Si vous êtes passioné de Rubik, vous allez sans doute être séduit par la projection stéréographique de la famille.
Un programme permettant de réaliser les manipulations sur les pojections est disponible sur cette page. Un autre permet de manipuler virtuellement les Rubik:  Ultimate Magic Cube.

Après la validation du théorème des quatre couleurs par le logiciel de certification Coq en 2005, c’est au tour du théorème de Feit et Thompson de passer dans la moulinette de la preuve informatique. La difficulté était cependant incomparable car, si le théorème des quatre couleurs n’utilise que des mathématiques combinatoires élémentaires, le théorème de Feit et Thompson s’appuie sur des mathématiques embrassant, grosso modo, le programme jusqu’à la licence ! Il est également plus long, avec ses 250 pages de démonstration, et les enjeux autrement importants, avec des applications dans de nombreux domaines scientifiques modernes, de la mécanique quantique à la cryptographie, en passant par la cristallographie.

La suite de l'article ICI et les témoignages des membres de l'équipe ICI .

Ce qui est bien avec les matheux, c'est qu'ils s'amusent avec pas grand chose... Donnez leur des cercles et des carrés, et ils vous créent des problèmes difficiles que certains considèrent même ludiques. Les autres resteront à tout jamais fermés à cet amusement de l'esprit ou tout du moins au fait que le terrain de jeu puisse être amusant.

Pour commencer à  "s'amuser", nous (pas moi mais J. Ricardo Mendoça) pouvons définir une nouvelle catégorie de nombres basés sur la première occurrence d'un certain motif de 0 et de 1 apparaissant dans le développement d'un nombre irrationnel dans une base donnée et les appeler "Nombres de Sagan" en référence à la première fois où de tels nombres ont été mentionnés par l'astronome américain Carl E. Sagan dans le roman de Science-Fiction Contact.

Pour débuter il faut définir la notion de n-cercle digital.

Définition du n-cercle digital.

Un n-cercle digital noté:

est une chaîne de n² bits, γi= 0 ou 1 qui assemblés de la gauche vers la droite et du haut vers le bas  codent un cercle digitalisé de diamètre n.

Il existe plusieurs façons de procéder. La deuxième approche "minimaliste" sera préférée, dans laquelle le nombre de 1 est minimal plutôt utilisée dans les technologies graphiques et les algorithmes qui donne le graphique (b).

On obtient les figures suivantes:

Ainsi:

On peut maintenant définir ce qu'est un nombre de Sagan.

Définition des nombres de Sagan.

Le n^ième nombre de Sagan décimal est la position dans la partie fractionnaire du développement de  π  en base 11, du premier chiffre du motif du n-cercle digital. On le note:

Les nombres de Sagan peuvent être généralisé pour n'importe quel nombre irrationnel  α et n'importe quelle base b. On les notera:

Et bien voilà, les présentations sont terminées et les matheux peuvent commencer à jouer afin de déterminer l'existence et la valeur de ces fameux nombres de Sagan! le problème posé touche du doigt la question de la normalité des nombres irrationnels dans n'importe quelle base, correspondant à l'équirépartition de chaque chiffre dans leur écriture.

Les premiers "chiffres" de Pi en base 11:

3.16150702865a48523521525977752941838668848853163a1a5421300465806522735053

3715271781a656371578133492888528191299206342527078127554826927697818064038

6187079590752454659a8876a29287267aa95754164754284475a718a59606a751a7513412

7a0525aa74070138624292a2542a3167921550550622029836612734698a08a2556602916a

53571454756894a25805a65a505a98131716aaa38868204098325970aaa553105877763582

301653133a753443a98119127676211a199730a1897918449a5a38659409534a4460107722

3546a614094a5809235096474789427705a3a4922410740916570038977533771952676361

38386036442694829545102839328755129856a85a524781730969a4080a901040093010a1

41a112654a8a9358a3a83415286a887a829645600582179834334013a419985988702a2549

a452143497638a92672a26203672a5216966415061384a077a389a3923102a21106200957a

6106554a8a54161713428538a39868214084a090107323154a7053692181190a04553706a6

51a3343816673a2892030896533aa225714357424631651155473011819a72362a78900493

8559a71067133093a7264a741886685073a93970747430aa68948218104271501328925862

5974765794718568955382a4423a30a2394278197543649849710aa0a9804...

Le premier nombre de Sagan est donc 1.
Il faut ensuite trouver la première occurrence de 1111 dans la liste (incomplète) précédente qui doit certainement se trouver entre les positions 10000 et 20000
Etc... 

De quoi occuper de longues soirées d'hiver d'un matheux en quête d'amusement.

Source: Sagan Numbers - Arxiv - J. Ricardo G. Mendonça (document avec exercices!)

La pensée chemine, culmine puis s'arrête enfin. Mais nous ne savons jamais vraiment où nous nous trouvons dans le parcours, emberlificotés que nous sommes dans l'incomplet, l'analytique, l'hypothético-déductif, l'analogique, le créatif, le sorite, l'approximatif et, il faut bien l'avouer, l'erreur qu'elle soit d'interprétation ou de raisonnement.

La Science place des panneaux indicateurs sur le chemin, indiquant que la voie est libre ou au contraire, que le chemin suivi est sans issue car il est bien souvent incompatible avec des résultats antérieurs déjà validés. Avant de dire la grande Vérité, à tout jamais inaccessible,  la Science élimine l'incohérent, le farfelu,  l'impossible ici et maintenant, de demain ou d'hier. Elle place les réserves, elle évalue le probable et l'improbable, quantifie les écarts, organise l'information et la réthorique des échanges, oriente les modes de pensées afin de les rendre compatibles. La Science permet la création sous réserve de cohérence de l'ensemble. 

Mais la Science doit se dire, se transmettre, se faire comprendre. Elle n'est d'ailleurs pas la seule à rencontrer cet impératif de transmission dont le seul fait d'avoir "voix au chapitre" ne suffit plus. Le Politique, l'Economique, le Scolaire doivent eux aussi le faire. Les temps changent. Les supports de transmission aussi. Les choses deviennent plus complexes, plus interactives. Le récepteur filtre l'information, peut la rejeter, l'ignorer ou l'accepter sous conditions. Il devient de plus en plus un élément majeur de l'environnement communicationnel qui doit être pris en compte dans le processus global. La communication est ce quatuor dynamique inclusif : Emetteur, Recepteur, Relation et Support. Si la production scientifique est indépendante de la nature du support et de la relation, elle ne l'est plus lorsque ceux-ci deviennent objet de recherche. Et par un même mouvement, si le scientifique cherche à communiquer avec des scientifiques dans un autre champ ou avec des néophytes, il doit aussi se frotter à une transmission qui ne serait plus simplement composée d'informations brutes mais d'objets communicationnels complexes et travaillés intégrant le récepteur du message, flirtant avec la vulgarisation, sa capacité de compréhension, la force de conviction de celui qui énonce. 

Je viens de boucler un article sur la modification des pratiques enseignantes à l'heure des TICE dans lequel j'ai placé la Communication (avec un grand C comme pour étendre son statut à tous les moyens disponibles et tous les objectifs visés) au même niveau d'importance que la Didactique et la Pédagogie.  Je suis intimement convaincu que la modification de la nature des supports et des moyens de transmission, impacte en profondeur non seulement sur la vitesse des échanges mais principalement sur la nature même de la pensée en y injectant de nouveaux objets et génère donc de nouveaux modes de reflexion. La modification des objets transmis produit une modification de la pensée elle-même, puisque ceux-ci s'y retrouvent de façon naturelle. Ne pas considérer ce point dans l'acte éducatif place l'école sur une voie de garage, comme devenant une sorte de résurgence anachronique par insuffisance symbolique.

Pour qu'il y ait transmission scolaire, il faut nécessairement trouver cet accord symbolique entre l'émeteur et le récepteur qui ne peut plus exclusivement relever du contrat didactique. Il ne peut s'effectuer qu'au sens d'une proximité des sens symboliques, les nouvelles technologies y trouvant naturellement leur place. Les TICE ne recouvrent cependant qu'une partie de de la cohérence symbolique recherchée mais permettent au moins un accord à minima entre les parties avec une dépense d'énergie convenable (à condition que chacun les maîtrise de façon suffisante). Elles ont l'avantage (et l'inconvénient) d'irriguer l'intégralité des champs du savoir. Le pacte symbolique (je préfère le mot pacte au mot contrat) serait de la même nature que le pacte linguistique de Roger Bacon (13ème siècle). Il releverait de l'occasionnalisme, celui de Bacon correspondait à l'entente entre les deux parties sur le sens des mots et j'y ajouterai aujourd'hui sur la symbolique globale de la communication et des contenus échangés dans un environnement technologique. Étymologiquement, le symbole est un tesson de poterie cassé en deux. Chacune des parties est donnée à l'un des contractants qui ne pouvaient liquider le contrat qu'en réunissant les morceaux. La communication est très certainement le processus qui permet de travailler sur la distance entre les deux acteurs, les rapprocher, les "recoller". Certains y verront apparaître  les termes de signifiant et signifié, il peut s'agir aussi de connaissances et de compétences. On pourra trouver aussi la motivation, la compréhension, le concret et bien d'autres termes allant au delà des seuls contenus d'enseignement. Et peut-être enfin tout simplement, l'envie ou la peur. D'une façon générale, tous ces processus sont modifiés, changent de nature au contact d'un environnement technologique favorisant lui-même  la communication. On peut voir avec quelle vitesse et motivation, les ados (et même des plus agés) dégainent leur Smartphone, laissant réveur tout professeur qui tente en vain depuis de nombreuses années, de faire sortir le livre de cours à ses élèves en moins de 5 minutes!

La technologie est incluse dans la communication. Il est possible de l'utiliser à bon escient pour faire sens, pour servir de médiateur dans une construction symbolique parfois difficile à trouver. Les nouvelles technologies sont de mon point de vue un habillage communicationnel que l'on peut utiliser et  faire varier suivant les buts recherchés.

Dominique Wolton, directeur de l'Institut des Sciences de la Communication du CNRS aborde dans l'émission radio "Infos Sciences" , le tournant communicationnel et les enjeux scientifiques, non sans rapport avec ce que je viens de dire précédemment. 

La communication, dans sa composante interactive est une relation mettant l'action du récepteur au premier plan. On pourrait tout aussi bien changer le mot communication par celui de  pédagogie ou de didactique sans produire de contresens. La communication étudie les échanges, la pédagogie les objectifs d'assimilation et de restitution, et la didactique, la nature et la forme des contenus transmis.

Il est intéressant d'entendre dire D. Wolton que l'interdisciplinarité (que l'on souhaite toujours mettre au coeur du système éducatif) relève de la communication et donc de la négociation. Le terme d'incommunication peut être mis de façon très intéressante en rapport avec la notion d'"incommunicabilité" (que je préfère à celle de nonsense) abordée de façon métaphorique par Lewis Carroll  dans son oeuvre dans laquelle on pourra aussi trouver des éléments intéressants sur la "communicabilité". Pour faire court, Carroll semble avoir mis le doigt sur les phénomènes principaux liés à la transmission d'un message ou à son absence. Par exemple, les mots-valises qui pourtant n'existent pas, sont tout à fait compréhensibles, comme l'est aussi le poème du Jabberwocky, composé de mots inconnus. La communication n'est donc pas seulement une affaire de lexique (ah ces textos qui ne respectent aucune ortographe ni aucune syntaxe et qui sont pourtant tout à fait compréhensibles...). Et tout le parcours d'Alice est celui d'une petite fille qui tente de se faire comprendre et de comprendre le monde dans lequel elle évolue et il faut bien là aussi constater que les exemples d'"incommunicabilité" sont légion!  Lire en partie sur ce propos, mon interprétation personnelle de l'impossible communication entre Alice (pensée affective) et Humpty-Dumpty (pensée algorithmique). S'interroger sur l'"incommunication", que l'on rencontre souvent dans le monde scolaire, est sans aucun doute très riche d'enseignement. La conversation entre Alice et Humpty-Dumpty pourrait se transposer facilement à l'école, montrant à quel point les difficultés de communication peuvent y être importantes entre une pensée affective  et une pensée cartésienne, une pensée qui reçoit le sens et celle qui le donne. 

-Humpty Dumpty : "C'est de la gloire pour toi !"
-"Je ne comprends pas ce que tu veux dire par gloire", répondit Alice
Humpty Dumpty sourit d'un air dédaigneux,
-"Naturellement que tu ne le sais pas tant que je ne te le dis pas. Je voulais dire : c'est un argument décisif pour toi !"
-"Mais gloire ne signifie pas argument décisif", objecta Alice.
-"Lorsque j'utilise un mot", déclara Humpty Dumpty avec gravité, " il signifie exactement ce que j'ai décidé qu'il signifierait - ni plus ni moins ".
-"Mais le problème" dit Alice, "c'est de savoir si tu peux faire en sorte que les mots signifient des choses différentes".
-"Le problème", dit Humpty Dumpty, "est de savoir qui commande, c'est tout " !

Le pacte symbolique est un impératif. Les TICE permettent sans aucun doute de favoriser son émergence en délestant d'une partie de la charge du sens, l'émetteur et le récepteur du message.

Il y a quelques années (déjà!), je me suis mis à la recherche des germes d'une philosophie de la transmission. J'y ai trouvé peu de choses. La communication semble aujourd'hui l'élément incontournable d'une réflexion sur la transmission. Il faudra aussi  travailler sur l'altérité comme le souligne D. Woltron. Il est intéressant de noter que la notion d'altérité peut sans doute se dissimuler derrière celle de communication, qui sont peut-être les composantes  d'un même concept relevant pour l'un de l'état et pour l'autre du processus.

Nous pouvons aussi nous interroger sur l'impossible mission de définir des contenus à transmettre pour tous, en même temps que pour chacun!

Source: The Dude Minds