Il semble qu'aujourd'hui le nombre 2 soit considéré comme le plus petit nombre premier. Mais cela n'a pas toujours été le cas. Il y a eu des temps et des mathématiciens, jusqu'à une période récente, pour lesquels les nombres 1 et 3 étaient une réponses acceptable.

Il est possible de dire que la problématique du plus petit nombre premier a été tranché lorsqu'ils ont été liés à l'unicité de la factorisation des nombres. Cette unicité est apportée par l'insertion des deux symboles "1<" dans le théorème suivant:

Pour chaque entier naturel n, il existe une unique factorisation
                                 
où les exposants a_i  sont des entiers positifs et 1<p₁<p₂<…<p_k  sont des nombres premiers.

Mais avant cela, pendant plus de deux millénaires, la liste des nombres premiers ne commençait pas toujours par 2.

Lorsque 1 n'était pas considéré comme un nombre, il était légitime que 2 soit le premier nombre nombre premier (Euclide).... sauf dans le cas où l'ensemble des nombres premiers était considéré comme un sous-ensemble des nombres impairs (Martianus Capella)- vers 420) mais cela ne l'était plus lorsque 1 devenait un nombre au même titre que les autres, puisqu'il était possible de l'utiliser dans les opérations arithmétiques et pour mesurer (Stevin - 1585).

Sans réflexion approfondie sur la primalité du nombre 1, une longue période de confusion allait naître.

On trouve par exemple dans cette lettre de Goldbach à Euler, l'écriture des entiers comme somme de nombres premiers, dont 1.

Gauss ne donna pas de définition explicite des nombres premiers mais participa à considérer la factorisation comme un élément central.

Cependant, après Gauss, de nombreux mathématiciens continuèrent à placer le nombre 1 dans la liste des nombres premiers et donc à la considérer comme le plus petit d'entre eux. On trouvera des noms célèbres tels que Legendre (1853), Weierstrass, Klein, Kronecker, Chebychev, Landau (1909). 

On peut se demander quel fut le dernier mathématicien à placer 1 dans la liste des nombres premiers.  

Et le gagnant n'est pas tout à fait "inconnu" et c'est en 1933 lors de la sixième version de " A course of Pure Mathematics" que l'on voit apparaître pour la dernière fois le nombre 1 comme plus petit nombre premier.

Dans la septième édition en 1938, le texte est modifié et la liste des nombres premiers commence par 2.

Source:  What is the smallest prime? Arxiv Caldwell et Xiong

http://www.geogebratube.org/material/show/id/13144

Beaucoup de requêtes arrivent sur mon blog en cherchant cette information. Voilà la progression suivie dans notre établissement en maths et en TS à partir de cette année.

1.    Suites

2.    Limites de fonctions

3.    Fonction exponentielle

4.    Nombres complexes

5.    Continuité et dérivation

6.    Probabilités conditionnelles

7.    Fonction ln

8.    Droites et plans de l'espace

9.    Fonctions trigonométriques

10.  Intégrales et primitives

11.  Géométrie vectorielle

12.  Lois à densité

13.  Produit scalaire dans l'espace

14.  Lois normales

15.  Statistiques, estimation

Photo: Tall Irregular Progression" of Sol Lewitt. Monument in memory of terrorism victims. Year 2003. Located in Can Dragó park, Nou Barris, Barcelona.

Le plus difficile ce n'est pas d'écrire ce billet mais de retrouver l'adresse de  celui de l'année dernière qui porte le même nom: ICI afin de remonter le temps (5 ans déjà!). Ensuite il suffit de faire une étude différentielle entre les deux derniers états pour expliquer l'évolution.

En ce qui concerne l'ordinateur portable, rien à dire, je l'ai utilisé toute l'année passée avec le vidéo-projecteur (ceux de l'établissement principalement et occasionellement mon petit Acer), soit pour projeter le cours en ligne, mais le plus souvent pour projeter des animations GeoGebra que j'ai dans un dossier Dropbox synchronisé avec mon PC (et maintenant mon smartphone). J'ai aussi réalisé quelques diaporamas que j'ai vidéo-projetés.

Je n'ai plus utilisé OneNote et j'ai complètement basculé sur le cahier de textes numérique. Je ne l'ai plus utilisé pour la préparation des cours, trop fastidieuse au quotidien. Je pense l'année prochaine faire remplir un cahier de textes papier par les élèves à tour de rôle et recopier le contenu (amélioré avec animations et liens) dans le cahier de textes numérique.

J'ai toujours utilisé Edmodo et je me suis lancé dans le ramassage de devoirs numériques (algorithme, fichier GeoGebra, tableur et texte). Cela fait pas mal de manipulations d'autant plus que les élèves... oublient de lier tous les fichiers en même temps. Certains donnent encore de documents papier. Mais c'est sympa à faire au moins une fois dans l'année.

En ce qui concerne mes productions numériques, rien de neuf sinon que le stock accumulé commence à être conséquent et je peux puiser dedans de plus en plus rapidement et produire de moins en moins et donc gagner du temps. J'explore de plus en plus de pistes, comme on le voit ICI, mais l'objectif principal que je recherche est celui de l'efficacité et de la rapidité. Beaucoup d'essais s'avèrent donc concluants dans leur phase de test mais trop exigeants en terme de temps.

Pour ce qui est de la suite, je compte faire de plus en plus appel à la vidéo pour présenter une technique difficile, faire une démonstration ou corriger une question d'exercice demandant des explications délicates. J'affinerai la technique mais l'idée globale est sans doute contenue dans cette vidéo (rappel sur les suites arithmétiques) accessible seulement aux personnes disposant du lien. Je pourrai donc réaliser petit à petit des vidéos dont le nombre croissant constituera le stock. L'objectif que je me suis fixé n'est pas celui de la perfection, ni celui de la collection, ni celui de la cohérence (entre les vidéos), mais plutôt celui de la pertinence (par exemple faire un rappel, revenir sur un point, mettre l'accent sur une difficulté). 

Ces vidéos ne sont pas très longues à construire (si l'on ne se trompe pas trop) mais il faut cependant prendre le temps de le faire. Usage à suivre...

 Pour conclure sur l'année passé, je dirai plus que j'ai intégré les TICE de façon naturelle et que les utiliser sous quelque forme que ce soit ne me pose plus que des difficultés de temps conscré comme toute autre  production. Il faut donc faire les choix que l'on fait dans d'autres domaines qui sont ceux de la pertinence, du pragmatisme et de l'efficacité mais numérique cette fois.

La grande nouveauté en en fait mon acquisition d'un smartphone dont j'espère bien tirer un bon usage pédagogique mais là il faudra attendre l'année prochaine pour le bilan d'étape! J'ai commencé la reflexion en abordant la question de l'extension de la notion de partage (numérique) ICI. 

Pour l'année prochaine, j'ai en projet de faire alimenter un blog collaboratif par les élèves avec des articles autour des maths pour les premières S (biographie, concepts simples, curiosités, arts...) et sur les sciences en général pour les terminales S. On peut voir un exemple d'un de deux billets réalisés à titre expérimental par un élève de terminale S dont le second date de 3 jours et que je viens de le découvrir à l'instant!

La découverte des plus anciens embryons amniotiques suggère la viviparité chez les mésosaures

Découverte du plus ancien insecte complet

Les contraintes sont les suivantes:

• Pas de copier/coller intégral mais une synthèse des différentes sources.
• La rédaction d'un bandeau introductif en gras.
• L'insertion d'au moins une image
• La publication des sources en bas de notes et au pied des images.

Là encore... histoire à suivre l'année prochaine mais ce que je lis me semble prometteur pour le passage en production!

Je suis pourtant un habitué des technologies numériques mais il est vrai que jusqu'à maintenant j'utilisais exclusivement un ordinateur. Aujourd'hui je possède un Smartphone et je viens de prendre conscience que l'idée que je me faisais du partage relevait de la préhistoire numérique, du temps du web 2 en quelque sorte où étaient (et sont encore) entassés sous chaque page ou billet, les icônes des principaux réseaux sociaux et sites de partage. On y voyait aussi une icône faisant figurer un mail, un pdf ou une imprimante. On pouvait aussi partager sur twitter ou sur Facebook. J'avais il y a quelques temps fait un billet sur le partage de fichiers en ligne, qui me paraissait déjà un élément très important pour un usage scolaire, c'est ici.

Je vais développer un peu plus en vidéo ce que j'entends par la notion de partage généralisé en partant d'un calcul effectué avec l'application Wolfram Alpha que j'ai téléchargée sur mon SmartPhone.

J'aurai pu prendre un autre exemple, une page web, une adresse physique ou une photo mais j'ai trouvé que le partage d'un résultat mathématique  me semblait pertinent sur un blog de maths :