Le théorème d'Incomplétude de Gödel c'est un  peu comme un ouragan qui se forme dans l'océan mathématique. Les mathématiciens sur leur île le voient se rapprocher au loin et puis ils discutent entre eux et aussi avec les habitants de l'île voisine qui ne sont pas matheux mais philosophes. Voilà en résumé un extrait de leur longue conversation leur conversation au sujet des résultats  de Gödel:

-C'est un ouragan, il se dirige vers nous.

-Non, c'est vers nous qu'il vient.

-En fait c'est une simple tempête tropicale.

-Non c'est bien un ouragan mais il ne nous atteindra pas, c'est sur votre île qu'il ira.

-Non jamais de la vie, vous voyez bien qu'il se dirige vers votre île et gonfle au fur et à mesure qu'il avance sans dévier.

-Pff, tout ce bruit pour une simple tempête tropicale.

Mais au fait qu'est qu'il a dit Gödel ?

Il a dit en gros que si les mathématiciens voulaient s'acharner à vouloir tout démontrer ils allaient s'épuiser à la tâche parce qu'en mathématiques il existe des propositions qui peuvent être vraies et indémontrables en même temps.
Çà a jeté un certain froid dans l'univers mathématique et puis les philosophes ont trouvé ça tellement génial qu'ils ont décidé de mettre les résultats de Gödel à toutes les sauces. Les matheux se marraient parce qu'ils savaient qu'ils ne pouvaient s'appliquer que dans le cadre très restreint des mathématiques.

En fait les travaux de Gödel ont déstabilisé violemment le monde mathématique des années 30 qui pensait pouvoir démontrer lui-même la suprématie de sa discipline. Puis avec le temps, les mathématiciens s'en sont accomodé en intégrant dans leur vision du paysage mathématique, quelques trous qui seraient les propositions indécidables, c'est à dire dont on ne pourrait jamais savoir si elles sont vraies ou fausses.

Mais en fait en 1994, deux mathématiciens ont commencé à montrer que l'incomplétude n'était ni une tempète tropicale, ni un ouragan mais que c'était en fait un tsunami. Les mathématiciens doivent donc réajuster une fois de plus leurs lunettes pour admirer la beauté du paysage, car ce qu'ils doivent maintenant voir devant eux n'est plus un grand nombre de propriétés démontrables avec quelques trous formés par quelques propositions indécidables isolées mais un gros trou formé par ces dernières autour duquel il y aurait quelques propositions éparses assorties de leur pénible démonstration à peine visibles à l'oeil nu.

Et là, à mon avis, ce sont les philosophes qui vont rigoler à leur tour... ah, oui tiens au fait, puisqu'on en parle, ils sont où les philosophes ?

Pour des compléments solides sur la question voir l'excellent article de Jean-Paul Delahaye dans le numéro de janvier 2009 de " Pour la Science" : Presque tout est indécidable!

Aurait-on pu confier le théorème de Fermat à un groupe d'Enarques qui nous auraient fait des directives, des super-directives ? Y seraient-ils arrivés en 300 ans? C'est impossible, il faut des idées!

Jean-Yves Girard (au sujet du formalisme en mathématiques - 19.45)

Une excellente conférence pleine d'humour.

• Introduction
• 10:10L'arithmétique de Peano
• 06:34Mathématique v.s informatique
• 12:20Paradoxes
• 04:40Les formalistes
• 10:58Imcomplétude
• 08:28Intuitionnismes
• 11:08Questions

En 1980, le philosophe John Searle décrit une expérience théorique qu'il a nommé "Le paradoxe de la chambre chinoise" :

Une personne qui ne parle pas le chinois est enfermée dans une chambre fermée. Elle reçoit des messages glissés sous la porte d'une personne située à l'extérieur écrits en chinois.

La personne située dans la chambre dispose cependant d'un livre (code) très utile qui lui permet de reconnaître un groupe de traits et de donner en réponse un groupe de traits correspondant. Il s'agit en fait d'une réponse possible et adapté au message chinois. Elle glisse en retour ce message sous la porte.

La question est : que va penser la personne qui est à l'extérieur de la chambre puisque tout laisse supposer que quelqu'un d'intelligent connaissant sa langue est de l'autre coté de la porte, ce qui n'est pas le cas?

Pour compléter : ICI

Le podcast 79 Math pen pals en anglais de MathMutation et le texte associé : ICI

Langage, conscience, rationalité : une philosophie naturelle, entretien avec John SEARLE, PDF de14 pages

Searle pense que c'est une erreur de croire qu'on peut créer un esprit avec une machine de Türing, le cerveau est certes une machine mais il n'est pas implémenté par un processsus mathématique abstrait qui le ferait fonctionner comme une machine de Türing.

Gödel pensait un peu l'inverse: le cerveau est une machine de Türing.
Si le cerveau est une machine de Türing, comme le pensait Gödel, l'hypothèse philosophique matérialiste s'évanouissait puisque il n'y avait que deux issues possibles après cette hypothèse, soit d'avancer le théorème d'incomplétude qu'il venait d'énoncer, c'est à dire qu'il restera à tout jamais des propositions inaccessibles à l'esprit humain-machine de Türing, soit l'esprit humain est capable d'écrire des mathématiques complètes, il ne peut donc pas se réduire à une machine de Türing et possède une dimension qui dépasse la simple matérialité. Cette nouvelle dimension est celle d'un autre monde peuplé d'êtres bienveillants ou malveillants comme le précise lui-même le logicien :
"Mon théorème montre seulement que la mécanisation des mathématiques, i.e l'élimination de l'esprit et des entités abstraites, est impossible, si l'on veut obtenir une fondation et un système satisfaisants des mathématiques". Les démons de Gödel de Pierre Cassou-Noguès.

Gödel vs Searle, faites votre marché...

Ce sont les titres de mes deux livres de l'été que je vous conseille.

Les trois écritures - Langue, nombre, code a été écrit par Clarisse Herrenschmidt, membre de l'Institut d'Antropologie Sociale du Collège de France.

Je ne suis pas un grand écrivain et préfère vous renvoyer à la présentation du livre et aux articles de l'auteure pour vous faire approcher l'idée forte de ce livre qui est centré autour de l'articulation suivante :

La naissance de l'écriture apparaît avec la réalisation de signes à l'extérieur d'une bulle enveloppe. Dans la première partie du livre nous assistons à la naissance de notre alphabet. Il n'est arrivé à cette forme finalisée qu'après bien des essais et autres tentatives. C'est l'histoire du signe graphique, qui permet d'inscrire la parole et de la transporter sur un objet, de ce lien entre le monde intérieur de l'homme et son extérieur, qui fit avancer l'humanité sur le chemin de l'alphabet syllabique que nous connaissons. Les érudits des différentes époques ont du penser aux signes graphiques utilisés pour représenter la Parole, à l'origine simple dessins, on retrouvera sur le chemin de la connaissances, le cunéiforme et les alphabets consonantiques où le lecteur doit "boucher les trous" avec les voyelles non inscrites. La bouche est ainsi cet organe projeté vers l'extérieur au travers de l'écriture.

La pièce de monnaie nous apparaît bien commune avec sa valeur représentée sur l'une de ces faces. Il a fallu pour cela avoir l'idée d'abstraire l'idée du "nombre" du "nombre de quoi" et d'aplatir des bulles qui aux départ étaient sphériques. C'est en fait des éléments de géométrie que l'on retrouvera sur les premières pièces d'électrum. Il y a eu ensuite la "bataille" de l'alliage dont on devait être certain de sa composition pour les échanges, et la séparation de l'or avec l'argent pour frapper la monnaie. L'arrondi de ces pièces coïnciderait avec l'extériorisation de l'oeil.

Dans la troisième partie de ce livre, nous abordons la question des codes informatiques qui poursuivrait cette extériorisation d'un organe humain et il s'agit ici du cerveau tout entier.

L'odyssée du signe - Libération

Les trois écritures - Transversales

Présentation et premières ligne du livre sur Alapage

Les démons de Gödel - Logique et Folie de Pierre Cassou-Noguès.

Ce livre a été présenté dans de nombreux articles. Je rappelerai ici quelques éléments du tableau. Gödel était un très grand logicien du XXème siècle, qui pour résumer, démontra mathématiquement rien de moins qu'il était inutile que les mathématiciens s'acharnent à vouloir tout démontrer car quelque soit les axiomes qu'ils fixeront au départ, par exemple ceux qui leur permettent de construire l'arithmétique, il existera toujours des propositions indémontrables avec les seules règles de ce système. Comme un édifice de poupées russes, il faut inventer un système plus " puissant" pour démontrer certaines propriétés du précédent et là encore rien n'indique qu'une démonstration existe vraiment! La portée de cette découverte bouleversa le monde mathématique et philosophique.

Mais ce n'est pas vraiment cette grande histoire des idées que nous raconte Pierre Cassou-Noguès dans ce livre, c'est plutôt celle de cet homme, Gödel, aux prises avec ses démons, qui tente d'établir une philosophie cohérente incluant sa découverte, mais qui bute sur l'incohérence globale de son cheminement intellectuel. Gödel est un homme qui pense que les idées mathématiques coexistent dans un autre monde avec des êtres différents de nous, ce seraient des anges ou des démons. Tout au long de ce livre nous découvrons, le Gödel public, celui qui cache une partie de ses pensées dans les articles qu'il publie et le Gödel qui écrit à ses amis, qui laisse des notes et des écrits épistolaires dont force est de constater que l'analyse n'aboutit pas à une structure cohérente de pensée. Gödel a peur de l'infiniment petit, l'invisible, qui s'immiscerai dans notre esprit -machine pour le faire déraisonner, peur qui le conduisit à ne plus vouloir s'alimenter, craignant  l'empoisonnement. Lorsque l'on lit le livre c'est un voyage vers une folie contenue et dans la réalité des objets immatériels qui nous est proposée. A chaque page tournée, on peut se demander comment il est possible qu'autant de génie mathématique et d'idées étranges coexistent dans le même esprit.

Une note précédente de ce blog, le Tag Gödel

Gödel - de la folie à la logique : promenades philosophiques

Présentation et article de Presse sur Alapage

J'ai téléchargé sur ISSUU les BD mathématiques de Jean-Pierre Petit : Les nouvelles aventures d'Anselme Lanturlu.

Il est possible de les  lire directement en ligne en plein écran avec possibilité de zoomer et de dézoomer en cliquant sur les pages :

Le Logotron

Le Topologicon

Le Geometricon

Dans le Logotron, Jean-Pierre Petit rend accessible le théorème de Gödel.

Le Topologicon et le Géométricon proposent une "initiation" aux géométries non-euclidiennes.