Inclassables Mathématiques Le blog 2.0

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L'Ecole d'Athènes est une fresque réalisée par le peintre Raphaël entre 1509 et 1510. L'oeuvre fait près de 8 mètres de large sur 2,5 mètres de hauteur.

Cette fresque symbolique présente les figures majeures de la pensée antique. Les personnages sont représentés en des places et des postures particulières, ornés de certains attributs, ce  qui permet d'en identifier certains. Ils sont disposés sur deux lignes horizontales principales, et sont séparés par une verticale nettement discernable, ce qui confère à ce tableau ordre et symétrie parfaite.  L'Ecole d'Athène représente un haut lieu de culture philosophique, dont l'humanisme transpire d'ailleurs du tableau, qui s'oppose à la culture théologique. Le cadre architectural est classique. On ne peut s'empécher d'y voir le souvenir des termes romains. Cet environnement fait contrepoid aux univers mythologiques souvent présents dans les tableaux de Raphaël. Le regard du spectateur se dirige en premier lieu vers le centre du tableau où se tiennent debout les deux personnages principaux: Platon (14) et Aristote (15) , majestueux et habillés de la toge romaine. Platon tient le Timée, et pointe le doigt vers le haut pour montrer que la connaissance procède d'un mouvement ascendant, qui va de la terre au ciel de l'idéal philosophique, alors qu'Aristote,  dirige la paume de la main vers le sol indiquant que tout idéal philosophique ne peut exister que dans le monde d'ici-bas.

Tous les personnages sont référencés dans l'article de wikipédia. Il semble qu'il y ait quelques doutes sur l'identité de certains d'entres eux. Nous nous arréterons dans cette note à la seule composante "mathématique" des figurants de cette fresque

Une lecture dynamique de cette fresque est possible ICI . On y voit en particulier les éléments de perspective, d'éclairage et la présence du nombre d'or ( rectangles et carrés ) au centre de la scène. Une étude des éléments de perspective du tableau est disponible ICI.

La première question qui vient à l'esprit est Y a-t-il des maths dans le Timée que tient Platon à la main? ( que j'espère tout le monde a lu !).

La réponse vient sans se faire attendre puisque s'il n'y a pas de mathématiques pures dans le Timée ( le problème du doublement de la surface d'un carré se trouve par exemple dans le Ménon ), il y a bien la présence des quatre solides réguliers de l'espace sur cinq,  dit d'ailleurs de Platon. Les mathématiciens de l'époque connaissaient leur existence. Ces joyaux géométriques sont formés à partir des trois polygones réguliers suivants: le triangle équilatéral, le carré et le pentagone régulier donnant naissance en les rapprochant dans l'espace autour d'un sommet aux cinq polyèdres suivants: le tétraèdre (chaque sommet voit trois triangles équilatéraux) , l'octaèdre (chaque sommet voit quatre triangles équilatéraux), l'icosaèdre (chaque sommet voit cinq triangles équilatéraux), le cube (chaque sommet voit trois carrés), et le dodécaèdre (c'est celui qui manque et chaque sommet voit trois pentagones réguliers). En fait une fois l'existence de ces merveilleux objets établie, montrer qu'il n'en existe pas d'autres est très simple puisqu'il suffit de constater que si l'on place  six triangles équilatéraux dans un plan autour d'un sommet commun on occupe la totalité des 360° disponibles et on ne peut pas les replier dans l'espace. Il en est de même avec un sommet qui verrait quatre carrés de 90°, ce qui remplit aussi l'espace. Quatre pentagones ayant un sommet commun se recouvrent déjà dans le plan, impossible donc de les replier dans l'espace pour former un volume!

Le recherche d'harmonie est sous-jacente à la construction de cet univers tridimensionnel parfait et si le triangle équilatéral et le carré sont à son origine, c'est parce que ces deux figures peuvent être formée à partir des éléments "atomiques" de la géométrie que sont les triangles rectangles. Un triangle équilatéral peut se concevoir en juxtaposant  deux triangles rectangles dont les deux cotés adjacents à l'angle droit mesurent la moitié l'un de l'autre, mais c'est une construction encore plus harmnieuse que choisira de présenter Platon dans le Timée qui utilise non pas deux mais six triangles rectangles. Il est aussi possible de former un carré à partir de deux triangles rectangles isocèles. Il devient ainsi plus aisé de comprendre pourquoi le dodécaèdre formé à partir de pentagones réguliers ( qui ne peuvent se construirent à partir de triangles rectangles ) a été découvert plus tardivement. On notera sans doute la forte influence pythagoricienne dans ces raisonnements.

Tout ceci est remarquablement illustré, expliqué et apparait sous forme animée sur le site IcosaWeb dans une page intitulée "Les corps platoniciens "

Mais l'objectif de Platon était en fait de mettre ces quatre volumes parfaits en relation avec le monde d'en bas ( Platon associera l'éther au dodécaèdre plus tardivement), et si vous avez parcouru la page précédente, vous n'avez pas pu manquer le fait que ces quatres corps de base ont été associés à deux éléments dont l'existence est garantie par le toucher et la vue: la terre et le feu et deux éléments "nécessaires" pour garantir deux moyens proportionnels: eau et l'air. L'idée est encore atomiste, les quatre éléments sont les briques insécables à partir desquelles peut se construire (penser) le Monde de façon harmonieuse. André Ross explique cela très bien dans l'article suivant intitulé "Mathématiques et civilisation" ainsi que dans Platon et les mathématiques".

Si l'on considère que la figure de référence du plan est le carré dont chaque coté peut être partagé dans un rapport a et b.  Trois "nombres-surface" suffisent pour recomposer le carré : aa, ab et bb.

Alors que si l'on découpe un cube dans les mêmes proportions, il faut quatre "nombres-volume" et donc quatre éléments ( or l'univers est bien tridimentionnel!) : aaa, abb, aab, bbb et le fait qu'ils soient en proportion géométrique garantira l'harmonie de la construction!

On a donc bien présent dans le Timée la première équation mathématique modélisant le monde. Les mathématiques aparaissent comme le langage intermédiaire permettant de faire le lien entre le monde d'en bas imparfait et périssable et le Ciel des Idées parfait et intemporel :

Dans ce livre, en pointant son doigt vers le ciel, c'est ce message que Platon envoie au monde terrestre et qui, je le pense, reste encore bien présent de nos jours.

La seconde question qui peut-être intéressante est de savoir quels sont, dans ce tableau, les personnages ayant un rapport privilégié avec les mathématiques?

On trouve peut-être en 1, Zénon d'Elée qui est à l'origine  des premiers paradoxes de type "mathématique". On se rappellera d'Achille qui ne peut pas rejoindre la tortue et de la flèche qui n'atteint jamais son but. - (Diaporama)

En 6, il s'agit de Pythagore (VIème siècle avant J.C.) dont le nom est très connu mais dont le personnage possède encore beaucoup de mystères, historiques d'une part et sur qui qu'il était vraiment.

En 9, Hypatie première femme mathématicienne connue au destin tragique, apparaît peut-être sous les traits de Francesco Maria I^er della Rovere.

En 18 Euclide ou Archimède pourraient être représentés sous les traits de Bramante, maître et protecteur de Raphaël.

Les principaux représentants antiques des mathématiques ( sauf Thalès ) semblent donc présents, certes sous d'autres traits, mais c'est aussi le cas pour Platon qui a prit les traits de Léonard de Vinci pour l'occasion.

En ce qui concerne Pythagore, on pourra consulter les liens suivants afin de mieux connaître cet homme prédicateur, qui fonda une communauté religieuse et politique composée exclusivement d'hommes vétus de blancs fuyant les femmes en couche, qui évitent de rentrer dans la maison d'un mort, refusent de croquer une fève ou de manger un oeuf, qui doivent respecter la règle du silence et une discipline stricte tout en exaltant le courage et l'honneur du combat. En fait la communauté est partagée entre deux attitudes correspondant à celles des deux leaders. Il y a d'un coté les adeptes de Pythagore, le mage ascète, replié sur lui, retiré de la cité, inquiet de toutes les formes d'impuretés qui pourrait faire obstacle au salut de l'âme et de l'autre, les pythagoriciens "politiques" qui suivent Milon de Crotone son gendre, mangent de la viande, acceptent le monde de la cité avec l'intention d'agir sur lui pour le transformer .

Pythagore fut le premier à envisager le nombre sous une perspective religieuse et mystique, libérant au passage les mathématiques de leur seule visée utilitaire à laquelle ils étaient cantonnés jusque là et c'est cette forme de pensée qui a résisté au temps. (Universalis ).

Pour compléter sur Pythagore:

Les diaporamas d'André Ross

Pythagore, la géométrie des nombres

Pythagore, des triplets au théorème

Pythagore, moyennes et proportions

Pythagore par l'Encyclopédie de l'Agora

Pour un rappel de la contribution de Pythagore dans l'histoire des mathématiques : La brève histoire des mathématiques

A noter : J.-F. Mattei : Pythagore et les pythagoriciens (Que sais-je n° 2732)

On pourra aussi lire le passage pittoresque suivant sur les purgations physiques et spirituelles d'André Dacier, philologue né en 1651 dans La vie de Pythagore, ses symboles; La vie de Hiéroclès et ses vers dorés:

Un mandala pour expliquer la vulgarisation scientifique: c'est l'idée qu'a eu, il y a 15 ans, Paul Caro,  Membre Correspondant de l’Académie des Sciences et Membre de l’Académie des Technologies. Ce Mandala fut publié en poster dans l'un de ses livres " La Roue des Sciences. On le retrouve sur son site dans un document word en plusieurs parties , laissant une marque visible de recollage ( on y voit les démons en grand ).

La science est créée au centre et diffuse vers l’extérieur à travers quelques barrières (cercles) et atteint l’extérieur (la société) dans quatre directions différentes symbolisées par les quatre portes. Quelques démons surveillent, gardent et exploitent  le contenu de la production scientifique aidés de quelques dragons …

Au travers de ce mandala-dédale, le savoir tente de parcourir des routes, celle de l'enseignement, de l'industrie, du spectacle ou de l'imaginaire. Mais les démons veillent de près : au nombre de quatre, ils attendent avides. Il y a le démon de l'abstraction, le démon du parisianisme, celui des correspondances et le démon militaire.

Le centre dynamique et mouvant, presque inaccessible, n'est atteint qu'après s'être affranchi des démons qui surveillent les portes du savoir et les murailles qui rendent difficile son approche.

La dimension poétique et pédagogique du mandala ne se laisse guère enfermer dans le discours mais on peut y voir un bon récapitulatif de la façon d'approcher la compréhension de la science des hommes.

Voilà un bien beau support de méditation !

PDF du mandala :mandala caro.pdf

Un document ( .doc de 332 pages), j'ai juste commencé la lecture ICI

Une page sur les mandalas avec de nombreux liens d'artistes : ICI

C'est : ICI

Avez-vous déjà vu un 1 se ballader dans la nature, un 2, un 3? Sur l'autoroute derrière une voiture, peut-être? Mais ce ne sont de simples signes calligraphiques. Où se cachent donc les nombres? Sûrement pas derrière les arbres. Vous avez sans doute cependant déjà vu un arbre et un autre arbre, vous en avez immédiatement déduit que cela faisait deux arbres. C'est plus facile lorsque les nombres sont collés au choses, associés, on les voit mieux. Mais deux 1 collés sur un arbre ne se transformeront jamais en 2, ils resteront deux 1 collés. Il faut donc prendre le verbe « coller » au sens figuré, au sens du plus intime, d'indissociable, d'inséparable. C'est, je pense, ce que veulent dire les personnes lorsqu'elles affirment que les maths ce n'est pas concret. Il est vrai que l'on n'a pas vraiment besoin ni d'arbre, ni de colle pour faire des additions, mais nous n'avons toujours trouvé aucun nombre dans la nature. Le nombre est donc une idée, une pensée de l'homme qui est tellement efficace qu'il ne s'est pas géné pour l'utiliser au maximum. Avez-vous déjà vu un cercle dans la nature, un carré? Moi jamais, mais certainement qu'un jour un homme a du attacher sa chèvre à un piquet, et l'ayant laissé quelque temps a vu se dessiner un disque au fur et à mesure qu'elle mangeait de l'herbe et pensa de même au carré ou au rectangle pour former l'enclos du troupeau. Et le prof de maths n'a aucunement besoin ni de chèvre ni d'enclos pour étudier les propriétés de ces objets de pensée. Alors pourquoi tant de difficultés à aborder le monde mathématique? Supposons, comme je l'ai lu, qu'une pensée soit une formation projective qui se créé à la frontière de la conscience du tréfond ( inconscient personnel et collectif) et de la conscience. Pourquoi les objets mathématiques sont-ils si difficiles à concevoir. En quoi font-ils fortement travailler l'inconscient? Les nombres et les formes mathématiques feraient-elles approcher des notions difficiles à supporter inconsciemment, perfection, classement, ordre, rigueur? Ou s'agirait-il de la difficile opération de dissociassion à effectuer entre les nombres et leurs supports, les formes et les objets. Pour faire des mathématiques, faudrait-il extraire une qualité d'un objet pour en concevoir un autre autonome, indépendant allant à l'encontre de la fusion initiale. Cette opération demande une lutte de la conscience qui surprotégeant l'inconscient refuse de s'en séparer, de s'en éloigner. S'agirait-il ces mouvements d'éloignement et de rapprochement que mènent en notre for intérieur conscient et inconscient qui seraient aussi à l'oeuvre lorsque l'on fait de mathématiques ? C'est peut-être aussi pourquoi elles sont source de tensions, de joies et de peines aussi intenses, qu'elles sont souvent associées à l'effort, celui qu'il faut toujours fournir pour que la conscience s'approche de l'inconscient sans peur, sans violence, sans douleur. Je peux aussi prendre conscience de la dimension collective, universelle et atemporelle de ce type de pensée, comme si ce qui s'effectuait en moi ne m'appartenait pas totalement, des objets mathématiques dépassant l'homme accouplés à mes ressentis personnels.

Corps, Transformations, Grand Mystère: Trilogie de la vie.

Le Corps nous habite
Les Transformations nous traversent
Le Grand Mystère nous interroge.

Impossible de s'accrocher à l'eau du fleuve.

Le rêve procède très certainement de "la reprise en main" des définitions générées personnellement.

Les différences de "cultures" et des individus dans ces "cultures" provient certainement du fait que les individus apprennent à gérer différemment ces opérations élémentaires. Le fait qu'elles soient assez peu nombreuses donnent de forts invariants trans-culturels et le nombre quasi illimité d'associations couplés à des niveaux différents engendre de très fortes différences culturelles.