En parcourant, à travers l'histoire des sciences, plusieurs cas marquants des rapports de la physique et des mathématiques, l'on s'aperçoit que la capacité du formalisme mathématique à exprimer d'une manière si ajustée et féconde les problèmes physiques n'est pas une donnée de nature universelle et intemporelle: elle résulte, à chaque époque, et pour chaque nouveau type de problème abordé, d'une construction, qui met en jeu le ‘système’ de la mathématique et de la physique de cette époque et la nature des concepts et des grandeurs physiques concernés. On examinera, dans cette perspective, quelques moments importants de l'histoire de la constitution, à l'aide de l'analyse, de la physique mathématique et théorique. On s'arrêtera, en particulier, à la construction de la causalité à l'aide des concepts du calcul différentiel, ainsi qu'à la rationalisation de la mécanique grâce à la mise en oeuvre de ce calcul, et à l'extension de la mécanique du point matériel aux milieux continus à la faveur de l'invention du calcul aux dérivées partielles.

Un fichier PDF de Michel Paty destiné à des personnes ayant déjà de bonnes connaissances des sujets mathématiques.

La plupart des mathématiciens, je l’ai dit tantôt, sont portés à se cantonner dans un cadre conceptuel, dans un "Univers" fixé une bonne fois pour toutes - celui, essentiellement, qu’ils ont trouvé "tout fait" au moment où ils ont fait leurs études. Ils sont comme les héritiers d’une grande et belle maison toute installée, avec ses salles de séjour et ses cuisines et ses ateliers, et sa batterie de cuisine et un outillage à tout venant, avec lequel il y a, ma foi, de quoi cuisiner et bricoler. Comment cette maison s’est construite progressivement, au cours des générations, et comment et pourquoi ont été conçus et façonnés tels outils (et pas d’autres. . . ), pourquoi les pièces sont agencées et aménagées de telle façon ici, et de telle autre là - voilà autant de questions que ces héritiers ne songeraient pas à se demander jamais. C’est ça "l’ Univers", le "donné" dans lequel il faut vivre, un point c’est tout ! Quelque chose qui paraît grand (et on est loin, le plus souvent, d’avoir fait le tour de toutes ses pièces), mais familier en même temps, et surtout : immuable. Quand ils s’affairent, c’est pour entretenir et embellir un patrimoine : réparer un meuble bancal, crépir une façade, affûter un outil, voire même parfois, pour les plus entreprenants, fabriquer à l’atelier, de toutes pièces, un meuble nouveau. Et il arrive, quand ils s’y mettent tout entier, que le meuble soit de toute beauté, et que la maison toute entière en paraisse embellie. Plus rarement encore, l’un d’eux songera à apporter quelque modification à un des outils de la réserve, ou même, sous la pression répétée et insistante des besoins, d’en imaginer et d’en fabriquer un nouveau. Ce faisant, c’est tout juste s’il ne se confondra pas en excuses, pour ce qu’il ressent comme une sorte d’enfreinte à la piété due à la tradition familiale, qu’il a l’impression de bousculer par une innovation insolite.

Dans la plupart des pièces de la maison, les fenêtres et les volets sont soigneusement clos - de peur sans doute que ne s’y engouffre un vent qui viendrait d’ailleurs. Et quand les beaux meubles nouveaux, l’un ici et l’autre là, sans compter la progéniture, commencent à encombrer des pièces devenues étroites et à envahir jusqu’aux couloirs, aucun de ces héritiers-là ne voudra se rendre compte que son Univers familier et douillet commence à se faire un peu étroit aux entournures. Plutôt que de se résoudre à un tel constat, les uns et les autres préféreront se faufiler et se coincer tant bien que mal, qui entre un buffet Louis XV et un fauteuil à bascule en rotin, qui entre un marmot morveux et un sarcophage égyptien, et tel autre enfin, en désespoir de cause, escaladera de son mieux un monceau hétéroclite et croulant de chaises et de bancs. . .

Le petit tableau que je viens de brosser n’est pas spécial au monde des mathématiciens. Il illustre des conditionnements invétérés et immémoriaux, qu’on rencontre dans tous les milieux et dans toutes les sphères de l’activité humaine, et ceci (pour autant que je sache) dans toutes les sociétés et à toutes les époques. J’ai eu occasion déjà d’y faire allusion, et je ne prétends nullement en être exempt moi-même. Comme le montrera mon témoignage, c’est le contraire qui est vrai. Il se trouve seulement qu’au niveau relativement limité d’une activité créatrice intellectuelle, j’ai été assez peu touché par ce conditionnement-là, qu’on pourrait appeler la "cécité culturelle" - l’incapacité de voir (et de se mouvoir) en dehors de l’ "Univers" fixé par la culture environnante.

Extrait de Récoltes et Semailles d'Alexandre Grothendieck

Après quinze jours passés près de Saint-Tropez, plus exactement à Gassin, petit village adorable, perché à flanc de montagne  qui domine le golfe de Saint-Tropez, me voici de retour à la maison. Durant le trajet qui mène de la Croix-Valmer aux iles de Port-Cros et de Porquerolles, j'ai pu longuement méditer sur les yatchs de luxe et les villas surplombant la mer. Un propriétaire a même construit un funiculaire pour relier son habitation à la grande bleue... et je me suis dit que ni les bateaux, ni les villas, ni les funiculaires n'auraient intérêt à hériter d'un propriétaire comme moi !

Alors je me suis replongé tranquillement dans mes lectures estivales, allongé sous le soleil et le mistral, badigeonné de crème  indice 40, ce qui m'a permis de passer totalement inaperçu parmi les touristes nouvellement arrivés !

Au programme, j'ai lu l'excellent livre de Frédéric Patras : "La pensée mathématique contemporaine" qui dresse son état des lieux en sept chapitres :
Le style en mathématiques
De Platon à Husserl
Des origines des mathématiques modernes
Axiomes et intuitions
Le courant structuraliste
Structures et catégories
Les demeures de la pensée
A la rencontre du réel

Frédéric Patras analyse avec beaucoup de finesse et de profondeur les apports de Bourbaki, tant en termes positifs que négatifs ainsi que leur incidence sur la difficile succession après cette période clé de la vie des mathématiques françaises. Il nous présente aussi l'oeuvre méconnue de 1000 pages d'Alexandre Grothendieck, Récoltes et Semailles, dont les 100 premières pages ont aussi fait l'objet d'une lecture attentive.

" Penser avec Grothendieck " quelques citations pdf : ICI

J'ai presque terminé " Le fabuleux destin de racine de 2 " par Benoit Rittaud qui nous transporte de 1900 avant notre ère grâce à la tablette babylonienne YBC 7289 sur laquelle on trouve la présence de ce nombre avec la précision étonnante de 7 décimales jusquaux calculs par ordinateurs les plus récents, soit en tout plus de 400 pages de voyage dans l'espace et dans le temps autour de ce nombre qui n'a pas à palir devant les succès médiatiques de Pi et du nombre d'or.

La vidéo de la conférence de Benoit Rittaud et de nombreuses ressources sont  disponibles sur le site:

Le Fabuleux destin de √2 .

L'APMEP publie les fichiers PDF des conférences des journées 2006 de l'Association : ICI

Conférence d’Alain Bouvier 
Les mathématiques, leur enseignement et la formation des maîtres

Notre système éducatif connaît beaucoup de réformettes indiscernables en dehors des frontières de l’Hexagone, bien qu’elles marquent curieusement beaucoup les enseignants, et seulement un petit nombre de réformes.

Le système bouge, mais, somme toute, lentement, par décennies. On remarquera que la majorité des réformes sont d’origine exogène, conséquences d’évolutions sociétales, comme si le système peinait à trouver des voies endogènes de réforme. Il s’agit là d’une tendance lourde qui s’accentue clairement.

Dans le rapport déjà évoqué sur les acquis des élèves (2005), les Inspections générales françaises montraient que le fonctionnement de notre système pédagogique repose sur des notations, des moyennes et des compensations incessantes. Non seulement ces moyennes n’ont pas de sens, mais on se livre à des moyennes de moyennes qui en ont encore moins ! Les Inspections générales dénoncent cette « dictature de la moyenne » (on n’est pas loin de la « constante macabre » d’André Antibi) et de la compensation généralisée. Que sait faire un élève qui à 10 ? Quelle signification, par exemple, accorder au Brevet en termes de compétences ? En mathématiques, que sait faire un élève qui a réussi le Bac S ?

Conférence d’Yves Chevallard
Les mathématiques à l’école : pour une révolution épistémologique et didactique.
Mathématiques et utilité.
Les exemples de la proportionnalité et de la proportionnalité inverse, des cas d'aglité des triangles, des fractions, de l'inverse d'une fraction.

Il est deux manières au moins, pour les générations montantes, de recevoir les connaissances que l’école est chargée de leur transmettre : soit comme donnant une clé du monde précieuse entre toutes, soit comme un prix à payer pour entrer dans la société, avant peut-être de faire litière des savoirs que l’école aura prétendu leur apporter.

Pourquoi par exemple lanotion d’angle ? Pourquoi les triangles ? Pourquoi le concours des médianes (ou des hauteurs, etc.) ? Pourquoi les angles saillants et les angles rentrants ? Pourquoi les polynômes ? Pourquoi les fonctions continues ? Pourquoi les droites ? Pourquoi le parallélisme de droites ? À cela, nulle réponse explicite, claire, fondatrice d’un pacte d’étude républicain.

"The good teacher is known by the number of subjects that he declines to teach"

Conférence de Jean Dhombres
L’avenir de l’enseignement des mathématiques n’est pas un long fleuve tranquille...
Exemples de Comte, de  Descartes, de la représentation, de Curie.

Le défi majeur pour le futur, est bien pour l’enseignant des mathématiques, de devoir s’intéresser de près à autre chose que les mathématiques, et ce pour la qualité même de son enseignement.

Voici deux exemples très typiques en prélecture, que nous avons recueillis en grande section de maternelle, au mois de mai. Dans le premier il faut retrouver des lettres suivant un modèle. Il faut donc parcourir toute la collection des lettres pour retrouver les lettres u et n du modèle. Dans le second, il faut parcourir toute la collection des mots pour retrouver le mot du modèle maman. Cette deuxième fiche cache en fait une autre activité d’énumération, car les enfants ne savent pas lire. Quand ils considère un mot, ils doivent comparer les lettres de ce mot avec les lettres du modèle, une par une, dans l’ordre. Dans nos observations en maternelle, nous avons remarqué que, pour les élèves les plus faibles, pour lesquels la reconnaissance de la lettre ou du mot est déjà difficile, le parcours de la collection des lettres ou des mots ne va pas de soi non plus. Ils sont confrontés à une double difficulté : celle de la lecture, qui est repérée par le professeur, et celle de l’énumération, qui n’est souvent pas considérée.
Maintenant que vous avez cette clé d’observation, vous allez voir de l’énumération partout…
effectivement, énumérer est une activité très courante, combinée avec toute sorte d’autres activités, qu’elles soient ou non mathématiques. »    

Il y a quelques temps, j'ai fait une petite étude sur Humpty-Dumpty ICI, Dans la revue des ressources Pierre Mabille nous propose une très intéressante étude " Sur Lewis Carroll et Alice " (PDF): ICI

Dont voici un extrait qui me parait résumer à lui tout seul l'oeuvre de Carroll ( si c'est possible ! ) :

Le XIXe siècle a connu l'apothéose de la raison positive et, par une dialectique implacable, a préparé la destruction des fondements de cette raison positive. Le cocasse, le burlesque, le fantasmagorique de Carroll réalisent une mise en accusation des voies raisonnables et logiques de l'esprit. On peut même se demander si le souci de se choisir un public de petites filles ne tendait pas à éviter le contact d'un public perverti par les habitudes rationnelles. Comment en effet, vers le milieu du siècle dernier, parler à des gens " sérieux" ayant une pleine confiance en l'ordre intellectuel établi, des transformations qui étaient en train de s'opérer dans la conception de l'espace, du temps, et qui devaient aboutir à l'établissement de géométries à " n " dimensions ? Comment d'ailleurs, énoncer des principes révolutionnaires aussi ambitieux quand on ne les percevait encore que sous une forme vague ? Le recours à la forme poétique évitait des démonstrations précises.

A lire impérativement le passage p4-p5 sur les différences entres les humours latins et anglo-saxons.

Je ne peux pas résister à extraire un autre passage sur l'enseignement :

Je ne sais comment procèdent aujourd'hui les professeurs de mathématiques pour commencer leurs cours, mais je me rappelle le malaise que j'éprouvais au temps de ma jeunesse quand on cherchait à échafauder les premiers théorèmes de la géométrie en leur donnant la rigueur de vérités définitives. Je voyais les uns succéder aux autres à partir d'un point initial dont la sécurité ne m'atteignait pas.

Et à vous conseiller de lire l'intégralité de ce document ainsi que le dossier Lewis Carroll de la revue des Ressources : ICI