Il est assez de rare de trouver un traitement très "pédagogique" d'un sujet au sens noble du terme, c'est à dire permettant de l'éclairer sous des angles très différents, dont  un très original et concret, tout en construisant son unité profonde.

Prenons ensemble l'optique, la dynamique, la statique, la géométrie, l'élasticité, le calcul différentiel et l'histoire des mathématiques. Prenons aussi trois courbes très connues, la cycloïde, la chaînette et le cercle. Il semble difficile de relier le tout en un ensemble cohérent et pourtant il suffit d'un peu de savon pour les regrouper!

Je vais tenter d'expliquer. En cas de dérapage et pour plus de détails, l'article original est ICI et il suffit de s'y référer.

L'histoire commence par la recherche de la brachistochrone, c'est à dire de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant. En 1697, Jacques  Bernouilli pose ce problème. Newton, Leibniz, Jacques et son frère Jean Bernouilli s'y collèrent et proposèrent leur solution. Les deux frères (qui se haïssaient) y parvinrent et découvrirent que le profil cherché était une portion de cycloïde.

Un peu plus tard, ce problème peut être résolu grâce au calcul différentiel en recherchant le minimum d'une expression du type fonctionnelle qui a été étudiée par Euler et Lagrange.

Prenons un peu de recul: 

En fait l'idée c'est de penser à une bulle de savon. Il faut aussi avoir l'idée de planter deux piquets verticaux entre deux profils: l'un horizontal z=0 et l'autre z=1/√y. En plaçant un film de savon entre les piquets et les deux surfaces on devrait voir cela:  
 

La trace laissée sur la surface horizontale est une cycloïde. Pour faire un peu plus scientifique on peut dire que la courbe qui minimise la surface de la bulle de savon ( oui la bulle de savon est fainéante, elle suivra toujours ce que l'on appelle une surface minimale) est la même que celle celle qui minimise le temps de parcours d'un point pesant.

Pourquoi me direz-vous? Tout simplement parce que le problème mathématique associé aux deux problèmes est similaire et donc la solution est de même nature.
Et pourquoi le problème mathématique est de même nature? Tout simplement parce que le profil z=1/√y a été bien choisi.

L'élasticité, est maintenant mariée à l'histoire des maths, au calcul des variations et à la dynamique.

On pourrait aussi s'imaginer qu'un rayon lumineux circule du point P1 au point P2 dans un milieu dont l'indice de réfraction serait proportionnel à 1/√y. La courbe suivie par le rayon lumineux serait identique à la courbe précédente: une cycloïde. Et voilà donc l'optique qui se mèle à la partie.

Supposons maintenant qu'une chaine soit tendue entre deux points dans un lieu où le potentiel de gravitation  (très particulier, certes) serait proportionel à 1/√y . La courbe formée par le fil serait une cycloïde. La statique s'invite.

L'intérêt de ce dernier point est de retrouver le profil de  la chaînette avec un film de savon en choisissant un profil de type z=ky. C'est la courbe qui  minimise son énergie lorsqu'elle est soumise à la pesanteur.

Pour trouver le cercle, il suffit  de changer le profil supérieur et le choisir tel que z=1/y. En reprenant les analogies précédentes, les trois courbes: la cycloïde, la chainette et le cercle se retrouvent ensemble dans le même "bain" (à bulles).

Voilà, c'est terminé et pour compléter quelques adresses suivent:

Autour de la cycloïde "Maths en Jean"

Complètement cycloïdique "Blog Sciences"

Courbe brachistochrone "Mathcurve"

Brachistochron Problem "Wolfram"

Courbe Brachistochrone "Wikipédia"

Solving the brachistochron and other variational problems with soap films "ArXiv"

Soap films help to solve mathematical problems

Il s'agit bien sûr de 38 ans après la parution du livre. en 1865. L'extrait de film est donc de 1903. La musique "Jill in the Box" a été composée par Wendy Hiscocks. Le film durait 12 minutes, 8 ont pu être sauvées et restaurées par BFI. Il a été le plus long film produit en Angleterre à cette époque.

Après celui de Fabrice Bellard en janvier 2010, ce nouveau record de 5000 milliards de décimales a été atteint en août dernier, par un ingénieur système japonais, Shigeru Kondo .

L'article de Reuters.

RAPPORT sur LES MATHÉMATIQUES EN FRANCE ET DANS LES SCIENCES
en présence des lauréats de la médaille Fields,
MM. Ngô Bảo Châu et Cédric Villani,
ainsi que du lauréat du prix Gauss, M. Yves Meyer
Compte rendu de la réunion du 17 novembre 2010

Par M. Claude Birraux, Député

EXTRAIT

M. Sylvestre Huet, journaliste à Libération.

Nous restons un peu sur notre faim. Vous avez d’emblée évoqué les points forts sur lesquels s’est fondée la fameuse excellence de l’école française. Or l’organisation du système de recherche français a subi de grands bouleversements. Selon vous, cela aura-t-il des conséquences positives ou négatives, ou bien une combinaison des deux selon les différents aspects ? Peut-être faudrait-il parler d’autre chose que des médaillés Fields et des quelques autres récompensés, dont les cas sont certes singuliers mais qui sont limités sur le plan des effectifs. En d’autres termes, le nouveau système entraînera-t-il un maintien, un accroissement ou une diminution de la force de frappe des sciences utilisant des mathématiques ? Prenons un peu de recul historique : la France produit ni plus ni moins de docteurs ès sciences qu’en 1993, c’est-à-dire depuis longtemps, dans un contexte où certains pays moyens ou émergents sont dans une dynamique. Cette stagnation, qui frappe les mathématiciens mais aussi les physiciens, les chimistes, les biologistes et les spécialistes des sciences de la terre utilisant les mathématiques, peut-elle continuer ? Pouvons-nous rester dans cette ère, alors que tout le monde nous dit que le futur sera piloté par les sciences et techniques ? Cela me semble la question la plus cruciale ; je ne suis pas convaincu que l’enjeu, aujourd’hui, pour le système de recherche français, réside aux extrémités, école primaire d’un côté, Normale Sup’ de l’autre.

M. Cédric Villani.

Votre question est très difficile car elle fait appel à de la prédiction, exercice toujours délicat. Si j’ai bien compris, vous vous interrogez sur l’impact possible des réformes actuelles sur l’enseignement supérieur. Les bouleversements étant en cours, nous ne disposons pas du recul nécessaire pour savoir comme la situation évoluera. La loi instaurant l’autonomie des universités, notamment, a fait couler beaucoup d’encre. Je suis très favorable à l’autonomie mais beaucoup de gens ne pensent pas comme moi. En tout cas, tout le monde se reconnaît, je crois, dans le mouvement actuel de revalorisation de l’université en tant que lieu de travail et de production de science. Cela plaît particulièrement aux mathématiciens, pour lesquels une carrière normale, passionnante, consiste à travailler au contact des étudiants, à l’université ; celle-ci, pour nous, joue un rôle central.
Ensuite, une divergence est sensible entre partisans de la centralisation et de l’autonomie. Personnellement, je pense que la gestion matérielle des universités ne peut se faire à distance, de manière abstraite, qu’elles ont absolument besoin d’un pilotage de terrain. La dimension politique locale est également primordiale. Quant aux effets à long terme, il est difficile de les prévoir.
S’agissant des pays émergents, l’université chinoise de Fudan, que j’ai visitée il y a peu, possède un campus effrayant : les standards de qualité de vie sont équivalents à ceux de Stanford. Des sommes considérables sont manifestement investies année après année. Le niveau des élèves n’est évidemment pas le même qu’à Stanford mais l’attractivité est réelle. Peut-être la question des moyens est-elle vitale, les solutions sont souvent simples.

M. Claude Birraux.

La perception de la science et des scientifiques, en Chine, n’est sans doute pas tout à fait la même qu’en France. Certains, chez nous, considèrent que la science est malpropre et que, par conséquent, il ne vaut mieux pas en faire.

M. Cédric Villani.

Les sciences ne bénéficient en effet pas du même respect en Europe et en Asie. Et cela se répercute sur les dirigeants politiques : il est très fréquent, en Chine, que des anciens scientifiques occupent des postes très élevés ; c’est incontestablement beaucoup plus rare dans notre système.

M. Yves Meyer.

Pour répondre très clairement, j’ai toujours été animé par la passion de transmettre et j’ai commencé à enseigner dans le secondaire, avant de poursuivre, pendant quinze ans, en première année de premier cycle universitaire. Mes élèves n’étaient donc ni des médaillés Fields ni des écoliers. La tradition mathématique française, Cédric l’a dit, a consisté à transmettre le feu sacré. Mais cela suppose une réponse. Si aucun public ne vient assister à un concert, à qui en incombe la faute ? Même si le programme est merveilleux, il faut que la société soit au rendez-vous.

La désaffection relative vis-à-vis des sciences traduit aussi la désaffection vis-à-vis de l’effort, mot pratiquement banni de l’enseignement secondaire actuel. Quand j’enseignais en lycée, de 1960 à 1963, je donnais un problème par semaine ; avec cent élèves et dix pages par copie, cela faisait mille pages à corriger et annoter chaque semaine, j’y consacrais mon samedi et mon dimanche. Aujourd’hui, quiconque ferait de même serait traité de bourreau. Les enseignants ne donnent qu’un problème par trimestre, parce que la notion d’effort a disparu.

J'ai toujours adoré les stéréogrammes, certainement parce que j'arrive à les voir. Si vous approchez le nez de votre écran et louchez, votre vue devrait se brouiller et vous devriez voir apparaître un dinosaure au milieu des os sur l'image suivante que j'ai créée avec Stereogram Explorer. Reculez votre tête de l'écran tout en maintenant le "focus". Vous pouvez cliquer sur l'image pour l'agrandir un peu.

Il est possible de s'exercer ICI avec d'autres stéréogrammes.

Si vous voulez pousser l'expérience un peu plus loin, je vous propose un stéréogramme vidéo que vous pouvez visionner avec la même technique que précédemment. C'est assez fatigant pour les yeux mais ça fonctionne bien (vous pourrez laisser en commentaires ce que vous semblez entrevoir en relief... j'ai vu des sortes de trous et des spirales vers la fin). N'agrandissez pas la fenêtre pour le regarder.

hypnoise, part2: stereogram from unc on Vimeo.