Inclassables Mathématiques Le blog 2.0

Après la version 2 voilà la version 4 du célèbre "Did you know ?"

Source : PédagoTic

L'évaluation est un art difficile, comme l'indiquent de nombreux billets dont celui de Missmath très récemment. Les buts visés ne sont pas nécessairement compatibles. L'évaluation doit faire sens pour infléchir les pratiques de l'élève de façon positive, elle doit viser à ne pas le décourager car dans ce cas elle est contre-productive et elle classe les élèves en vue d'optimiser leur orientation.

En classe, l'élève se retrouve souvent dans le schéma suivant: attente de la date du contrôle+contrôle+attente de la note+note+attente de la date du prochain contrôle..., l'investissement étant commandé par l'objectif visé et le sentiment d'efficacité personnelle de l'élève dans la discipline en question.

Comment donc créer un système d'évaluation continue, plutôt positif mais pas trop, qui soit facilement lisible par les élèves et réalisable par l'enseignant, et qui de plus ne cadence pas sans cesse le temps par de longues périodes d'attente (d'un contrôle ou d'une note)?

J'avais déjà réfléchi à la question dans un précédent billet "Evaluation dynamique, différentielle et par compétences" en construisant un flux de petites notes. L'idée était bonne mais incomplète car je ne pouvais guère donner une note globale aux élèves qu'en fin de trimestre. Il m'était donc difficile d'avoir un discours sur les notes car celles-ci restaient trop longtemps en ma possession. L'élève ne la voyait que sur le bulletin lorsque j'en avais fait l'obscure moyenne. J'avais aussi beaucoup de difficultés à distinguer l'élève qui me donnait des travaux facultatifs de celui qui n'en donnait aucun. Le choix d'un coefficient plus ou moins important était mon seul levier et il était difficile à manoeuvrer.

J'ai eu l'idée pour cette année de faire évoluer, non pas le système d'évaluation que j'ai trouvé très performant mais la façon dont il produit des notes. Je souhaitais un système de production d'un flux évaluatif dans lequel je pourrai extraire des notes en nombre suffisant et faisant sens pour les élèves. Je crois avoir trouvé une piste prometteuse.

Il faut d'une part s'entendre sur ce que j'évalue dans ce flux. Il ne s'agit pas des travaux de synthèse mais de travaux très brefs (5 à 7 mns) réalisés en classe ciblant un objectif très précis, des devoirs faits en temps libre en dehors de la classe, des travaux facultatifs dont seuls ceux qui sont réussis sont comptabilisés, de compétences évaluées en cours, de l'attitude générale en face de l'activité de la discipline.

Pour que le flux évacue une note en direction de l'élève il lui faut en faut quatre. La plus basse est rayée. La moyenne des 3 autres donne la note en direction de l'élève. Les 2 notes les plus fortes sont rayées et il reste la 3ème en mémoire. On répète l'expérience.

Pourquoi ce système me semble bon ?

Hier, je faisais un petit billet sur Pi et ses décimales, l'idée me vint de me demander si Pi était normal. En mathématiques, le mot "normal" revêt un sens tout particulier lorsqu'il s'agit de nombres.

Si l'on est dans notre base usuelle, c'est à dire la base 10, un nombre normal est un nombre dont les chiffres de 0 à 9 apparaissent avec la même fréquence de 10%.

Un exemple de nombre normal formé avec les nombres entiers mis à la suite les uns des autre : 0,012345678910111213141516.... c'est le nombre de Champernowne.

On ne sait pas grand chose sur Pi malgré tout le travail déjà effectué !

On ne sait toujours pas si Pi est normal !

On ne sait pas non plus si Pi est un nombre univers, c'est à dire si on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie dans la suite infinie des décimales.

Alors on en est où ?

Et bien on sait que c'est un nombre irrationnel depuis 1761, c'est à dire qu'il ne peut pas s'écrire comme un quotient de deux nombres entiers.

On sait aussi qu'il est transcendant (ce qui interdit la quadrature du cercle!) depuis 1882 seulement.

Pour les spécialistes, voir le site pi314 sur le sujet ainsi que celui de Gérard Villemin et le travail de Bailey de 2001.

Combien connait-on de décimales de Pi aujourd'hui?

Là ça a bougé cet été !

Le 17 août, à l'université de Tsukuba au Japon. Le 47 ème super-calculateur TK2 mondial d'une puissance de calcul de 95 Téra-flops ( 95 mille milliards d'opérations à la seconde) a tourné pendant 73 heures et 36 minutes pour écraser l'ancien record du nombre de décimales trouvées. Il était de 1.2 milliard environ et il est passé à plus de 2.5 milliards.2,576,980,377,524 très exactement.

Une source en français : Infomaths

Pour se faire une petite grande idée au sujet des décimales de Pi:

Du Soleil à Pluton, la plus lointaine (ex)planète du système solaire, il y a 4 743 700 000 000 km et si l'on suppose la trajectoire à peu près circulaire, on calcule la distance parcourue par Pluton autour du Soleil en multipliant par 2Pi. Il suffit  seulement d'une dizaine de décimales pour calculer la distance parcourue par Pluton  au mètre près!

Photo : Mykl Roventine

Testez si votre date de naissance apparaît dans les 200 000 000 premières décimales de Pi sur le site Pi-Search.

La suite 12345678 y est-elle présente ? Et 11111111 ? Et la suite 012345789 ?

Quelle est la 2009 ème décimale de Pi ?

Si vous possédez un compte Google et que vous écrivez des documents sur Google Docs, celui-ci possède un éditeur d'équations avec syntaxe Latex.

Il suffit pour cela d'aller dans l'onglet "Insert" et de choisir "Equation"

La source de l'info

Tout le monde ou presque a déjà entendu parler de fractales. On sait généralement  que c'est un joli dessin qui peut ressembler à ça :

Et puis c'est à peu près tout. C'est déjà bien mais on peut tenter de faire mieux et de comprendre comment on obtient ces jooliiiis dessssins de fractales et avec quel logiciel libre obtenir ces images ( sur lesquelles on peut cliquer pour les agrandir).

Alors nous allons tenter de faire simple et procéder par étapes. Il suffira ensuite d'un peu d'imagination, non pas pour aller sur l'île aux enfants mais au pays, non pas celui de Candy mais des fractales.

Trèfle de plaisanterie, dit le lapin dans son carré de luzerne et revenons à nos moutons.

1) Prendre un nombre, le multiplier par lui-même et le retrancher:

Prenons 3, multiplions-le par lui même 3x3=9 et ôtons lui 3 soit 6

Prenons 4, multiplions-le par lui même 4x4=16 et ôtons lui 4 soit 12

Prenons 0.5, multiplions-le par lui même 0.5x0.5=0.25 et ôtons lui 0.5, il reste -0.25

2) Répéter l'opération:

Pour chaque nombre de départ, on répète indéfiniment la même opération.

Recommençons avec 3, la première étape donne 6, recommençons l'opération avec 6 en le multipliant par lui-même ce qui fait 36 et ôtons lui 6 ce qui nous fait 36-6=30 et recommençons jusqu'à l'infini. Il semble évident que les résultats vos devenir de plus en plus grands. On dira dans ce cas que la suite de nombres est divergente.

Prenons un autre nombre de départ, par exemple 1, on le multiplie par lui-même, on obtient 1 et lui ôte 1 ce qui donne 0. On recommence l'opération avec 0 que l'on multiplie par lui-même soit 0 et auquel on enlève 0, ce qui nous donne 0. Force est de constater que si l'on répète l'opération indéfiniment, le résultat sera toujours 0. On dira dans ce cas, puisque le résultat est un nombre, que la suite de nombres est convergente.

3) La peinture

Nous allons maintenant nous lancer dans le domaine artistique. Nous allons peindre les nombres de départ en fonction de la valeur qu'ils donnent au terme du processus répété indéfiniment que l'on vient d'énoncer précédemment. Les nombres qui sont à l'origine d'une suite convergente resteront noirs, comme le 1 ou le 0. Les autres prendront diverses couleurs, en fonction de la "vitesse" à laquelle la suite va diverger, c'est à dire  du nombre d'étapes qu'il faudra pour  faire atteindre une valeur donnée à cette suite de nombres. Si l'on regarde une droite où sont repérés tous les nombres, et si le processus est bien choisi , on devrait voir de nombreuses couleurs apparaître et des portions de droite restant noires, celles comprenant les nombres initiaux qui donnent une suite convergente.

L'avantage du moteur de recherche Wolfram|Alpha  n'est pas tant qu'il permet de faire du calcul formel en ligne mais surtout qu'il est possible d'inclure des réponses à des questions de type mathématique à l'aide d'hyperliens dans les billets de blogs.

Je donne ci-après quelques exemples simples de commandes afin de donner des idées d'insertion dans des billets. Je n'ai pas poussé très loin les limites du calcul avec Wolfram|Alpha car ce n'est pas l'objectif. Il est possible de cliquer sur une réponse, la syntaxe s'affiche et on peut ainsi la réintroduire dans le champ de saisie.

1) ab+c=0

Exprimer a en fonction de b et c

Exprimer b en fonction de a et c

Exprimer c en fonction de a et b

2)  3x^2+4x+1=0

Résolution

Factorisation

Développement

Calcul d'image ( calcul de limite en fait!)

Représentation graphique, dérivée, primitives

Je viens de trouver un document de 8 pages très intéressant de Dominic Forest et de Jean-Guy Meunier (UQUAM) sur le sujet de l'utilisation des mathématiques en vue de la classification du contenu d'un texte. Une expérimentation sur le Discours de la Méthode de Descartes est donnée en exemple.

C'est ICI

La marche des sciences, la toute nouvelle émission scientifique sur France Culture, est diffusée chaque jeudi entre 14 heures et 15 heures. La productrice, Aurélie Luneau, avait choisi d'honorer la Reine des sciences puisque la première, le 3 septembre dernier, avait pour thème " Histoire des mathématiques et diffusion des savoirs  ".

Avec comme fil conducteur les équations polynomiales, Stella Baruk et Bertrand Hauchecorne ont échangé sur le rôle des mathématiques à différentes époques. A travers l'évocation de mathématiciens de différentes époques comme Diophante, Al Khwarizmi, Tartaglia Cardan, Abel et Galois, ce fut l'occasion d'aborder la place des mathématiques au cours de l'histoire.

Benoît Rittaud, chargé de présenter l'actualité mathématique a expliqué le rôle du mathématicien à notre époque ; il a montré que certaines recherches sont interdisciplinaires et a pris comme exemple un travail sur l'entropie dans la langue espagnole.

De gauche à droite : Aurélie Luneau, Bertrand Hauchecorne, Stella Baruk et Benoit Ritaud.

Le podcast et l'écoute de l'émission sont possibles, en se rendant directement sur le site de La Marche des Sciences.

Bonne écoute.

Le site Image des mathématiques réalise régulièrement une revue de presse.

La revue de presse mathématique des vacances

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