Un défi essentiel pour l'éducation est donc de prendre en compte la manière dont les gens réussissent à contourner tout besoin d'encodage formel des situations en se fiant à ce que leur disent leurs catégories familières, construites pendant des années d'interactions quotidiennes avec le monde qui les entoure. Si tout enseignant a parfaitement conscience que l'"habillage" d'un énoncé peut modifier profondément sa difficulté, le défi de faire de l'habillage un levier d'apprentissage doit encore être relevé. L'enjeu est de taille, et le défi loin d'être simple.

Cette citation est extraite de l'excellent livre L'Analogie Coeur de la pensée de Douglas Hofstadter et d'Emmanuel Sander.

Elle conclut en page 523, un paragraphe qui aborde l'énoncé de deux problèmes dont les opérations et le résultat sont identiques. Seulement le premier est résolu par presque tout le monde avec trois opérations, alors que le second en appelle généralement une seule. Les auteurs y voient une différence d'encodage de la situation qui aboutit in fine à une différence sensible de traitement.

Testez par vous-même en résolvant les deux problèmes suivants:

Premier problème:

Laurent achète une trousse à 7 € et un classeur. Il paie 15 €. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 € de moins que Laurent. Combien coûte l'équerre?

Second problème:

Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s'est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s'est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse?

 

Le schéma pour le problème des achats est naturellement associé à un diagramme de Venn. Il incite à calculer le prix du classeur, achat commun aux deux, avant de répondre à la question posée.

Le schéma pour le problème de la danse est plutôt un axe temporel dont l'origine serait la date de début des cours. Il suffit donc de s'imaginer la différence des durées des deux cours pour répondre à la question.

La structure commune serait celle de deux rectangles de même base (correspondant à l'origine des prix ou des âges), superposés et de hauteurs différentes, dont une partie serait commune (le prix du classeur ou l'âge auquel Jeanne (et Laurence) ont commencé à faire de la danse. 

Les deux problèmes peuvent être résolus avec la même opération 7-3. Il est donc faux de penser que la difficulté d'un problème est celle de la difficulté du calcul qu'il mobilise. Elle est en partie due à l'encodage de la situation qui impacte directement sur la résolution du problème.

Deux outils pour aider à l'apprentissage des règles de calcul littéral et de manipulation algébrique ont attiré mon attention. 

Mathematical Expression Structure Tool

Mathematical Expression Structure Tool permet de visualiser toute expression numérique, littérale ou mixte à l'aide d'un arbre. Il est possible de générer les expressions avec l'affectation d'une probabilité pour chaque signe opératoire. Il est possible d'y inclure les parenthèses et les nombres négatifs. L'utilisateur peut aussi choisir sa propre expression.

Une fois l'arbre affiché, plusieurs choix sont possibles: 

Explorer l'arbre

Evaluer les expressions numériques intermédiaires en pouvant aller jusqu'au résultat final.

Repérer dans l'expression ou dans l'arbre, un nombre, une variable littérale ou un signe opératoire.
 

EpsilonWriter

Le second outil est EpsilonWriter. Son  potentiel pédagogique pour l'aide au calcul a été traité dans le Repères Irem 92. Le principe est d'associer une manipulation algébrique ou numérique au geste, celui du déplacement de la souris.

Je reviendrai très prochainement sur ce logiciel qui apporte de nouvelles dimensions à l'écriture des mathématiques. Un chat est en effet disponible ainsi que la possibilité de partage de document. Il est aussi possible d'utiliser EpsilonWriter pour éditer des mails à contenu mathématique et le code peut être exporté sur des blogs. J'ai écrit un article il y a quelque temps, publié sur Mathematice posant l'environnement numérique comme un bain dans lequel seraient plongées les trois sphères, de la pédagogie, de la didactique et de la communication. EpsilonWriter me semble bien être un des tous premiers éléments de l'intersection de ces trois sphères.

Le vidéo qui suit n'a pas pour but de montrer toutes les potentialités du logiciel mais seulement de découvrir quelques manipulations de base. Pour l'ensemble des fonctionnalités, il suffit de se diriger vers les présentations disponibles sur le site.

Les applets de l'Institut Freudenthal

Notons aussi l'existence des excellents applets de l'Institut Freudenthal. J'avais présenté sur ce blog l'applet Algebra Arrows.

Après avoir donné un corrigé papier d'une interrogation aux élèves, je me suis demandé s'il n'était pas possible de passer à la version vidéo. Voici le résultat. La réalisation n'est en fait pas très longue (un résultat parfait aurait demandé beaucoup plus qu'une prise mais ce n'était pas l'objectif que je m'étais fixé) et j'en suis assez surpris.

Je ne sais d'ailleurs pas trop quoi penser des ces nouvelles possibilités données par le multimédia et le web 2. Je me pose aussi la question suivante: Est-ce que la différence entre la nature de la demande (rédaction écrite) et le support du corrigé ( GeoGebra et multimédia) peut avoir un impact positif sur la compréhension?

Pour sa 3ème édition Science Factor s’ouvre aux collégiens et aux lycéens. Pour participer c’est très simple, il suffit de compléter un formulaire sur Facebook qui décrit un produit ou le service qu’ils rêvent d’inventer.

Science Factor vise à susciter des vocations scientifiques chez les lycéen(ne)s pour qu'ils s'orientent vers des métiers d'avenir, créateurs d'emplois.

Le projet doit être présenté par une équipe, pilotée par une fille.

Si tu es une fille de seconde, de première, ou de terminale, deviens cheffe d'équipe et recrute jusqu'à 3 collaborateurs ou collaboratrices afin de concevoir et de présenter une invention scientifique qui améliorera l'avenir.
Si tu es un garçon et que tu es tenté par l'aventure... il ne te reste plus qu'à convaincre une demoiselle pour encadrer ton équipe.

Si vous êtes enseignant en lycée, vous pouvez le présenter à vos élèves.

Un jury présidé par Claudie Haigneré sélectionnera l’équipe gagnante parmi les finalistes. L’équipe gagnante remporte 2000 € de cadeaux. Les inscriptions sont ouvertes jusqu’au 7 janvier 2014 en cliquant sur les images ou sur ce lien.