Pour motiver mes élèves à publier sur un blog collaboratif, j'ai créé ce petit diaporama sonore. Il n'est pas parfait (j'ai laissé le micro branché lors du passage de la vidéo finale, d'où l'écho) mais je trouve le résultat assez intéressant.

Le concept est de faire écrire tous mes élèves dans un premier temps sur un sujet déterminé. J'ai choisi le centenaire de la mort de Poincaré. J'espère ensuite que certains élèves seront motivés pour publier d'autres billets avec le choix d'un thème plus personnel autour des sciences. J'ai fixé la date butoir de remise des productions numériques à la Toussaint.

L'objectif visé est de transformer la problématique de l'approche par compétences vers celle de l'apprentissage et non de l'évaluation en montrant que le processus est presque complètement défini, pendant la phase d'apprentissage, par une clarification et une exposition des compétences didactiques  et du suivi des stratégies d'apprentissage des élèves ainsi que par la définition précise de supports et de critères CONCRETS d'évaluation (j'ai nommé cette définiton concrète des objets d'évaluation- et d'apprentissage - "gradation", à ne pas confondre avec la graduation qui est le degré de maîtrise de la compétence). 

L'approche par compétences remplace  l'approche par savoirs, transcendante, associée à une vision platonique et évaluant sur une échelle allant de la terre au ciel, par une vision aristotélicienne, concrète, basée sur une approche terrestre, et demande donc que soient ramenés au concret, à leur multiplicité et leur nécessité descriptive, tous les discours sur les objets à transmettre et d'évaluation.

J'ai réalisé la présentation qui suit pour la présenter à mes collègues dans le cadre d'une journée pédagogique.

Une approche par savoir rend l'apprentissage de l'élève proche de lui (il doit nécessairement monter à l'échelle pour accéder au ciel des idées, quelqu'ensoit le mode) et le support d'évaluation lointain (l'élève doit être en mesure de traiter n'importe quel sujet comme cas particulier du Savoir, il ne nécessite de ce fait, aucune définition précise préalable).

Une approche par compétence rend l'apprentissage de l'élève lointain (il faut le guider à chaque pas de son apprentissage de façon proche et concrète, l'élève peine à trouver lui-même le chemin dans le labyrinthe) et l'objet d'apprentissage et le support d'évaluation proches (il sont l'objet de tous les désirs et phantasmes, il doivent être précisément décrits et connus).

Ces deux visions ou approches sont les deux faces d'une même pièce. La première met plus à l'abri le professeur puisqu'il siège dans le Ciel des idées platoniques. Son éloignement est ainsi compatible avec la structure philosophique de la transmission.

L'approche par compétences, se fait dans la Cité, seul lieu pour accéder au bonheur, selon Aristote. L'enseignant est donc dans le même monde que celui des objets de savoir qu'il décrit et définit. Il est donc plus exposé, et comme Sisyphe, il  doit  réaliser, au milieu du concret, le travail de description, de définition des objets qu'il expose et veut transmettre, voir même de justification de pertinence de cette transmission.

Pour reprendre une image de Dyson dans un très beau texte sur les mathématiciens, l'approche par savoir relève de l'oiseau alors que l'approche par compétences de la grenouille... et les deux sont nécessaires comme les deux faces d'une même pièce de monnaie.

A l'heure des grands débats sur la refondation de l'école, il aurait sans doute été pertinent de se poser la question de façon philosophique afin de trancher. Les deux approches, platoniciennes et arritotéliciennes sont clairement incompatibles, l'une excluant l'autre. Il existe dans le système scolaire français et à tous les niveaux, l'indécision de cette approche créant cette sorte de schyzophrénie scolaire que l'on peine à décrire autrement que comme systémique. Le passé nous a montré qu'aucune approche ne prévalait sur l'autre, les deux ayant leurs qualités et leurs effets pervers, elles sont toutes deux nécessaires. C'est au système politique scolaire d'être suffisamment lucide et clair pour définir selon lui ce qui relève de l'approche platonique et ce qui relève de l'approche aristotélicienne, sans laisser les acteurs  du système éducatif dans l'arène de la cité, sans défense, comme jetés en pature, en proie  aux incantateurs, aux chimères et à la violence.

Commentaire Slide 1

Tous les mots du titre sont importants

Le mot « Approche « qui renvoie le concept de compétences en amont de l’évaluation, vers l’apprentissage.

Le mot « Dynamique »  présent car la notion de compétence ne peut s’affranchir de la temporalité.

Le mot « LEGT », enlève la composante « professionnelle » de la compétence, la place au niveau de l’apprentissage théorique et appliqué et interdit l’idée d’une transposition professionnelle rapide.

Commentaire Slide 2

Ce sur quoi on ne peut pas agir:

Définitions multiples:

Evaluations délicates

au travers d’une succession de travaux ad hoc

L’entrainement à l’évaluation finale peut provoquer le travers déjà connu de bachotage qui ne concernera plus des savoirs mais des compétences et engendrer en passant la diminution de la sensation de complexité de la tâche à accomplir.

Voir : http://isabellequentin.wordpress.com/2012/02/27/lapproche-par-competences/

Commentaire Slide 3

L'exemple de l'orthographe considéré comme compétence

Il va apparaitre la présence d’une dualité et d’un écart :

L’apprentissage vu comme un processus « Apprendre l’orthographe », « Apprendre à apprendre l’orthographe »

VS

La compétence-cible didactique « Disposer de l’orthographe comme compétence »

Comment apprendre l'ortographe? Dictées non préparées, dictées préparées, pas de dictées, pas d'apprentissages spécifiques, des exercices spécifiques qui ne sont pas des dictées?

De la nature des objets d'apprentissage dépendra la "gradation", la définition  de l'objet concret d'évaluation, de la façon dont on va évaluer le fait que l'élève dispose de l'orthographe en acte comme compétence.

Entrent dans ce processus complexe:

1) L’environnement d’apprentissage .

2) Le balisage précis du parcours individuel d’apprentissage
 

 -         Compétences didactiques

 -         Compétences d’apprentissages

 -         Procédés d’individualisation

3) La définition précise et la cohérence des entrainements (dictée) et de l’évaluation finale (gradation).

 La problématique des compétences nous extrait du pur didactique, du pur pédagogique et nous renvoie rapidement vers la communication, vers l'explication, vers la définition, de par sa composante concrète très marquée.

L’acte de restitution qui était abstrait, lointain, difficilement cernable dans une approche basée sur les savoirs (être en mesure de traiter tous les sujets possibles) devient concret, proche et nécessite d’être défini précisément. 

Le processus d’apprentissage devient quant à lui abstrait, lointain, difficile à appréhender, il faut donc le baliser.

Pour reprendre l’exemple de l’orthographe, l’objectif n’est donc plus de placer dans la psyché de l’élève, l’Orthographe comme étant une composante essentielle du Savoir mais de rendre opérante et disponible la Bonne orthographe disponible chez lui sous réserve de l’informer des conditions d’évaluations et de l’avoir suffisamment entrainé.

Commentaire Slide 4

On pourrait se diriger vers la description d ela compétence mais elle ne dit rien sur le processus d'apprentissage, son contrôle, les  supports d'évaluation en cours d'apprentissage, ni sur la définition de l'objet final d'évaluation. Elles n'est donc ni explicative, ni descriptive. La définition de la compétence, dans certains cas est abstraite et nécessite d'être déclinée et décrite aux travers d'objets concrets. Ce processus sera nommé "gradation".

L'essentiel de la problématique se situe donc sur le chemin, la Compétence étant un objectif  inateignable, inévaluable directement sensé être dans le monde concret, qui répond au Savoir inaccessible lui aussi du monde des idées.

Commentaire Slide 5

Le triangle pointe vers le bas pour bien montrer que la compétence est un point de fuite vers le concret, l'essentiel étant effectué pendant le balisage des apprentissage, la gradation des objets d'évaluations finale, effectifs ou potentiels, mais néanmoins concrets.

Commentaire Slide 6

Platon tient le Timée, et pointe le doigt vers le haut pour montrer que la connaissance procède d'un mouvement ascendant, qui va de la terre au ciel de l'idéal philosophique, alors qu'Aristote tient son Ethique,  et dirige la paume de la main vers le sol indiquant que tout idéal philosophique ne peut exister que dans le monde d'ici-bas.

La définition des objets de savoir et des compétences associées ne pourra se faire qu'au travers d'un accord au sein de l'entité concrète et systémique dans laquelle elle sera évaluée (établissement, types d'établissements,..., nation, Europe, monde). C'est en particulier pour cela que j'ai placé le symbole de la balance et de donc de la définition du code, de la gradation pour aider Aristote à mener cette mission à bien. Platon quant à lui, voit sa stature diminuer pour apparaître plus petit qu'Aristote dans le monde concret.

Il sera donc impossible d'évoquer toute transcendance dans une transmission par compétences, mais simplement une accumulation temporelle stratifiée de compétences gradées dans la complexité et les contenus, qui doit mener de façon cumulative à l'accès à la Compétence Réelle.

Le cas particulier des mathématiques

Exemple de définition de compétences didactiques soumises à l'auto-évaluation avec vérification de la cohérence par l'enseignant:

Exemple de compétences d'apprentissage et de résolution de problèmes soumises à l'auto-évaluation:

Résolution de problèmes mathématiques et aide à l’apprentissage

Exemples de compétences d'apprentissage générales soumises à l'auto-évaluation.

Création d'un journal personnel "élève" alimenté par l'élève:

Compétences en mathématiques sur lesquelles doivent s'appliquer une gradation régulière par l'enseignant afin de définir les objets concrets d'apprentissage et d'évaluation.

Exemples de compétences mathématiques "gradées", présentes dans des activités ou des évaluations. 

Maîtriser les connaissances exigibles

Démonstrations exigibles et définies comme telles

Connaître le nombre dérivé en entrant en terminale S

Savoir dériver une fonction "classique" en entrant en terminale S

Savoir résoudre une équation du second degré classique en première S

Savoir résoudre une inéquation du second degré classique en première S

Avoir une attitude critique

Conclure avec des nombres entiers lorsque le problème traite de quantités entières

Ne pas accepter toutes les solutions d'une équation, revenir au problème concret

Vérifier la cohérence entre le registre graphique, le registre numérique et le registre algébrique

Ne pas arréter le calcul au abscisses des points et conclure sur les deux coordonnées

Mener des raisonnements

Faire un calcul de limite en début d'année de terminale S (deviendra connaissance exigible au cours de l'année)

Justifier toutes les étapes d'un raisonnement

Mener un raisonnement par récurrence classique à son terme.

Ce qui est bien avec les matheux, c'est qu'ils s'amusent avec pas grand chose... Donnez leur des cercles et des carrés, et ils vous créent des problèmes difficiles que certains considèrent même ludiques. Les autres resteront à tout jamais fermés à cet amusement de l'esprit ou tout du moins au fait que le terrain de jeu puisse être amusant.

Pour commencer à  "s'amuser", nous (pas moi mais J. Ricardo Mendoça) pouvons définir une nouvelle catégorie de nombres basés sur la première occurrence d'un certain motif de 0 et de 1 apparaissant dans le développement d'un nombre irrationnel dans une base donnée et les appeler "Nombres de Sagan" en référence à la première fois où de tels nombres ont été mentionnés par l'astronome américain Carl E. Sagan dans le roman de Science-Fiction Contact.

Pour débuter il faut définir la notion de n-cercle digital.

Définition du n-cercle digital.

Un n-cercle digital noté:

est une chaîne de n² bits, γi= 0 ou 1 qui assemblés de la gauche vers la droite et du haut vers le bas  codent un cercle digitalisé de diamètre n.

Il existe plusieurs façons de procéder. La deuxième approche "minimaliste" sera préférée, dans laquelle le nombre de 1 est minimal plutôt utilisée dans les technologies graphiques et les algorithmes qui donne le graphique (b).

On obtient les figures suivantes:

Ainsi:

On peut maintenant définir ce qu'est un nombre de Sagan.

Définition des nombres de Sagan.

Le n^ième nombre de Sagan décimal est la position dans la partie fractionnaire du développement de  π  en base 11, du premier chiffre du motif du n-cercle digital. On le note:

Les nombres de Sagan peuvent être généralisé pour n'importe quel nombre irrationnel  α et n'importe quelle base b. On les notera:

Et bien voilà, les présentations sont terminées et les matheux peuvent commencer à jouer afin de déterminer l'existence et la valeur de ces fameux nombres de Sagan! le problème posé touche du doigt la question de la normalité des nombres irrationnels dans n'importe quelle base, correspondant à l'équirépartition de chaque chiffre dans leur écriture.

Les premiers "chiffres" de Pi en base 11:

3.16150702865a48523521525977752941838668848853163a1a5421300465806522735053

3715271781a656371578133492888528191299206342527078127554826927697818064038

6187079590752454659a8876a29287267aa95754164754284475a718a59606a751a7513412

7a0525aa74070138624292a2542a3167921550550622029836612734698a08a2556602916a

53571454756894a25805a65a505a98131716aaa38868204098325970aaa553105877763582

301653133a753443a98119127676211a199730a1897918449a5a38659409534a4460107722

3546a614094a5809235096474789427705a3a4922410740916570038977533771952676361

38386036442694829545102839328755129856a85a524781730969a4080a901040093010a1

41a112654a8a9358a3a83415286a887a829645600582179834334013a419985988702a2549

a452143497638a92672a26203672a5216966415061384a077a389a3923102a21106200957a

6106554a8a54161713428538a39868214084a090107323154a7053692181190a04553706a6

51a3343816673a2892030896533aa225714357424631651155473011819a72362a78900493

8559a71067133093a7264a741886685073a93970747430aa68948218104271501328925862

5974765794718568955382a4423a30a2394278197543649849710aa0a9804...

Le premier nombre de Sagan est donc 1.
Il faut ensuite trouver la première occurrence de 1111 dans la liste (incomplète) précédente qui doit certainement se trouver entre les positions 10000 et 20000
Etc... 

De quoi occuper de longues soirées d'hiver d'un matheux en quête d'amusement.

Source: Sagan Numbers - Arxiv - J. Ricardo G. Mendonça (document avec exercices!)

Il semble qu'aujourd'hui le nombre 2 soit considéré comme le plus petit nombre premier. Mais cela n'a pas toujours été le cas. Il y a eu des temps et des mathématiciens, jusqu'à une période récente, pour lesquels les nombres 1 et 3 étaient une réponses acceptable.

Il est possible de dire que la problématique du plus petit nombre premier a été tranché lorsqu'ils ont été liés à l'unicité de la factorisation des nombres. Cette unicité est apportée par l'insertion des deux symboles "1<" dans le théorème suivant:

Pour chaque entier naturel n, il existe une unique factorisation
                                 
où les exposants a_i  sont des entiers positifs et 1<p₁<p₂<…<p_k  sont des nombres premiers.

Mais avant cela, pendant plus de deux millénaires, la liste des nombres premiers ne commençait pas toujours par 2.

Lorsque 1 n'était pas considéré comme un nombre, il était légitime que 2 soit le premier nombre nombre premier (Euclide).... sauf dans le cas où l'ensemble des nombres premiers était considéré comme un sous-ensemble des nombres impairs (Martianus Capella)- vers 420) mais cela ne l'était plus lorsque 1 devenait un nombre au même titre que les autres, puisqu'il était possible de l'utiliser dans les opérations arithmétiques et pour mesurer (Stevin - 1585).

Sans réflexion approfondie sur la primalité du nombre 1, une longue période de confusion allait naître.

On trouve par exemple dans cette lettre de Goldbach à Euler, l'écriture des entiers comme somme de nombres premiers, dont 1.

Gauss ne donna pas de définition explicite des nombres premiers mais participa à considérer la factorisation comme un élément central.

Cependant, après Gauss, de nombreux mathématiciens continuèrent à placer le nombre 1 dans la liste des nombres premiers et donc à la considérer comme le plus petit d'entre eux. On trouvera des noms célèbres tels que Legendre (1853), Weierstrass, Klein, Kronecker, Chebychev, Landau (1909). 

On peut se demander quel fut le dernier mathématicien à placer 1 dans la liste des nombres premiers.  

Et le gagnant n'est pas tout à fait "inconnu" et c'est en 1933 lors de la sixième version de " A course of Pure Mathematics" que l'on voit apparaître pour la dernière fois le nombre 1 comme plus petit nombre premier.

Dans la septième édition en 1938, le texte est modifié et la liste des nombres premiers commence par 2.

Source:  What is the smallest prime? Arxiv Caldwell et Xiong

http://www.geogebratube.org/material/show/id/13144