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Archimède, le maître de la poussée, était aussi le roi du levier, l'homme de la catapulte, et le prince la méthode d'exhaustion. Une question le concernant est cependant restée entière jusqu'à aujourd'hui: Comment a-t-il pu trouver l'encadrement suivant qui apparaît dans "De la mesure d'un cercle"?
Il est assez de rare de trouver un traitement très "pédagogique" d'un sujet au sens noble du terme, c'est à dire permettant de l'éclairer sous des angles très différents, dont un très original et concret, tout en construisant son unité profonde.
Prenons ensemble l'optique, la dynamique, la statique, la géométrie, l'élasticité, le calcul différentiel et l'histoire des mathématiques. Prenons aussi trois courbes très connues, la cycloïde, la chaînette et le cercle. Il semble difficile de relier le tout en un ensemble cohérent et pourtant il suffit d'un peu de savon pour les regrouper!
Je vais tenter d'expliquer. En cas de dérapage et pour plus de détails, l'article original est ICI et il suffit de s'y référer.
L'histoire commence par la recherche de la brachistochrone, c'est à dire de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant. En 1697, Jacques Bernouilli pose ce problème. Newton, Leibniz, Jacques et son frère Jean Bernouilli s'y collèrent et proposèrent leur solution. Les deux frères (qui se haïssaient) y parvinrent et découvrirent que le profil cherché était une portion de cycloïde.
Un peu plus tard, ce problème peut être résolu grâce au calcul différentiel en recherchant le minimum d'une expression du type fonctionnelle qui a été étudiée par Euler et Lagrange.
Prenons un peu de recul:
En fait l'idée c'est de penser à une bulle de savon. Il faut aussi avoir l'idée de planter deux piquets verticaux entre deux profils: l'un horizontal z=0 et l'autre z=1/√y. En plaçant un film de savon entre les piquets et les deux surfaces on devrait voir cela:
La trace laissée sur la surface horizontale est une cycloïde. Pour faire un peu plus scientifique on peut dire que la courbe qui minimise la surface de la bulle de savon ( oui la bulle de savon est fainéante, elle suivra toujours ce que l'on appelle une surface minimale) est la même que celle celle qui minimise le temps de parcours d'un point pesant.
Pourquoi me direz-vous? Tout simplement parce que le problème mathématique associé aux deux problèmes est similaire et donc la solution est de même nature.
Et pourquoi le problème mathématique est de même nature? Tout simplement parce que le profil z=1/√y a été bien choisi.
L'élasticité, est maintenant mariée à l'histoire des maths, au calcul des variations et à la dynamique.
On pourrait aussi s'imaginer qu'un rayon lumineux circule du point P1 au point P2 dans un milieu dont l'indice de réfraction serait proportionnel à 1/√y. La courbe suivie par le rayon lumineux serait identique à la courbe précédente: une cycloïde. Et voilà donc l'optique qui se mèle à la partie.
Supposons maintenant qu'une chaine soit tendue entre deux points dans un lieu où le potentiel de gravitation (très particulier, certes) serait proportionel à 1/√y . La courbe formée par le fil serait une cycloïde. La statique s'invite.
L'intérêt de ce dernier point est de retrouver le profil de la chaînette avec un film de savon en choisissant un profil de type z=ky. C'est la courbe qui minimise son énergie lorsqu'elle est soumise à la pesanteur.
Pour trouver le cercle, il suffit de changer le profil supérieur et le choisir tel que z=1/y. En reprenant les analogies précédentes, les trois courbes: la cycloïde, la chainette et le cercle se retrouvent ensemble dans le même "bain" (à bulles).
Voilà, c'est terminé et pour compléter quelques adresses suivent:
Autour de la cycloïde "Maths en Jean"
Complètement cycloïdique "Blog Sciences"
Courbe brachistochrone "Mathcurve"
Brachistochron Problem "Wolfram"
Courbe Brachistochrone "Wikipédia"
Solving the brachistochron and other variational problems with soap films "ArXiv"
Soap films help to solve mathematical problems
Après celui de Fabrice Bellard en janvier 2010, ce nouveau record de 5000 milliards de décimales a été atteint en août dernier, par un ingénieur système japonais, Shigeru Kondo .
L'article de Reuters.
Lorsque l'on prend 3 lettres de l'alphabet. Disons presque au hasard (x,y,z). et qu'on les assemble avec quelques opérations.
Par exemple comme cela:
((x2 +y 2+z2−9)3−x2y2z2)(x2+y2+z2−0
5)xy2+yx2+xz=0
On met un peu de couleur sur les points de l'espace vérifiant cette équation. On les éclaire avec de jolies sources de lumières.
Et on gagne le premier prix de la dernière compétition d'images "Imaginary" avec le résultat suivant:
Facile, non?
Supposons maitenant que l'idée saugrenue de créer physiquement de tels objets germe dans la tête de quelques terriens et qu'en plus ces étranges individus décident de les exposer. Voilà ce à quoi on peut s'attendre, une exposition Imaginary:
Précédemment sur ce blog: "Imaginary" pour voir les maths
La difficulté de trier et de compter les précieuses cellules souches ainsi que leurs cousines cancéreuses a longtemps limité les scientifiques dans la recherche de nouveaux traitements et dans leur compréhension de certaines maldies.
Une méthode de comptage efficace permet de mieux saisir le comportement de maladies évolutives telles que Parkinson, Alzheimer et le cancer. Le principal problème est en fait que ces deux types de cellules sont en proportions très faibles: 1/10000 voir 1/100000. L'idée est donc de développer un algorithme permettant de prévoir efficacement cette proportion.
L'intégralité de l'article en anglais.
En 2009, j'avais écrit un billet sur la création d'un cancer virtuel.
On peut aussi regarder du coté des traitements de chimiothérapie par exemple, qui peuvent être optimisés par la modélisation mathématique, sans "essais-ajustements" sur les malades. Il s'agit de déterminer les fréquences optimales d'administration d'un traitement permettant d'éviter deux seuils critiques, celui de la toxicité et celui de l'inefficacité. Voir par exemple ce travail.
Les chercheurs se sont aussi posés la question de l'horaire d'administration des traitements dans la journée pour les adapter à l'horloge biologique de chacun. Voir ICI.
Du micro au macro, il semble évident que la modélisation mathématique permet d'ajuster plus précisément le grossissement et la géométrie des lunettes du chercheur en biologie.
