Inclassables Mathématiques 2.0

Tous les ans je publie un billet montrant l'évolution de ma pratique numérique. Pour remonter dans le temps, c'est ICI.

Par rapport à l'an passé, mon tablet PC vient de rendre l'âme (je l'avais acheté d'occasion sur e-bay). Je l'ai remplacé par un Lenovo X220i que je n'ai pas encore testé en classe mais la première impression est exceptionnelle. Il est rempli de fonctionnalités facilitantes: lecteur d'empreintes digitales, boutons de volume, coffre de mots de passes, économie d'énergie, excellente autonomie, 1.5 kg...

Le manque d'équipement de vidéo projection facilement accessible dans les salles de classe fait que je me suis doté d'un mini vidéo projecteur Acer qui répond pleinement aux spécifications indiquées pour des classes de petites dimensions. Je l'utilise même pour projeter des diaporamas et des films sur le mur de ma maison! Il nécessite cependant une bonne obscurité pour fonctionner de façon optimale car la puissance est quand même  en dessous de  celle d'un vidéo-projecteur de taille "normale".

En ce qui concerne les logiciels, je n'ai pas énormément modifié ma pratique. J'ai cependant utilisé en plus dans quelques unes de mes séances, les logiciels Larp pour l'algorithmique et Casyopée pour l'étude de fonctions et l'aide à la modélisation. 

J'ai transféré mon cahier de textes (avant de publier le contenu sur L'ENT), mon cahier de notes, la préparation de mes cours et les supports de visualisation sur OneNote. C'est très pratique d'autant plus que les fichiers sont en ligne et synchronisés avec mon PC par l'intermédiaire de l'espace de stockage Skydrive. Il est possible d'insérer des copier-coller de textes,  des copies d'écran,  des fichiers de tous types et de les lancer en même temps que l'on visualise le cours. Je l'ai utilisé régulièrement en classe à partir de la deuxième partie du second trimestre en préparant mes cours le matin, essentiellement par copier-coller de textes ou de fichiers.

J'ai découvert OpaleSup et je commence à mettre mes cours en ligne avec ce logiciel. Le travail est long mais je pense que l'investissement en vaut la peine.

Cette année les élèves m'ont beaucoup moins contacté via Edmodo mais ont cependant bien apprécié ma présence en ligne. Ils étaient plus spectateurs qu'acteurs m'ont-ils dit.

Je crois qu'à partir de cette année, j'ai à peu près fait le tour de l'édition numérique, ce qui ne veut pas dire que je considère être arrivé au terme de ce qu'il est possible de créer. C'est simplement que je suis en mesure d'assurer la chaine pédagogique complète même si je ne le fais ni pour toutes les classes, ni pour toutes les notions, de la présentation en classe à la mise à disposition en ligne et de façon dynamique (les éléments proposés ne sont pas seulement des documents type "papier", mais des documents numériques intércatifs incluant des applets, principalement GeoGebra). Il me reste à quantifier l'impact réel de cette activité sur l'apprentissage des élèves et à essayer de les rendre plus producteurs de contenus, ce que je vais tenter de faire l'année prochaine si mes classes le permettent.

C'est peut-être passé inaperçu en France mais Wolfram vient de définir un  nouveau format de document, le CDF pour Computable Document File, qui rappelle étrangement le PDF.

L'auteur du CDF devra être muni d'un logiciel d'édition, ici il s'agira de Mathematica avec lequel il pourra éditer du texte et du code. Il pourra aussi modifier un texte et un code existant. Le lecteur devra quant à lui disposer d'un logiciel mis gratuitement à la disposition de chacun, le Player Mathematica, mais il ne pourra que lire le document et non le transformer.

Le document pourra être rendu intercatif par l'auteur comme le montre la vidéo suivante.

Wolfram a eu la bonne idée de commencer par créer une bibliothèque impressionante de "démonstrations", et de lancer son moteur de recherche WolframAlpha , qui si on le regarde bien dispose d'un petit lien... "Live Mathematica" en bas de chaque page de requête permettant un export en .jsp format qui peut être lu par Mathematica. 

La boucle est bouclée. Mathematica n'est plus seulement un logiciel dédié aux mathématiques mais devient le premier éditeur de documents de type CDF.

Ce n'est pas de la pub pour Wolfram que je voulais faire ici, mais pointer la modification de la nature de l'information lorsqu'elle devient numérique. Celle-ci change profondément de forme lorsque le support change et CDF est certainement le premier pas vers des formes de documents interactifs dont l'auteur peut manipuler le code.

J'avais longuement parlé de l'avenir de l'édition scolaire, de la modification de la nature de l'information par le simple fait de la modification de son support et je crois que nous sommes ici, bien plus à l'aube d'une modification profonde de l'édition que nous l'avons été avec l'arrivée du traitement de texte, qui a permis des gains importants de productivité mais n'a pas modifié la structure même de l'information papier.

Je ne sais pas si dans cette évolution Wolfram ressortira vainqueur mais il y a fort à parier qu'il a pris une sérieuse avance dans le domaine de la publication numérique. Il lui restera sans doute à penser au grand public et je pense que l'avenir apportera son lot de surprises et de guerres violentes mais l'idée de base est là.

Exemples de documents CDF.

J'ai adoré ce livre qui traite d'un sujet bien complexe qu'est celui des mathématiques et de leur lien avec la religion ou de son absence. La scène se situe au début de XX ème siècle. Le décor est celui de la théorie des ensembles. Les acteurs français sont Borel, Lebesgue et Baire, les russes sont Egorov, Florensky (avec son baton) et Lusin. Les français sont des rationalistes alors que les russes sont pratiquants de l'Adoration du Nom, hérésie orthodoxe, qui vise à entrer en contact avec Dieu et Jésus par le biais du nom et par l'intermédiaire de la prière invoquant ce nom. Ce fut aussi, de façon surprenante, une porte d'entrée pour s'autoriser à nommer les objets mathématiques, tels que les infinis et les ensembles de nombres  afin de pouvoir leur donner corps et existence.

Le livre commence par l'explication de la mystique de l'Adoration du nom, poursuit sur la crise des fondements en mathématiques pour se diriger ensuite vers une présentation approfondie de la vie des six principaux protagonistes, du mysticisme des russes et de leurs destins tragiques, liés à la persécution du pouvoir. On aperçoit au passage d'autres personnages tels que Markov, Alexandrov, Kolmogorov et bien sûr Hilbert. La naissance et la vie de l'école mathématique russe, nommée la Lusitanie y est décrite en détails. Le livre se termine sur une réflexion concernant le facteur humains dans la découverte mathématique.

L'histoire qui est racontée dans ce livre dépasse largement le cadre des mathématiques pour ouvrir en brêche des lieux bien souvent trop communs concernant la pensée humaine.

La présentation du livre par Pierre de la Harpe.

Sur Publimaths.

L'article complet.

Au début du XXème siècle, Emile Borel, brillant mathématicien,  pronait le développement des laboratoires mathématiques dans les classes pour que les élèves se rendent compte qu'elles ne sont pas une pure abstraction... On a vu se pousuivre le développement des laboratoires de physique expérimentale et de SVT, mais pourquoi le système scolaire français n'a-t-il jamais poussé plus en avant cette idée?

Il semble que la valeur éducative de l’enseignement mathématique ne pourra qu’être augmentée si la théorie y est, le plus souvent possible, mêlée à la pratique. L’élève comprendra qu’il est sans doute excellent de bien raisonner, mais qu’un raisonnement juste ne conduit à des résultats exacts que si le point de départ est lui-même exact ; qu’il faut, par suite, ne pas croire aveuglément à tout raisonnement, à toute démonstration d’apparence scientifique, mais se dire toujours que la conclusion n’a de valeur qu’autant que les données ont été scrupuleusement vérifiées par l’expérience. C’est la meilleure éducation que nous pouvons souhaiter donner à nos élèves. Quand ils auront bien compris à la fois la puissance indéfinie du raisonnement abstrait et son incapacité absolue à créer de toutes pièces une vérité pratique, ils seront mieux armés pour la vie.

Le hasard, Emile Borel, éd. Librairie Félix Alcan, 1914, p. 12-13

On pourra lire avec un intérêt tout particulier la conférence qu'il a donné le 3 mars 1904 au  musée pédagogique d'où sont extraites les citations suivantes:

Mais pour amener, non seulement les élèves, mais aussi les professeurs, mais surtout l’esprit public à une notion plus exacte de ce que sont les Mathématiques et du rôle qu’elles jouent réellement dans la vie moderne, il sera nécessaire de faire plus et de créer de vrais laboratoires de Mathématiques.

Si la création de laboratoires en partie communs, se prêtant des appareils, utilisant même, dans un petit établissement, les mêmes outils, pouvait avoir pour résultat de rapprocher les physiciens et les mathématiciens, ce serait déjà une raison suffisante pour les créer.

j’ai parlé de ce que, à mon sens, il y avait à faire au point de vue des exercices pratiques de Mathématiques, mais je n’ai pas dit qu’il fallait supprimer l’enseignement théorique des Mathematiques ; je pense, au contraire, qu’on peut le conserver tel qu’il existe (à peu de chose près) ; mais cet enseignement théorique ne sera que mieux compris s’il est accompagné d’exercices pratiques, tels que nous avons essayé de les définir.

Cela étant bien entendu, il semble que la valeur éducative de l’enseignement mathématique ne pourra qu’etre augmentée si la théorie y est, le plus souvent possible, mélée à la pratique.

Avez-vous des exemples de preuves sans mots comme l'illustration suivante, que je trouve excellente?     

 A chaque couple de la dernière ligne correspond un unique point jaune... d'où le résultat.

Je n'ai pas trouvé de traduction en français pour un triangle possédant un angle de 60°.

Un peu comme le triangle rectangle qui dispose de l'un des théorèmes les plus beaux des mathématiques, le triangle eutrigone, dont l'angle de 60° remplace celui de 90°, possède une propriété très analogue.

Si l'on trace des triangles équilatéraux sur chacun des cotés du triangle eutrigone, son aire est égale à la somme de celles des deux triangles adjacents à l'angle de 60° moins l'aire du troisième!

Belle propriété non?

 Vous trouverez l'applet GeoGebra pour constater la propriété ICI.

 Pour la démonstration, elle est du niveau de première S !

The area of an equilateral triangle with side is . By the law of sines, the area of a eutrigon is . The law of cosines gives , because . Multiplying by gives the statement of the theorem.

 Voir le site de Wolfram.

Certains mathématiciens refusent l'idée que l'infini puisse être un concept que l'on peut utiliser. Ce sont les finitistes. Les plus radicaux d'entre eux sont les ultrafinitistes dont faisait partie le mathématicien russe Alexander Yessenin-Volpin, logicien et poète ( qui a été interné dans un hopital psychiatrique en 1949 pour "poésie anti-soviétique" !).

Lorsqu'on lui demandait si toutes les puissances de 2 avaient un sens, il précisait que la question devait être détaillée pour qu'il puisse y répondre et que chacun de ces nombres devait être étudié.

Il répondait presque instantanément que 2¹ était un réel. Lorsqu'on lui demandait si 2² était un réel, il mettait un peu plus de temps à répondre, puis encore plus de temps pour préciser que 2³ en était aussi un. Et si on lui demandait un jour si  2¹⁰⁰ était un réel, il mettrait  2¹⁰⁰  plus de temps à répondre que pour 2¹. Belle façon de montrer qu'il était impossible de répondre à la question et que l'infini est un concept qui n'a pas de sens.

Source: L'excellent livre "Au nom de l'infini" de Cantor et Graham

J'ai adoré ce livre de 188 pages aux illustrations fournies, alors qu'il ne m'était pas destiné. En effet l'auteur Rob Eastaway explique qu'il a écrit ce livre pour répondre à une journaliste qui mettait en doute la beauté des maths.

Le sous-titre du livre, très bien traduit par Olivier Courcelle, indique avec pertinence qu'il abordera les mathématiques surprenantes de la vie quotidienne, alors qu'en conclusion Rob remercie deux amis mathophobes, qui lui ont permis de savoir ce qu'il NE FALLAIT PAS mettre dans un livre comme celui-ci. Il est à noter que le livre ne perd rien en rigueur explicative mais gagne fortement en adoptant toujours un angle d'attaque favorable au lecteur qui n'est pas accomodé aux subtilités mathématiques.

Je connaissais de nombreuses propriétés citées, et malgré le fait que je baigne dans l'univers mathématique quotidiennement, je me suis fait encore surprendre par ses fascinantes propriétés, et j'ai encore découvert quelques merveilleux joyaux qui peuvent facilement s'énoncer. Je n'hésiterai d'ailleurs pas à présenter à l'occasion, à mes élèves, quelques propriétés amusantes telles que le paradoxe de Penney, qui donne un avantage décisif à celui qui débute dans un certain jeu de pile ou face ou celui du dictateur qui, pour soutenir une politique nataliste en faveur des garçons interdit aux mères ayant eu une fille, d'avoir un autre enfant... Politique paradoxalement d'un effet nul sur la répartition des naissances!

Je vous encourage donc à croquer dans ce petit moment de maths abordables, sous l'angle du AAHH (la beauté), du AHA (l'émerveillement) et du HAHA (le rire!).

Et, pour conclure... Si on a deux couleurs de chaussettes dans un tiroir, combien faut-il prélever de chaussettes au hasard (il fait noir le matin..), pour être certain d'avoir une paire de chaussettes de la même couleur? Et que se passe-t-il avec 3,4,5 puis n couleurs de chaussettes dans le tiroir?

Les diagrammes suivants, bien que très usuels m'ont posé pas mal de difficultés pour les insérer dans une publication numérique. Entre solutions longues et parfois bancales, je jonglais plus ou moins habilement avec les logiciels dont je disposais et des copies d'écran pas toujours de bonne qualité.

Pour réaliser ces diagrammes, il suffit d'installer PstPlus  de le configurer correctement comme c'est expliqué. Attention, il faut indiquer pour Windows, le chemin de gswin32c.exe  et non de gswin32.exe associé à Ghostscript. Il faut aussi installer une distribution Latex.

Une fois ces opérations réalisées, on peut générer un fichier en .eps à partir des différents assistants.

Il suffit ensuite d'utiliser un convertisseur en ligne pour obtenir une image. Pour ma part j'ai utilisé epsconverter, très facile d'emploi.