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Il y a un an et demi, j'enfilais quelques perles mathématiques sur Pearltrees presque seul. Aujourd'hui, force est de constater que la culture de la perle se porte bien et nous permet de faire une visite originale du web mathématique.
Bon voyage en cliquant sur l'image.
En maths, on utilise un mot assez mystérieux, qui l'est pour les non-matheux mais surtout pour les matheux, il s'agit du mot "conjecture".
La conjecture, c'est la chose que le matheux sent vraie mais qu'il n'arrive pas à démontrer, soit parce que c'est très difficile et qu'il existe très peu (ou pas) de mathématiciens ayant le niveau pour faire la démonstration, soit parce qu'il n'y a tout simplement pas de démonstration, soit parce que les maths ne sont pas encore assez évoluées pour la faire.
La conjecture est d'autant plus sympa qu'elle s'énonce facilement et qu'elle résiste à l'assaut des mathématiciens.
En voilà une petite (enfin c'est un point de vue personnel).
Prenons les nombres entiers suivants :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 49, 51, 67, 72, 76, 77, 81, 86.
Calculons les puissances de 2 de ces nombres :
21=2
22=2x2=4
23=2x2x2=8
24=2x2x2x2=16
…
234=2x2x2x2x…x2=17179869184
…
286=77371252455336267181195264
Anne, ma soeur Anne, ne vois-tu rien venir?
Ben si justement, regarde:
287=154742504910672534362390528
C'est ça la conjecture!
86 est semble être le plus grand entier dont l'écriture décimale de sa puissance de 2 ne contient aucun 0. [A007377].
Dialogue entre un Solognot et un Orléanais:
Pôrce que les matheux y zon bien assayé de calculer les puissances de 2 de 87 jusqu'ô 47 000 000 et y zon toujours trouvé des 0 adedans.
Certes, nous pourrions continuer ainsi plus longtemps, très cher, mais voyez-vous, la probabilité de ne pas trouver de 0 après, est comme qui dirait... minuscule : 1.764342396 ⋅10-633620 .
Fin du dialogue.
Personnellement, j'ai bien une démonstration mais je ne voudrais pas vous ennuyer avec ça.
Billet moyen réalisé à partir de cet excellent billet.
Après une utilisation concrète et assez intensive des logos sur une période d'un mois et demi, couvrant environ trois chapitres (repérage dans le plan, dérivation et statistiques) en classe de Première S, j'ai effectué un sondage auprès des 35 élèves de cette classe sur la poursuite de leur utilisation en ne donnant que deux choix possibles: Abandon ou Poursuite.
Les résultats associés à la poursuite de leur utilisation sont les suivants :
Ces chiffres m'impressionnent toujours et sont à mettre en rapport avec les précédents, ici.
En ce me concerne, je pense abandonner l'un des logos, (liste ici) trop difficile d'emploi correspondant à "ralentir", car la vitesse d'éxécution d'une tâche est inaccessible et je ne suis pas sûr que le passage mal négocié, le soit à cause de la vitesse d'exécution. Il est à noter que la correction de copies est moins fastidieuse car on a vraiment la sensation d'agir au niveau de l'intellect de l'élève plus que sur les contenus produits. Elle est cependant un peu plus longue.
Archimède, le maître de la poussée, était aussi le roi du levier, l'homme de la catapulte, et le prince la méthode d'exhaustion. Une question le concernant est cependant restée entière jusqu'à aujourd'hui: Comment a-t-il pu trouver l'encadrement suivant qui apparaît dans "De la mesure d'un cercle"?
Il est assez de rare de trouver un traitement très "pédagogique" d'un sujet au sens noble du terme, c'est à dire permettant de l'éclairer sous des angles très différents, dont un très original et concret, tout en construisant son unité profonde.
Prenons ensemble l'optique, la dynamique, la statique, la géométrie, l'élasticité, le calcul différentiel et l'histoire des mathématiques. Prenons aussi trois courbes très connues, la cycloïde, la chaînette et le cercle. Il semble difficile de relier le tout en un ensemble cohérent et pourtant il suffit d'un peu de savon pour les regrouper!
Je vais tenter d'expliquer. En cas de dérapage et pour plus de détails, l'article original est ICI et il suffit de s'y référer.
L'histoire commence par la recherche de la brachistochrone, c'est à dire de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant. En 1697, Jacques Bernouilli pose ce problème. Newton, Leibniz, Jacques et son frère Jean Bernouilli s'y collèrent et proposèrent leur solution. Les deux frères (qui se haïssaient) y parvinrent et découvrirent que le profil cherché était une portion de cycloïde.
Un peu plus tard, ce problème peut être résolu grâce au calcul différentiel en recherchant le minimum d'une expression du type fonctionnelle qui a été étudiée par Euler et Lagrange.
Prenons un peu de recul:
En fait l'idée c'est de penser à une bulle de savon. Il faut aussi avoir l'idée de planter deux piquets verticaux entre deux profils: l'un horizontal z=0 et l'autre z=1/√y. En plaçant un film de savon entre les piquets et les deux surfaces on devrait voir cela:
La trace laissée sur la surface horizontale est une cycloïde. Pour faire un peu plus scientifique on peut dire que la courbe qui minimise la surface de la bulle de savon ( oui la bulle de savon est fainéante, elle suivra toujours ce que l'on appelle une surface minimale) est la même que celle celle qui minimise le temps de parcours d'un point pesant.
Pourquoi me direz-vous? Tout simplement parce que le problème mathématique associé aux deux problèmes est similaire et donc la solution est de même nature.
Et pourquoi le problème mathématique est de même nature? Tout simplement parce que le profil z=1/√y a été bien choisi.
L'élasticité, est maintenant mariée à l'histoire des maths, au calcul des variations et à la dynamique.
On pourrait aussi s'imaginer qu'un rayon lumineux circule du point P1 au point P2 dans un milieu dont l'indice de réfraction serait proportionnel à 1/√y. La courbe suivie par le rayon lumineux serait identique à la courbe précédente: une cycloïde. Et voilà donc l'optique qui se mèle à la partie.
Supposons maintenant qu'une chaine soit tendue entre deux points dans un lieu où le potentiel de gravitation (très particulier, certes) serait proportionel à 1/√y . La courbe formée par le fil serait une cycloïde. La statique s'invite.
L'intérêt de ce dernier point est de retrouver le profil de la chaînette avec un film de savon en choisissant un profil de type z=ky. C'est la courbe qui minimise son énergie lorsqu'elle est soumise à la pesanteur.
Pour trouver le cercle, il suffit de changer le profil supérieur et le choisir tel que z=1/y. En reprenant les analogies précédentes, les trois courbes: la cycloïde, la chainette et le cercle se retrouvent ensemble dans le même "bain" (à bulles).
Voilà, c'est terminé et pour compléter quelques adresses suivent:
Autour de la cycloïde "Maths en Jean"
Complètement cycloïdique "Blog Sciences"
Courbe brachistochrone "Mathcurve"
Brachistochron Problem "Wolfram"
Courbe Brachistochrone "Wikipédia"
Solving the brachistochron and other variational problems with soap films "ArXiv"
Soap films help to solve mathematical problems
