Un défi essentiel pour l'éducation est donc de prendre en compte la manière dont les gens réussissent à contourner tout besoin d'encodage formel des situations en se fiant à ce que leur disent leurs catégories familières, construites pendant des années d'interactions quotidiennes avec le monde qui les entoure. Si tout enseignant a parfaitement conscience que l'"habillage" d'un énoncé peut modifier profondément sa difficulté, le défi de faire de l'habillage un levier d'apprentissage doit encore être relevé. L'enjeu est de taille, et le défi loin d'être simple.

Cette citation est extraite de l'excellent livre L'Analogie Coeur de la pensée de Douglas Hofstadter et d'Emmanuel Sander.

Elle conclut en page 523, un paragraphe qui aborde l'énoncé de deux problèmes dont les opérations et le résultat sont identiques. Seulement le premier est résolu par presque tout le monde avec trois opérations, alors que le second en appelle généralement une seule. Les auteurs y voient une différence d'encodage de la situation qui aboutit in fine à une différence sensible de traitement.

Testez par vous-même en résolvant les deux problèmes suivants:

Premier problème:

Laurent achète une trousse à 7 € et un classeur. Il paie 15 €. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 € de moins que Laurent. Combien coûte l'équerre?

Second problème:

Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s'est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s'est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse?

 

Le schéma pour le problème des achats est naturellement associé à un diagramme de Venn. Il incite à calculer le prix du classeur, achat commun aux deux, avant de répondre à la question posée.

Le schéma pour le problème de la danse est plutôt un axe temporel dont l'origine serait la date de début des cours. Il suffit donc de s'imaginer la différence des durées des deux cours pour répondre à la question.

La structure commune serait celle de deux rectangles de même base (correspondant à l'origine des prix ou des âges), superposés et de hauteurs différentes, dont une partie serait commune (le prix du classeur ou l'âge auquel Jeanne (et Laurence) ont commencé à faire de la danse. 

Les deux problèmes peuvent être résolus avec la même opération 7-3. Il est donc faux de penser que la difficulté d'un problème est celle de la difficulté du calcul qu'il mobilise. Elle est en partie due à l'encodage de la situation qui impacte directement sur la résolution du problème.

On trouve la phrase suivante p 21 de ce document...

Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider à la compréhension des nombres décimaux. 

Elle me parait étonnante. Qu'en pensez-vous?

Je viens de terminer la deuxième demi-journée d'un rallye mathématique qui en compte trois dans laquelle l'une de mes classes à pris en charge l'encadrement d'une vingtaine d'ateliers autour des mathématiques pour des élèves de cycle 3 de primaire.

J'ai été contacté en début d'année par une collègue de l'école qui m'a proposé ce projet. Je pensais initialement qu'il s'agissait d'une animation de classe... J'avais juste oublié le "s".Tous les élèves de cycle 3 de l'école étaient concernés soit la moitié de son effectif.

L'initiative a été prise suite au constat d'une baisse des performances des élèves de l'école en mathématiques.

Voici la liste des ateliers encadrés par les lycéens. Ils durent environ 20 minutes. J'en ai imaginé 16.

1) Construire un arbre de Pythagore

2) Réaliser un tapis de Sierpinsky dans un triangle

3) Faire une marche au hasard sur un quadrillage et placer des sommes au sommet afin de maximiser les gains du groupe.

4) Atelier autour de la suite de Fibonacci (L'idée du Fibaïku s'est transformée en clacul des termes de la suite)

5) Autour du dé ( somme des faces, sommes des faces opposées, sommes des 3 faces adjacentes aux sommets...)

6) Codage-décodage

7) Addition géométriques ou avec des lettres

8) Pliage d'une bande de papier, récupération de la courbe du dragon puis tracé.

9) Mastermind

10) Retournement d'un gilet à deux faces, l'une blanche, l'autre noire, les mains attachées.

11) Pentaminos

12) Sudoku

13) Manipulation de GeoGebra

14) Pavages et réalisation de figures symétriques avec Kali

15) Géomag + Théorème de Descartes-Euler

16) Défis

17) Réglettes de Grenaille et Lucas

18) Autres ateliers organisés autour de jeux mathématiques par l'école.

Le détail des ateliers

Tout le monde semble ravi, lycéens comme primaires.  Des gateaux maison nous attendaient même à la récréation en nombre correspondant à l'ampleur de la manifestation. Là encore c'était impressionant.

J'avais déjà vu passer ces réglettes mais je ne les avais jamais vu manipulées par de jeunes primaires. C'est impressionnant, joli et d'une simplicité déconcertante. Enfin je veux parler de la technique car le résultat obtenu se lit progressivement de la droite (chiffre des unités) vers la gauche. Cela s'avère être un bel entrainement à la numération positionnelle.

Par exemple pour multiplier 352 par 7, il suffit de construire ce nombre avec les réglettes et de se déplacer jusqu'au multiplicateur 7.
On se place ensuite sur la droite et on prend le chiffre en haut de la case. Il s'agit du chiffre des unités, ici le 4. Ensuite on se laisse guider par les flèches dirigées vers la gauche. Le résultat se construit ainsi de la droite vers la gauche. 4, 64, 464, et enfin 2464 qui est le résultat attendu.

Compléments:

http://germea.pagesperso-orange.fr/Les%20reglettes%20de%20Genaille%20Germea.htm

http://www.apmep.asso.fr/Diaporama-reglette-de-Luca

http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/genaille/genaille.htm

http://www.math.ens.fr/culturemath/materiaux/poissard/Poisard.htm