En 1743, le Révérend Père Regnault de la compagnie de Jésus publiait ses " Entretiens mathématiques ", sorte de cours dialogué entre Eudoxe et Ariste dont on peut découvrir un extrait ci-après :

Entretiens mathématiques sur les nombres, l'algébre, la géométrie, la trigonométrie rectiligne, l'optique, la propagation de la lumière, les télescopes, les microscopes, les miroirs, l'ombre & la perspective De Père Regnault, Regnault (Noël)

En 2008, La Recherche publie un numéro Hors-Série Les Mathématiques en 14 mots-clés. L'intégralité des articles est accessible à des Terminales S, certains articles qui ne contiennent pas de formules avec ln, exp ou des notations intégrales peuvent même être lus par un public très large voulant étendre sa culture générale comme le laisse entendre le titre de l'édito "Les mathématiques pour tous". Les 14 articles extraits de la rubrique mensuelle Bac to Basics se présentent, tout comme les entretiens du Père Regnault, sous la forme de questions réponses, dont voici un cours extrait :

Que se passe-t-il quand on les additionne ( il s'agit des nombres premiers )?

Nous l'avons vu, la raison d'être des nombres premiers est de permettre une décomposition des entiers en produit de facteurs premiers. La multiplication est ainsi l'opération naturelle pour parler de nombres premiers. L'addition, en revanche, pose de très sérieux problèmes, notamment une célèbre question qui compte parmi les plus anciennes et les plus difficiles des mathématiques : la « conjecture de Goldbach ». Elle affirme que tout entier positif pair (non nul) peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers. Par exemple, 18 = il + 7,26 = 13 +13, etc. Posée il y a près de trois siècles, cette question, qui s'énonce en quelques mots d'un vocabulaire accessible à tous, résiste encore et toujours aux assauts des mathématiciens.

Force est de constater que la forme dialoguée n'a pas perduré en ce qui concerne l'édition des livres d'enseignement des mathématiques mais qu'elle reste bien présente pour les vulgariser.

Les 14 mots-clés en question sont :

les nombres premiers,

les nombres complexes,

pi et la quadrature du cercle,

les polynômes,

les fonctions,

les intégrales,

le point, le triangle,

les graphes,

les algorithmes,

le programme,

la simulation numérique,

le hasard,

les sondages.

Les illustrations de Jean-Pierre Cagnat contribuent,elles aussi, à la réussite de ce numéro.

La méthode d'exhaustion était utilisée par les mathématiciens grecs pour déterminer une longueur, une aire ou un volume. On pense à tort qu'elle est seulement constituée  par un "encadrement" d'une courbe par deux lignes brisées situées de part et d'autre, d'une surface par des polygones  ou d'un volume par des polyèdres, ceux-ci étant intérieurs et extérieurs. Ainsi, en " rapprochant " les objets créés de celui dont on cherche à évaluer la longueur, l'aire ou le volume, on aboutit intuitivement à un encadrement de la quantité cherchée.
La méthode d'exhaustion est en fait essentiellement constituée par la preuve irréfutable de cette intuition et la validation du résultat obtenu par une double réduction à l'absurde. C'est ce que nous explique à merveille André Ross dans un article ( PDF ) : ICI

Archimède utilisa cette méthode afin d'obtenir des résultats très originaux, dont un calcul d'aire faisant intervenir un " levier " pour comparer l'aire d'un triangle et l'aire d'un segment de parabole : ICI

Le résultat le plus connu est obtenu par Archimède, et est sans conteste, l'encadrement de Pi : ICI

Cette méthode, près de 2000 ans auparavant, préparait le terrain du calcul différentiel et intégral qui permettra des calculs plus généraux.

Cavalieri emprunta le chemin de ses ainés dans son Traité des indivisibles pour effectuer des calculs d'aire et de volume : ICI

La méthode de Descartes était purement algébrique, elle ne faisait pas intervenir les concepts de limite et d'infinitésimal,  la route se poursuivit avec Newton et Leibnitz et la naissance du calcul différentiel et intégral.

Pour info, voilà l'adresse de la page d'André Ross avec tous les articles cités et d'autres encore : ICI
Et d'autres articles d'André Ross : ICI