Lorsque l'on est mathématicien, informaticien ou ingénieur, la base binaire ou hexadécimale ne comporte aucun secret. Cependant lorsque l'on a fait une terminale L, que l'on est étudiant(e) en sciences du langage et que l'on a choisi l'option maths, calculer en base 4 n'a rien d'évident comme de se rappeler du cours de primaire sur la numération de position.

Depuis bien longtemps, on n'a plus besoin du concept de base pour comprendre 2 345 et pour faire une addition simple. Du moins on a oublié ce qu'était la base de la base 10 et la numération positionnelle.


Retour sur la base 10

Nous écrirons les nombres avec des séparateurs et nous les lirons dorénavant en commençant par la droite contrairement à ce que nous faisons usuellement.

2345 devient 2.3.4.5 et on lit le 5 puis le 4 puis le 3 puis le 2

La première place ( à gauche ) est celle des unités, ici c'est 5

Pour écrire des unités en base 10 il nous faut 10 caractères ( ce sont nos chiffres ):

        - Le premier pour indiquer qu'il n'y a pas d'unité, nous choisirons le caractère 0
        - puis 9 autres caractères pour comptabiliser, nous choisirons 1,2,3,4,5,6,7,8,9

En base 10, la deuxième place, ici occupée par 4 est celle des "10"aines, 10 est justement lié à la base dans laquelle on compte.

En se décalant encore vers la gauche d'un cran, la troisième place occupée par 3 est celle des "10x10" aines, donc des centaines.

On se décale encore vers la gauche, la dernière place ( ici) occupée par un 2 est celle des "10x10x10"aines que l'on appelle les milliers.

Ainsi par reconstruction additive de ce nombre, il correspond exactement à 3 unités + 4 dizaines + 3 centaines + 2 milliers !

Vous avez sans doute remarqué que les mêmes caractères sont utilisés pour la comptabilité des dizaines, des centaines et des milliers et que l'on peut poursuivre ces raisonnements pour des nombres contenant plus de chiffres et donc s'augmentant vers la gauche suivant le même principe.


        L'addition en base 10.

      C'est très simple lorsque l'on est à 9 unités et que l'on veut en ajouter 1 supplémentaire:

     - d'une part je n'ai plus de caractère à ma disposition pour indiquer 10 unités à la place des unités
     - d'autre part j'ai un moyen très simple de le faire en indiquant que :

       9 unités + 1 unité = 1.0  qui se lit " zéro unité + une "10"aine"

     C'est le principe "élémentaire" de la retenue, principe qui peut se reproduire sur les "10"aines, les "10x10" aines,   etc

L'exemple de la base 4

Nous allons reprendre les mêmes raisonnements:


Combien faut-il de caractères pour écrire un nombre en base 4 ?

Par analogie avec la base 10, il en faut 4: le 0 pour indiquer l'absence et 3 autres caractères 1,2,3.

Considérons le nombre 321 que l'on écrit 3.2.1 et qu'on lit à partir de la droite

Le 1 est à la place des unités
Le 2 est la place des "4"aines, 4 est lié à la base, nous sommes en base 4 !
Le 3 est à la place des "4x4"aines soit des "16"aines

Par reconstruction additive, on obtient la valeur de ce nombre dans notre bonne vieille base 10

3.2.1 en base 4 est égale à 1 unité + 2 "4"aines + 3 "16"aines soit 1+8+48= 57 en base 10


        Et l'addition en base 4 ?

        On utilise le même principe de retenue qu'en base 10, sauf qu'en base 4, le dernier caractère  permettant la comptabilité est 3, ainsi:

         3+1 = 1.0
         3+2 = 1.1
         3+3 = 1.2
         3+ 1.0 = 1.3
         3 +1.1 = 2.0 etc


Un autre exemple, celui de la base 12

Toujours par analogie avec la base 10, il faut 12caractères, le 0 pour l'absence, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 mais il manque 2 caractères, on ne peut pas utiliser 10 et 11 car il sont formés de plusd'un caractère et on perdrait le coté " positionnel " de notre numération.

Par exemple 101 pourrait se lire 1.0.1 ou 10.1 !

Nous allons donc utiliser les lettres de l'alphabet: le A correspondra au 10 et B au 11.

Ainsi le nombre 1.A.B correspondra à B ( 11 en fait ) unités + A ( 10 en fait ) "12"aines + 1 "12x12"aine soit 11+120+144 = 275 en base 10

        Et l'addition ?
        En base 12 : B+1= 1.0   !


Et pour vous aider dans votre travail, un petit convertisseur bien sympathique ( utiliser impérativement le pavé numérique ) : ICI


Vous pouvez par exemple, essayer de convertir un nombre donné en base 10 vers une base quelconque !

Par exemple convertir 121 en base 12 puis en base 5 puis en base 2 !

C'est à vous et on ne copie pas...

Tangente le magazine de la culture mathématique a déjà 20 ans !

2007 marque une date exceptionnelle dans l’histoire de Tangente. Qui aurait imaginé en 1987, quand une bande de passionés des maths s’est unie pour créer un magazine, que l’aventure continuerait encore 20 ans plus tard ?

Tangente s’est fixé un objectif qui ne peut que séduire les lecteurs amateurs de science : porter sur le monde qui nous entoure un regard scientifique et plus spécifiquement mathématique ; une approche qui ajoute une dimension supplémentaire dans la façon de considérer notre environnement.

A l’occasion de la Fête de la Science

Tangente vous invite à son 20e anniversaire
12-14 Octobre 2007
Place du Panthéon à Paris (Mairie du 5e arrondissement)
Ateliers, conférences, expositions, spectacles
Sous le haut patronage de M. Xavier Darcos
Ministre de l’Education Nationale et de
Madame Valérie Pecresse
Ministre de l’Enseignement Supérrieur de la Recherche

Le programme de ces journées :

Vendredi 12 octobre 2007 :
10h30 : construction d’un polyèdre géant (François Gaudel, Hall de la Mairie)
13h : mini conférence Cryptographie(Hervé Lehning)
14h : Représenter l’espace avec un logiciel 3D(Jean François Rotgé)
15h : Vous reprendrez bien un peu de mathématiques ?(Alexandre Moatti)
16h : Maths jeux et arts(Marie José Pestel)
17h : conférence de presse - Tangente, le jeu et la culture dans l’approche des mathématiques (Gilles Cohen)

Samedi 13 octobre 2007 :
10h30 : construction d’un polyèdre géant (François Gaudel, Hall de la Mairie)
11h00 : tournoi de puzzles de bridge, avec le magazine Jouer Bridge
11h : film mathématique (François Tisseyre)
13h : mini conférence L’infini, entre logique et paradoxe(Hervé Lehning)
14h : Un minimum de mathématiques (Jean Brette)
14h : tournoi de combi logique (Bernard Novelli)
15h : lecture Oulipienne (Marcel Benabou / Olivier Salon)
16h : Magie, mathématiques et rythmes (Mimosa)
17h30 : Théâtre : One zéro show(Denis Guedj)


Dimanche 14 octobre 2007 :
10h30 : construction d’un polyèdre géant (François Gaudel, Hall de la Mairie)
11h : tournoi de Sudoku (Bernard Novelli)
14h30 : Mathématiques et finances- (Nicole El Karoui ou Raphael Douady)
16h00 : Jeux mathématiques hebdomadaires du Monde(Elisabeth Busser)
17h : cérémonie de clôture


Le programme complet des 20 ans de Tangente : Programme20ansTangente.pdf

Une autre façon de voir les mathématiques

“ Les mathématiques ne sont pas un domaine réservé aux initiés. Elles interviennent dans tous les domaines de la vie : dans notre quotidien face à notre banquier, mais aussi dans tous les objets technologiques devenus anodins comme les puces de nos cartes bancaires ou le GPS de nos voitures. Elles permettent de comprendre en profondeur les sciences mais aussi l’économie ou même la politique. Elles sont derrière la plupart des jeux et entretiennent même des relations étroites avec les arts comme l’architecture, la musique, et même la littérature, la peinture ou la sculpture.

D’ailleurs, faire des mathématiques pour qui les connaît bien est un jeu, et tous les mathématiciens vous diront qu’une étrange beauté émane de certaines démonstrations ”.

Gilles Cohen, Directeur de la Publication de Tangente

Bourse, sondages, climat, météo, médecine, téléphones portables, classements sportifs,… Autant d’activités, d’actualités, de notions qui nous sont familières et qui font appel aux mathématiques !
Les mathématiques sont omniprésentes dans notre vie quotidienne et même sur le petit écran.
Avec un succès qui ne se dément pas, elles sont au coeur du succès de la série TV Numb3rs qui, après les Etats Unis et
ses 11 millions de spectateurs, a conquis la France depuis plusieurs mois.
Utiliser les mathématiques pour résoudre des enquêtes criminelles, un pari audacieux qui fonctionne à merveille et qui séduit car le spectateur voit la finalité des raisonnements mis en place !

Les maths, finalement, c’est peut-être un peu compliqué mais ce n’est pas aussi rébarbatif si elles sont présentées autrement que sur un tableau noir.
Tout est une question d’enseignement et d’appréhension de cette discipline, beaucoup plus riche qu’il n’y paraît au premier abord, et qui est indispensable dans le monde du 21e siècle où la technologie est omniprésente.

D’ailleurs, ne peut-on pas aussi considérer les mathématiques comme un sport des neurones où le fait de résoudre une énigme ou un défi est un dépassement de soi ? Sans aucun doute !

C’est le pari de l’équipe de Tangente, créer des passerelles entre les mathématiques et les autres sciences, faire le point sur les savoirs, promouvoir les mathématiques par le jeu… grâce au magazine mais aussi à plusieurs collections d’ouvrages de vulgarisation, d’ouvrages dédiés aux jeux mathématiques dès la maternelle et de manuels scolaires.

Comment réconcilier votre enfant avec les maths ?

Il ne veut pas entendre parler des nombres, des équations ou de la géométrie ? Rassurez-vous, ce n’est pas un cas désespéré. Il existe de nouvelles portes d’entrées pour aborder le monde mathématique sans stress et sans a priori. Les compétences demandées en mathématiques se définissent à peu de choses près comme en français. Les chemins ne sont pas différents pour accéder aux compétences fondamentales, ils s’entrecroisent, se complètent et s’enrichissent.

Dans cette situation d’apprentissage, il est important de proposer des activités aux sources multiples : historiques, artistiques, ludiques et en rapport avec la vie quotidienne de nos enfants. Elles doivent permettre aux jeunes de devenir acteurs de leurs apprentissages.

Apprentissage associé à l’histoire des mathématiques

L’activité mathématique est sans doute l’une des plus vieilles activités humaines. On peut penser que les premiers signes d’écriture sont mathématiques : calculer pour les échanges, mesurer son champ, construire, se déplacer sur l’eau ou sur terre. L’histoire des mathématiques et leur évolution permet de les rendre vivantes aux yeux des enfants, de leur donner des points de repères dans le temps et leur permet de mieux appréhender les concepts abstraits de cette discipline.

Apprentissage associé à l’art

L’étude des oeuvres de certains peintres tels que Vasarely, Mondrian ou Kadinsky peut être un point de départ pour étudier la géométrie, tout comme certaines activités manuelles telles que l’origami, qui met en évidence des propriétés géométriques: axe de symétrie, parallélisme, perpendiculaire…
L’art permet aux mathématiques de montrer leur beauté.

Le jeu, une nouvelle approche du monde mathématique !

Le jeu mathématique offre des possibilités originales et efficaces pour l’enseignement :
- il développe l’esprit de recherche,
- il offre à l’enfant les moyens d’organiser sa pensée
- il permet une approche de notions nouvelles par la manipulation avec les puzzles par exemple,
- il permet le raisonnement par essai-erreur. En jouant, l’enfant a le droit de se tromper et c’est à partir de ses erreurs qu’il va améliorer sa tactique de jeu. Dans le jeu, l’erreur a un rôle formateur qui n’est pas possible en classe où on ne lui laisse malheureusement pas le temps de se tromper de raisonnement.

Le jeu utilise souvent le raisonnement déductif, la logique : sudoku, master minds, Magix 34 et tous les jeux de grilles à solution unique. Un jeu comme le sudoku peut être utilisé dès la maternelle afin de développer les capacités de logique et de réflexion des tous petits. Par le jeu, on aide l’enfant à surmonter les situations de blocage et on lui permet de réussir. Le jeu a un rôle social particulièrement important : respect des règles, respect de l’autre, encouragement à ne pas tricher…

Les maths dans la vie quotidienne

Pour les plus grands, les statistiques, les articles scientifiques, l’observation critique de graphiques dans les journaux permet de créer des passerelles et de montrer les applications pratiques des mathématiques dans la vie de tous les jours. Pour les plus petits, la simple question “ à quoi ça sert ? ” développe leur esprit critique et de réflexion.

Mme Valérie Pécresse, ministre de l'Enseignement supérieur et de la recherche, a inauguré la Journée de la Fondation des sciences mathématiques de Paris, le 28 septembre au Collège de France, le premier évènement organisé par la Fondation.

Décideurs politiques, universitaires, représentants du monde industriel, étudiants et lycéens ont pu assisté aux débats et conférences sur les mathématiques fondamentales et appliquées.

Réseau d'excellence unique au monde dans sa discipline par sa dimension et son potentiel scientifique, la Fondation rassemble près de 1000 scientifiques de 6 grands organismes et établissements de recherche parisiens.

Le discours de Jean-Charles Pomerol, président de l'UPMC et président de la Fondation Sciences mathématiques de Paris
Le discours de Valérie Pécresse
Le communiqué de presse 
Le site de la Fondation Sciences mathématiques de Paris

Le 19 septembre 2007, la chancelière Angela Merkel a reçu à la chancellerie fédérale les lauréats 2007 du grand concours scientifique "La jeunesse cherche" ("Jugend forscht"), le plus vaste concours scientifique d'Europe en sciences naturelles, mathématiques et technologie.

Une coutume ancrée depuis 1981 qui n'était pas pour déplaire à l'ancienne physicienne. Angela Merkel a remis le "Prix spécial de la chancelière" à Raphael Errani. Originaire de Basse-Saxe, le jeune homme de 17 ans a remporté cette récompense de 1.700 euros pour avoir calculé la probabilité qu'une météorite s'écrase sur la Terre. Son travail a été jugé le plus original de tous les projets déjà récompensés, tels que la fabrication d'un simulateur de vol, d'un écran tactile utilisable avec plusieurs doigts, d'un robot humanoïde à la démarche souple ou encore l'analyse de la qualité de l'air à Hambourg.

Après avoir vivement encouragé tous les jeunes d'Allemagne à se passionner pour les sciences, la chancelière n'a pas manqué de rappeler l'une des priorités politiques du pays : la pénurie d'ingénieurs et de main d'oeuvre qualifiée. Le gouvernement allemand va continuer d'investir dans la recherche et dans l'innovation, a assuré la Chancelière.

9.121 jeunes de toute l'Allemagne, dont 37% de jeunes filles, ont participé cette année à la 42ème édition du concours "La jeunesse cherche". C'est le deuxième meilleur chiffre de participation depuis 1965.

Source Bulletins électroniques : ICI

Friedrich Pillichshammer a développé, avec le concours de mathématiciens australiens, une méthode pour intégrer à l'aide de réseaux numériques une importante classe de fonctions à grand nombre de variables. Dans un second temps, les mathématiciens ont découvert une solution pour construire pas à pas de tels réseaux numériques.

La malédiction des intégrales à très grande dimension est une conséquence des méthodes d'approximation utilisées, telle la méthode de quasi-Monte-Carlo. Il s'agit dans ce cas de choisir un ensemble de points du champs d'intégration, au lieu du champs d'intégration lui-même, et d'en extraire ensuite le maximum d'information. Or, y compris en disposant les points conformément aux prescriptions les plus pertinentes, pour arriver à approcher de façon satisfaisante l'intégrale, la quantité de points dépend de la dimension de l'intégrale. En l'occurrence, ce nombre croît très fortement avec la dimension. Ce fait constitue la "malédiction".

La méthode des mathématiciens permet de s'affranchir de cette contrainte ; un réseau à une dimension est établi, à partir duquel la seconde dimension est déduite, etc., le tout en limitant l'erreur globale.

Source : Bulletins électroniques : ICI