Dans le cadre de travaux en temps libre, je propose des énoncés que les élèves sont libres de choisir. depuis quinze jours, j'ai mis à disposition tous les énoncés. Les élèves peuvent donc théoriquement choisir n'importe quel problème. Je pensais que les élèves allaient se diriger exclusivement vers les notions précédemment abordées... mais ce n'est pas le cas.

Bastien, en Première S, a choisi de traiter "à sa façon" le problème suivant sans avoir vu le chapitre concernant la loi binomiale, ni tout simplement de probabilités.

Un QCM comprend dix questions auxquelles on répond par « Vrai » ou « Faux ». Un élève répond au hasard à toutes les questions.

A-t-il autant de chances de répondre exactement à trois questions qu’à sept ?

Mais encore ? 

Cette situation est nouvelle pour moi et je ne sais pas quoi en penser, ni d'un point de vue pédagogique (doit-on encourager ce genre de production?), ni d'un point de vue didactique (cette production est-elle mathématiquement intéressante?). 

Je demande donc l'avis d'experts.

Voilà sa production.

J'ai mis en place cette année un nouveau concept pour les travaux maison. Las de corriger des copies parfois similaires, j'ai lancé l'idée de travaux facultatifs obligatoires. Parmi une liste assez vaste de problèmes de difficultés très variées, les élèves doivent, avant une date fixe, me rendre leurs productions. Mon évaluation, plutôt par compétences, prend en compte la qualité du traitement, mais aussi la diversité des choix, la difficulté des exercices et les prises d'initiatives.

Parmi les sujets, il y avait celui-ci :

Et parmi les productions, il y a celle de Théo (fichier GeoGebra envoyé via Edmodo et rédaction de la solution), qui n'a d'ailleurs pas rendu que ce problème.

A noter: les limites de suites n'ont pas été traitées en cours (sauf une allusion) et j'ai juste mis à disposition des élèves ma playlist Geogebra sur YouTube dans laquelle on peut trouver quelques tutoriels du logiciel, dont celui concernant les cases à cocher.

Compte tenu de mon absence d'intervention et de l'énoncé laconique, je trouve la production suivante exemplaire.

Un défi essentiel pour l'éducation est donc de prendre en compte la manière dont les gens réussissent à contourner tout besoin d'encodage formel des situations en se fiant à ce que leur disent leurs catégories familières, construites pendant des années d'interactions quotidiennes avec le monde qui les entoure. Si tout enseignant a parfaitement conscience que l'"habillage" d'un énoncé peut modifier profondément sa difficulté, le défi de faire de l'habillage un levier d'apprentissage doit encore être relevé. L'enjeu est de taille, et le défi loin d'être simple.

Cette citation est extraite de l'excellent livre L'Analogie Coeur de la pensée de Douglas Hofstadter et d'Emmanuel Sander.

Elle conclut en page 523, un paragraphe qui aborde l'énoncé de deux problèmes dont les opérations et le résultat sont identiques. Seulement le premier est résolu par presque tout le monde avec trois opérations, alors que le second en appelle généralement une seule. Les auteurs y voient une différence d'encodage de la situation qui aboutit in fine à une différence sensible de traitement.

Testez par vous-même en résolvant les deux problèmes suivants:

Premier problème:

Laurent achète une trousse à 7 € et un classeur. Il paie 15 €. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 € de moins que Laurent. Combien coûte l'équerre?

Second problème:

Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s'est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s'est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse?

 

Le schéma pour le problème des achats est naturellement associé à un diagramme de Venn. Il incite à calculer le prix du classeur, achat commun aux deux, avant de répondre à la question posée.

Le schéma pour le problème de la danse est plutôt un axe temporel dont l'origine serait la date de début des cours. Il suffit donc de s'imaginer la différence des durées des deux cours pour répondre à la question.

La structure commune serait celle de deux rectangles de même base (correspondant à l'origine des prix ou des âges), superposés et de hauteurs différentes, dont une partie serait commune (le prix du classeur ou l'âge auquel Jeanne (et Laurence) ont commencé à faire de la danse. 

Les deux problèmes peuvent être résolus avec la même opération 7-3. Il est donc faux de penser que la difficulté d'un problème est celle de la difficulté du calcul qu'il mobilise. Elle est en partie due à l'encodage de la situation qui impacte directement sur la résolution du problème.

Une équipe de mathématiciens a résolu un problème, posé pour la première fois, il y a plus de 40 ans et qui jusqu'à présent déconcertait les mathématiciens modernes.

Le professeur Jim Geelen de l'Université de Waterloo et ses collègues, le Professeur Bert Gerards du Centrum Wiskunde & Informatica et de l'Université de Maastricht aux Pays-Bas, et Professeur Geoff Whittle de l'Université Victoria de Wellington en Nouvelle Zélande ont réussi à prouver la fameuse conjecture de Rota. Les trois chercheurs ont travaillé pendant près de 15 ans sur la résolution de ce problème posé par le mathématicien et philosophe Gian-Carlo Rota en 1970. Un peu plus tôt cette année, le trio a complété la dernière étape de ce projet.

La Conjecture de Rota fait référence à un domaine spécialisé des mathématiques, la théorie des matroïdes, une forme moderne de géométrie instaurée par le célèbre mathématicien de Waterloo Bill Tutte. Cette théorie examine l'implantation de structures géométriques abstraites, ou matroïdes, dans des cadres géométriques concrets, autrement dit les géométries projectives dans un corps fini donné. La conjecture est que, pour tout corps fini, il existe une liste finie de mineurs exclus caractérisant les matroïdes représentables sur ce corps. Cette conjecture a été posée par Rota au Congrès International des Mathématiciens en 1970, étrange coïncidence, une semaine avant la naissance du Professeur Geelen.

D'après le Professeur Geelen, "La partie la plus enrichissante du projet a été la collaboration avec Bert et Geoff. Nous travaillons ensemble trois fois par an, pour une période de trois semaines, soit ici à Waterloo, soit en Nouvelle Zélande, soit aux Pays-Bas. Ces visites sont intenses ; nous nous asseyons ensemble dans un bureau, tous les jours, toute la journée, devant un tableau blanc. Les discussions peuvent parfois être très animées, tandis qu'à d'autres moments, lorsque nous n'arrivons pas à avancer, nous pouvons rester deux heures sans parler, chacun pensant à des manières de franchir l'obstacle. "

En 1999, Geelen, Gerards et Whittle ont joint leurs forces pour travailler sur la Conjecture de Rota, ainsi que pour généraliser la célèbre Théorie des Mineurs de Graphes développée par Robertson et Seymour. Les chercheurs ont complété l'année dernière leur Théorie des Mineurs de Matroïdes, ce qui leur a donné une vision profonde de la structure des matroïdes. La preuve de la conjecture de Rota dépend de la puissance de cette théorie et nécessitait, en plus, de nouveaux résultats révolutionnaires sur la connectivité des matroïdes.

D'après le trio, le véritable travail a réellement commencé en début de cette année, quand ils ont commencé à rédiger le résultat de leurs travaux. La Théorie des Mineurs de Graphes en elle-même a rempli plus de 600 pages de journal, et la Théorie des Mineurs de Matroïdes sera au moins aussi longue. L'équipe prévoit que l'écriture prendra au moins 3 ans.

Jim Geelen est Professeur au Département of Combinatorics and Optimization de l'Université de Waterloo et est titulaire d'une Chaire de Recherche du Canada. Il a reçu plusieurs distinctions telles que le Prix Fulkerson, une bourse Sloan et le Prix Coxeter-James.

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/73952.htm