Ce qui est bien avec les matheux, c'est qu'ils s'amusent avec pas grand chose... Donnez leur des cercles et des carrés, et ils vous créent des problèmes difficiles que certains considèrent même ludiques. Les autres resteront à tout jamais fermés à cet amusement de l'esprit ou tout du moins au fait que le terrain de jeu puisse être amusant.

Pour commencer à  "s'amuser", nous (pas moi mais J. Ricardo Mendoça) pouvons définir une nouvelle catégorie de nombres basés sur la première occurrence d'un certain motif de 0 et de 1 apparaissant dans le développement d'un nombre irrationnel dans une base donnée et les appeler "Nombres de Sagan" en référence à la première fois où de tels nombres ont été mentionnés par l'astronome américain Carl E. Sagan dans le roman de Science-Fiction Contact.

Pour débuter il faut définir la notion de n-cercle digital.

Définition du n-cercle digital.

Un n-cercle digital noté:

est une chaîne de n² bits, γi= 0 ou 1 qui assemblés de la gauche vers la droite et du haut vers le bas  codent un cercle digitalisé de diamètre n.

Il existe plusieurs façons de procéder. La deuxième approche "minimaliste" sera préférée, dans laquelle le nombre de 1 est minimal plutôt utilisée dans les technologies graphiques et les algorithmes qui donne le graphique (b).

On obtient les figures suivantes:

Ainsi:

On peut maintenant définir ce qu'est un nombre de Sagan.

Définition des nombres de Sagan.

Le n^ième nombre de Sagan décimal est la position dans la partie fractionnaire du développement de  π  en base 11, du premier chiffre du motif du n-cercle digital. On le note:

Les nombres de Sagan peuvent être généralisé pour n'importe quel nombre irrationnel  α et n'importe quelle base b. On les notera:

Et bien voilà, les présentations sont terminées et les matheux peuvent commencer à jouer afin de déterminer l'existence et la valeur de ces fameux nombres de Sagan! le problème posé touche du doigt la question de la normalité des nombres irrationnels dans n'importe quelle base, correspondant à l'équirépartition de chaque chiffre dans leur écriture.

Les premiers "chiffres" de Pi en base 11:

3.16150702865a48523521525977752941838668848853163a1a5421300465806522735053

3715271781a656371578133492888528191299206342527078127554826927697818064038

6187079590752454659a8876a29287267aa95754164754284475a718a59606a751a7513412

7a0525aa74070138624292a2542a3167921550550622029836612734698a08a2556602916a

53571454756894a25805a65a505a98131716aaa38868204098325970aaa553105877763582

301653133a753443a98119127676211a199730a1897918449a5a38659409534a4460107722

3546a614094a5809235096474789427705a3a4922410740916570038977533771952676361

38386036442694829545102839328755129856a85a524781730969a4080a901040093010a1

41a112654a8a9358a3a83415286a887a829645600582179834334013a419985988702a2549

a452143497638a92672a26203672a5216966415061384a077a389a3923102a21106200957a

6106554a8a54161713428538a39868214084a090107323154a7053692181190a04553706a6

51a3343816673a2892030896533aa225714357424631651155473011819a72362a78900493

8559a71067133093a7264a741886685073a93970747430aa68948218104271501328925862

5974765794718568955382a4423a30a2394278197543649849710aa0a9804...

Le premier nombre de Sagan est donc 1.
Il faut ensuite trouver la première occurrence de 1111 dans la liste (incomplète) précédente qui doit certainement se trouver entre les positions 10000 et 20000
Etc... 

De quoi occuper de longues soirées d'hiver d'un matheux en quête d'amusement.

Source: Sagan Numbers - Arxiv - J. Ricardo G. Mendonça (document avec exercices!)

Il semble qu'aujourd'hui le nombre 2 soit considéré comme le plus petit nombre premier. Mais cela n'a pas toujours été le cas. Il y a eu des temps et des mathématiciens, jusqu'à une période récente, pour lesquels les nombres 1 et 3 étaient une réponses acceptable.

Il est possible de dire que la problématique du plus petit nombre premier a été tranché lorsqu'ils ont été liés à l'unicité de la factorisation des nombres. Cette unicité est apportée par l'insertion des deux symboles "1<" dans le théorème suivant:

Pour chaque entier naturel n, il existe une unique factorisation
                                 
où les exposants a_i  sont des entiers positifs et 1<p₁<p₂<…<p_k  sont des nombres premiers.

Mais avant cela, pendant plus de deux millénaires, la liste des nombres premiers ne commençait pas toujours par 2.

Lorsque 1 n'était pas considéré comme un nombre, il était légitime que 2 soit le premier nombre nombre premier (Euclide).... sauf dans le cas où l'ensemble des nombres premiers était considéré comme un sous-ensemble des nombres impairs (Martianus Capella)- vers 420) mais cela ne l'était plus lorsque 1 devenait un nombre au même titre que les autres, puisqu'il était possible de l'utiliser dans les opérations arithmétiques et pour mesurer (Stevin - 1585).

Sans réflexion approfondie sur la primalité du nombre 1, une longue période de confusion allait naître.

On trouve par exemple dans cette lettre de Goldbach à Euler, l'écriture des entiers comme somme de nombres premiers, dont 1.

Gauss ne donna pas de définition explicite des nombres premiers mais participa à considérer la factorisation comme un élément central.

Cependant, après Gauss, de nombreux mathématiciens continuèrent à placer le nombre 1 dans la liste des nombres premiers et donc à la considérer comme le plus petit d'entre eux. On trouvera des noms célèbres tels que Legendre (1853), Weierstrass, Klein, Kronecker, Chebychev, Landau (1909). 

On peut se demander quel fut le dernier mathématicien à placer 1 dans la liste des nombres premiers.  

Et le gagnant n'est pas tout à fait "inconnu" et c'est en 1933 lors de la sixième version de " A course of Pure Mathematics" que l'on voit apparaître pour la dernière fois le nombre 1 comme plus petit nombre premier.

Dans la septième édition en 1938, le texte est modifié et la liste des nombres premiers commence par 2.

Source:  What is the smallest prime? Arxiv Caldwell et Xiong

http://www.geogebratube.org/material/show/id/13144

Beaucoup de requêtes arrivent sur mon blog en cherchant cette information. Voilà la progression suivie dans notre établissement en maths et en TS à partir de cette année.

1.    Suites

2.    Limites de fonctions

3.    Fonction exponentielle

4.    Nombres complexes

5.    Continuité et dérivation

6.    Probabilités conditionnelles

7.    Fonction ln

8.    Droites et plans de l'espace

9.    Fonctions trigonométriques

10.  Intégrales et primitives

11.  Géométrie vectorielle

12.  Lois à densité

13.  Produit scalaire dans l'espace

14.  Lois normales

15.  Statistiques, estimation

Photo: Tall Irregular Progression" of Sol Lewitt. Monument in memory of terrorism victims. Year 2003. Located in Can Dragó park, Nou Barris, Barcelona.

Le plus difficile ce n'est pas d'écrire ce billet mais de retrouver l'adresse de  celui de l'année dernière qui porte le même nom: ICI afin de remonter le temps (5 ans déjà!). Ensuite il suffit de faire une étude différentielle entre les deux derniers états pour expliquer l'évolution.

En ce qui concerne l'ordinateur portable, rien à dire, je l'ai utilisé toute l'année passée avec le vidéo-projecteur (ceux de l'établissement principalement et occasionellement mon petit Acer), soit pour projeter le cours en ligne, mais le plus souvent pour projeter des animations GeoGebra que j'ai dans un dossier Dropbox synchronisé avec mon PC (et maintenant mon smartphone). J'ai aussi réalisé quelques diaporamas que j'ai vidéo-projetés.

Je n'ai plus utilisé OneNote et j'ai complètement basculé sur le cahier de textes numérique. Je ne l'ai plus utilisé pour la préparation des cours, trop fastidieuse au quotidien. Je pense l'année prochaine faire remplir un cahier de textes papier par les élèves à tour de rôle et recopier le contenu (amélioré avec animations et liens) dans le cahier de textes numérique.

J'ai toujours utilisé Edmodo et je me suis lancé dans le ramassage de devoirs numériques (algorithme, fichier GeoGebra, tableur et texte). Cela fait pas mal de manipulations d'autant plus que les élèves... oublient de lier tous les fichiers en même temps. Certains donnent encore de documents papier. Mais c'est sympa à faire au moins une fois dans l'année.

En ce qui concerne mes productions numériques, rien de neuf sinon que le stock accumulé commence à être conséquent et je peux puiser dedans de plus en plus rapidement et produire de moins en moins et donc gagner du temps. J'explore de plus en plus de pistes, comme on le voit ICI, mais l'objectif principal que je recherche est celui de l'efficacité et de la rapidité. Beaucoup d'essais s'avèrent donc concluants dans leur phase de test mais trop exigeants en terme de temps.

Pour ce qui est de la suite, je compte faire de plus en plus appel à la vidéo pour présenter une technique difficile, faire une démonstration ou corriger une question d'exercice demandant des explications délicates. J'affinerai la technique mais l'idée globale est sans doute contenue dans cette vidéo (rappel sur les suites arithmétiques) accessible seulement aux personnes disposant du lien. Je pourrai donc réaliser petit à petit des vidéos dont le nombre croissant constituera le stock. L'objectif que je me suis fixé n'est pas celui de la perfection, ni celui de la collection, ni celui de la cohérence (entre les vidéos), mais plutôt celui de la pertinence (par exemple faire un rappel, revenir sur un point, mettre l'accent sur une difficulté). 

Ces vidéos ne sont pas très longues à construire (si l'on ne se trompe pas trop) mais il faut cependant prendre le temps de le faire. Usage à suivre...

 Pour conclure sur l'année passé, je dirai plus que j'ai intégré les TICE de façon naturelle et que les utiliser sous quelque forme que ce soit ne me pose plus que des difficultés de temps conscré comme toute autre  production. Il faut donc faire les choix que l'on fait dans d'autres domaines qui sont ceux de la pertinence, du pragmatisme et de l'efficacité mais numérique cette fois.

La grande nouveauté en en fait mon acquisition d'un smartphone dont j'espère bien tirer un bon usage pédagogique mais là il faudra attendre l'année prochaine pour le bilan d'étape! J'ai commencé la reflexion en abordant la question de l'extension de la notion de partage (numérique) ICI. 

Pour l'année prochaine, j'ai en projet de faire alimenter un blog collaboratif par les élèves avec des articles autour des maths pour les premières S (biographie, concepts simples, curiosités, arts...) et sur les sciences en général pour les terminales S. On peut voir un exemple d'un de deux billets réalisés à titre expérimental par un élève de terminale S dont le second date de 3 jours et que je viens de le découvrir à l'instant!

La découverte des plus anciens embryons amniotiques suggère la viviparité chez les mésosaures

Découverte du plus ancien insecte complet

Les contraintes sont les suivantes:

• Pas de copier/coller intégral mais une synthèse des différentes sources.
• La rédaction d'un bandeau introductif en gras.
• L'insertion d'au moins une image
• La publication des sources en bas de notes et au pied des images.

Là encore... histoire à suivre l'année prochaine mais ce que je lis me semble prometteur pour le passage en production!