L'APMEP publie les fichiers PDF des conférences des journées 2006 de l'Association : ICI

Conférence d’Alain Bouvier 
Les mathématiques, leur enseignement et la formation des maîtres

Notre système éducatif connaît beaucoup de réformettes indiscernables en dehors des frontières de l’Hexagone, bien qu’elles marquent curieusement beaucoup les enseignants, et seulement un petit nombre de réformes.

Le système bouge, mais, somme toute, lentement, par décennies. On remarquera que la majorité des réformes sont d’origine exogène, conséquences d’évolutions sociétales, comme si le système peinait à trouver des voies endogènes de réforme. Il s’agit là d’une tendance lourde qui s’accentue clairement.

Dans le rapport déjà évoqué sur les acquis des élèves (2005), les Inspections générales françaises montraient que le fonctionnement de notre système pédagogique repose sur des notations, des moyennes et des compensations incessantes. Non seulement ces moyennes n’ont pas de sens, mais on se livre à des moyennes de moyennes qui en ont encore moins ! Les Inspections générales dénoncent cette « dictature de la moyenne » (on n’est pas loin de la « constante macabre » d’André Antibi) et de la compensation généralisée. Que sait faire un élève qui à 10 ? Quelle signification, par exemple, accorder au Brevet en termes de compétences ? En mathématiques, que sait faire un élève qui a réussi le Bac S ?

Conférence d’Yves Chevallard
Les mathématiques à l’école : pour une révolution épistémologique et didactique.
Mathématiques et utilité.
Les exemples de la proportionnalité et de la proportionnalité inverse, des cas d'aglité des triangles, des fractions, de l'inverse d'une fraction.

Il est deux manières au moins, pour les générations montantes, de recevoir les connaissances que l’école est chargée de leur transmettre : soit comme donnant une clé du monde précieuse entre toutes, soit comme un prix à payer pour entrer dans la société, avant peut-être de faire litière des savoirs que l’école aura prétendu leur apporter.

Pourquoi par exemple lanotion d’angle ? Pourquoi les triangles ? Pourquoi le concours des médianes (ou des hauteurs, etc.) ? Pourquoi les angles saillants et les angles rentrants ? Pourquoi les polynômes ? Pourquoi les fonctions continues ? Pourquoi les droites ? Pourquoi le parallélisme de droites ? À cela, nulle réponse explicite, claire, fondatrice d’un pacte d’étude républicain.

"The good teacher is known by the number of subjects that he declines to teach"

Conférence de Jean Dhombres
L’avenir de l’enseignement des mathématiques n’est pas un long fleuve tranquille...
Exemples de Comte, de  Descartes, de la représentation, de Curie.

Le défi majeur pour le futur, est bien pour l’enseignant des mathématiques, de devoir s’intéresser de près à autre chose que les mathématiques, et ce pour la qualité même de son enseignement.

Voici deux exemples très typiques en prélecture, que nous avons recueillis en grande section de maternelle, au mois de mai. Dans le premier il faut retrouver des lettres suivant un modèle. Il faut donc parcourir toute la collection des lettres pour retrouver les lettres u et n du modèle. Dans le second, il faut parcourir toute la collection des mots pour retrouver le mot du modèle maman. Cette deuxième fiche cache en fait une autre activité d’énumération, car les enfants ne savent pas lire. Quand ils considère un mot, ils doivent comparer les lettres de ce mot avec les lettres du modèle, une par une, dans l’ordre. Dans nos observations en maternelle, nous avons remarqué que, pour les élèves les plus faibles, pour lesquels la reconnaissance de la lettre ou du mot est déjà difficile, le parcours de la collection des lettres ou des mots ne va pas de soi non plus. Ils sont confrontés à une double difficulté : celle de la lecture, qui est repérée par le professeur, et celle de l’énumération, qui n’est souvent pas considérée.
Maintenant que vous avez cette clé d’observation, vous allez voir de l’énumération partout…
effectivement, énumérer est une activité très courante, combinée avec toute sorte d’autres activités, qu’elles soient ou non mathématiques. »    

J'espère que n'avez pas oublié.... aujourd'hui c'est l'anniversaire de la mort de Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani décédé le 15 juillet 998 à Bagdad...

Et vous le connaissez tous bien sûr, non? Quelle chance, voilà un petit rappel tiré d'une belle page sur l'algèbre des années 830 à 1637 d'Olivier Thill : ICI

Mohammad abu'l-Wafa al-Buzjani (940-998) est un astronome perse qui vient travailler à Bagdad au service du calife Adud ad-Dawlah qui règne de 949 à 983. Il est l'un des rares musulmans à s'intéresser aux nombres négatifs, probablement parce qu'il utilise l'algèbre pour des problèmes de comptabilité (dont les dettes) et pas seulement pour des problèmes de géométrie !

Voilà les élements principaux de son travail ( je n'ai pas traduit, ça fait un peu réviser l'anglais ) :

Part I: On ratio (fractions are represented as made from the "capital" fractions 1/2, 1/3, 1/4, ... ,1/10).
Part II: On multiplication and division (arithmetical operations with integers and fractions).
Part III: Mensuration (area of figures, volume of solids and finding distances).
Part IV: On taxes (different kinds of taxes and problems of tax calculations).
Part V: On exchange and shares (types of crops, and problems relating to their value and exchange).
Part VI: Miscellaneous topics (units of money, payment of soldiers, the granting and withholding of permits for ships on the river, merchants on the roads).
Part VII: Further business topics.

Abu'l-Wafa  se distingue aussi pour avoir été  le premier à utiliser la "fonction" tangente et  pour avoir réalisé des tables de sinus et de tangentes avec des intervalles de 15 '.

Et n'oublions qu'en ces temps reculés, la bibliothèque de Bagdad comprenait un million d'ouvrages alors que celle de Rome n'en comptait que quelques milliers!
 
Intéressant non ?


Désolé, il n'y a pas de photo, l'appareil était en panne ce jour là !

La méthode d'exhaustion était utilisée par les mathématiciens grecs pour déterminer une longueur, une aire ou un volume. On pense à tort qu'elle est seulement constituée  par un "encadrement" d'une courbe par deux lignes brisées situées de part et d'autre, d'une surface par des polygones  ou d'un volume par des polyèdres, ceux-ci étant intérieurs et extérieurs. Ainsi, en " rapprochant " les objets créés de celui dont on cherche à évaluer la longueur, l'aire ou le volume, on aboutit intuitivement à un encadrement de la quantité cherchée.
La méthode d'exhaustion est en fait essentiellement constituée par la preuve irréfutable de cette intuition et la validation du résultat obtenu par une double réduction à l'absurde. C'est ce que nous explique à merveille André Ross dans un article ( PDF ) : ICI

Archimède utilisa cette méthode afin d'obtenir des résultats très originaux, dont un calcul d'aire faisant intervenir un " levier " pour comparer l'aire d'un triangle et l'aire d'un segment de parabole : ICI

Le résultat le plus connu est obtenu par Archimède, et est sans conteste, l'encadrement de Pi : ICI

Cette méthode, près de 2000 ans auparavant, préparait le terrain du calcul différentiel et intégral qui permettra des calculs plus généraux.

Cavalieri emprunta le chemin de ses ainés dans son Traité des indivisibles pour effectuer des calculs d'aire et de volume : ICI

La méthode de Descartes était purement algébrique, elle ne faisait pas intervenir les concepts de limite et d'infinitésimal,  la route se poursuivit avec Newton et Leibnitz et la naissance du calcul différentiel et intégral.

Pour info, voilà l'adresse de la page d'André Ross avec tous les articles cités et d'autres encore : ICI
Et d'autres articles d'André Ross : ICI

 

Diffusion des savoirs de Normale Sup - la conférence de David Rabouin : ICI

Paragraphe introductif à la présentation de la Méthode :

"J'avais un peu étudié, étant plus jeune, entre les parties de la philosophie, à la logique, et, entre les mathématiques, à l'analyse des géomètres et à l'algèbre, trois arts ou sciences qui semblaient devoir contribuer quelque chose à mon dessein. Mais en les examinant, je pris garde que, pour la logique, ses syllogismes et la plupart des autres instructions servent plutôt à exprimer à autrui les choses que l'on sait, ou même comme l'art de Lulle - dont le "Grand Art", sorte de machine à penser devait fournir toutes les combinaisons possibles - , à parler sans jugement de celles qu'on ignore, qu'à les appprendre et bien qu'elles contiennent, en effet, beaucoup de préceptes très vrais et très bons, il y en a toutefois tant d'autres mélés parmi qui sont ou nuisibles ou superflus, qu'il en est presque aussi malaisé de les en séparer que de tirer une Diane ou une Minerve hors d'un bloc de marbre qui n'est point encore ébauché. Puis, pour l'analyse des anciens et l'algèbre des modernes, outre qu'elles ne s'étendent à des matières fort abstraites et qui ne semblent d'aucun usage, la première est toujours si astreinte à la considération des figures qu'elle ne peut exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination; et on s'est tellement assujeti en la dernière à certaines règles et certains chiffres - prendre au sens de symboles - qu'on en a fait un at confus et obscur qui embarasse l'esprit, au lieu d'une science qui le cultive. Ce fut cause que je pensais qu'il fallait chercher quelque autre méthode qui comprenant les avantages de ces trois fut exempte de leurs défauts."

Le Carnet Secret de Descartes : ICI