L'expérience rendant assez prévoyant, j'ai decidé de prendre les devants en ce qui concerne les remarques habituelles des élèves du type : A quoi ça sert les maths, c'est trop abstrait, je préfère le concret, etc, etc. Alors, je suis allé chercher la définition d'un nombre et remarquez par vous même, si les maths sont abstraites, les mathématiciens ne sont pas les seuls responsables, les littéraires le sont aussi un peu...

Nombre : Concept essentiel qui donne une expression des notions de quantité, de classification, de mesure ou de repérage.
Concept : Représentation intellectuelle, à la fois générale et abstraite, d’une catégorie d’objets ou d’idées.
Essentiel : Nécessaire, indispensable, capital. Exemple : L’eau est nécessaire à la vie.
Représentation : Matérialisation concrète ou symbolique d’une chose abstraite.
Abstrait : Qualifie un terme, une idée ou un savoir qui présente un haut degré de généralité.
Concret : Relatif au réel immédiatement identifiable. Qui se réfère au domaine pratique, à l’expérience plutôt qu’à la théorie.

Facile non ?

Si j'ai bien compris le nombre est une matérialisation concrète intellectuelle, à la fois générale et abstraite, d'une chose abstraite,  essentielle, qui donne une expression des notions de quantité, de classification, de mesure ou de répérage.

Comme quoi, c'est beaucoup plus simple lorsque l'on connait le sens des mots que l'on utilise.

Qu'est-ce qu'un nombre ? Une fois que l'on sait que la notion de nombre n'est vraiment pas évidente à approcher on peut consulter ce site ICI, pour en savoir un peu plus.

 

Paradoxe de la corde prise au hasard ( Bertrand )

Problème : On trace une corde au hasard dans un cercle. Quelle est la probabilité pour que sa longueur soit supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit ?

Bertrand donne 3 solutions différentes à ce problème.

En vert les cordes possibles

En rouge les cordes impossibles

Première solution :

On peut pour des raisons de symétrie se donner la direction de la corde ; le point d'intersection de cette corde avec le diamètre ( vertical sur la figure ) perpendiculaire à cette direction  devra alors se trouver sur un segment  égal  à la moitié de la longueur de ce diamètre ( car la distance au centre du côté du triangle équilatéral inscrit est égale à la moitié du rayon ) ; la probabilité est donc de 1/2.

Deuxième solution :

On peut, pour des raisons de symétrie, se donner une des extrémités de la corde sur le cercle ; la tangente en ce point et les 2 cotés du triangle équilatéral inscrit ayant ce point pour sommet forment trois angles de 60° ; la direction de la corde doit être à l'intérieur de l'angle formé par le triangle ( en vert) ; la probabilité est donc de 1/3.

Troisième solution :

Pour fixer la position de la corde, il suffit de donner son milieu ; pour que la corde satisfasse à la condition de l'énoncé, il faut que son milieu soit intérieur à un cercle concentrique au cercle donné et de rayon moitié. La surface de ce cercle ( vert ) est le quart de la surface donnée ; la probabilité est donc de 1/4.

Doit-on penser que ces trois solutions sont également bonnes et, par suite, également mauvaises ? se demande Emile Borel dans son livre Le hasard parut en 1914. Nullement, poursuit-il, il s'agit simplement de préciser le mode d'après lequel se fera la vérification expérimentale, c'est à dire comment on s'y prendra pour tracer une corde au hasard : si on assujetit cette corde à passer par un point fixe du cercle ou si l'on fixe son milieu au hasard, il faudra choisir la deuxième ou la troisième solution, mais il est aisé de voir que la plupart des procédés naturels que l'on peut imaginer conduisent à la première.


Un site traite de ce "paradoxe" et permet la simulation des expériences : ICI

Un fichier pdf de Culturemath : ICI

J'ai trouvé sur un blog :

Comment prouver que tout ce qu'on dit est vrai ?

Un petit sophisme à résoudre. 

1. Ce que je veux dire est ce que j'ai l'intention de dire

2. J'ai l'intention de dire la vérité

3. Donc ce que je veux dire est vrai.

En terme d'étude de sophisme le sujet me parait très interessant.
L'approche philosophique de Gödel me semble capitale pour éclaircir le sujet ( l'ensemble des vérités ne coincide pas avec l'ensemble des démontrables )
Cela concerne aussi, à mon avis, un grand sujet philosophique sur l'humanité faisant des ravages incommensurables : que les gens croient  lorsqu'ils parlent  que c'est nécessairement une vérité qu'ils énoncent. A méditer...

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Comment monter horizontalement ? Par l'escalier du diable : ICI ( bibm@th )