La base de Sloane (Online Encyclopedia of Integer Sequences) réunit plusieurs dizaines de milliers de suites mathématiques considérées comme « intéressantes » par certains mathématiciens. La représentation graphique de la fréquence d’occurrence de n en fonction de n montre une fonction rapidement décroissante, et un nuage qui semble séparé en deux par une zone claire qu’on nomme ici le fossé de Sloane.
La décroissance et la forme générale s’expliquent assez facilement mathématiquement, mais l’explication du fossé nécessite d’autres considérations.

L'article de Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delaye et Hector Zenil qui vient d'être mis en ligne.

L'origine de la découverte par Philippe Guglielmetti sur son blog Pourquoi Comment Combien.

Un nombre 321 dit de Thābit pour Thābit ibn Qurra, est un nombre de la forme K_n=3·2ⁿ−1 , où n est un entier naturel. 

Pour les premières valeurs de n =0, 1, 2... ces nombres valent 2, 3, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727... (Suite A055010).

Les premiers nombres de Thābit premiers appelés aussi 321-premiers sont : 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831,... (Suite A007505).

La premières valeurs de n pour lesquelles on trouve des 321-premiers sont: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414 (Suite 002235).

Les nombres premiers pour n≥234760 furent trouvés à partir de 2003 à l'aide du 321 project. Le plus grand d'entre eux a été découvert par Dylan Bennet en 2008 avec la valeur de n=4235414. Ce nombre possède 1274988 chiffres en base 10.

La représentation binaire de ces nombres est particulière. Elle est formée de 10 puis de n 1.

Par exemple pour K₇=3·2⁷−1=383, l'écriture binaire est 101111111.

Thābit ibn Qurra était un mathématicien, physicien, astronome et musicologue persan qui vécu de 826 à 901.

Il montra que si K_n, K_n−1, and 3×K_2n−1 + 2 sont tous premiers, alors les nombres 2ⁿ×K_n×K_n−1, 2ⁿ×(3×K_2n−1 +2) sont amicaux. Cette hypothèse se rencontre seulement trois fois, pour n = 2, 4, et 7, donnant les paires de nombres amicaux suivantes: (220, 284), (17296, 18416), et (9363584, 9437056). (Source: MathWorld et Wikipédia).