol et les nécessités de la marche, serait pourtant pénétré par l’inébranlable conviction d’accomplir librement tous ces actes. En un mot, si nous partons de l’intellection mathématique, comment concilierons-nous la fixité et la nécessité des essences avec la liberté du juge­ment.


    La suite de cette note sur le blog Jadislherbe : ICI, extrait de  Introduction à des textes choisis de Descartes (1946) par Jean-Paul Sartre.


    Bibliographie de Descartes : ICI

    Articles de Pierre Guenancia : ICI

  • La prudence de Descartes face à la question de l'infini en mathématiques

    En PDF ICI

  • D'Al-Khayyam à Descartes: sur les courbes

    Le sujet de cet article ( PDF ) de Roshdi Rashed, ICI,  est entièrement contenu dans le titre, et en guise d'introduction, je vous propose la... conclusion:

    La modernité mathématique au XVIIe siècle ne serait-elle alors qu’une reproduction de celle qui est advenue au XIe siècle ? Nullement. Serait-elle, comme on se plaît à l’affirmer, un commencement radical ? Non plus.

    Nous venons de montrer qu’une telle alternative n’est en fait pas pertinente : pour lire la Géométrie de Descartes, il faut aussi regarder en amont vers al-Khayyam et al-Tûsî et, en aval, vers Newton, Leibniz, Cramer, Bézout et les frères Bernoulli. Il en est de même s’il s’agit de situer l’Isagogè et la Dissertation de Fermat : un retour en amont à des écrits comme ceux d’Ibn al-Haytham et de Descartes s’impose en effet, de même qu’il faut avoir le regard dirigé en aval vers les Bernoulli, Cramer et Bézout. Alors seulement tous ces livres novateurs trouveront la place qui n’a jamais cessé d’être la leur. La Géométrie, par exemple, n’est nullement un commencement absolu, mais, au même titre que les autres oeuvres fondatrices, elle inaugure un style : celui d’une reprise, d’une adaptation et d’une rectification des traditions dont elle est l’héritière. Mais, comme ces oeuvres, elle ouvre la voie à d’autres évolutions – en géométrie algébrique, et aussi en géométrie différentielle. La modernité se présente ainsi comme la réalisation de quelques potentialités héritées de la tradition, en même temps qu’elle est génératrice de potentialités neuves pour le futur. Mais pouvait-il en être autrement ? Rien n’empêche, si l’on ne pense que par concepts tout faits, de soutenir que continuités et ruptures sont inscrites les unes dans les autres. Mais tout discours sur la Géométrie de Descartes, ou sur les deux livres de Fermat, est condamné à être oblique s’il néglige les liens intimes qui enracinent ces oeuvres dans la tradition, aussi bien que les nouveaux possibles qui les habitent, et qui devront attendre pour se réaliser effectivement que la modernité soit elle-même devenue tradition. La véritable force intellectuelle de J. Vuillemin est précisément d’avoir parfaitement appréhendé cette dialectique latente, alors que la tradition était encore si mal connue.


    Entretien de Roshi Rashed ( passionnant !) en PDF : ICI