Au début du XXème siècle, Emile Borel, brillant mathématicien,  pronait le développement des laboratoires mathématiques dans les classes pour que les élèves se rendent compte qu'elles ne sont pas une pure abstraction... On a vu se pousuivre le développement des laboratoires de physique expérimentale et de SVT, mais pourquoi le système scolaire français n'a-t-il jamais poussé plus en avant cette idée?

Il semble que la valeur éducative de l’enseignement mathématique ne pourra qu’être augmentée si la théorie y est, le plus souvent possible, mêlée à la pratique. L’élève comprendra qu’il est sans doute excellent de bien raisonner, mais qu’un raisonnement juste ne conduit à des résultats exacts que si le point de départ est lui-même exact ; qu’il faut, par suite, ne pas croire aveuglément à tout raisonnement, à toute démonstration d’apparence scientifique, mais se dire toujours que la conclusion n’a de valeur qu’autant que les données ont été scrupuleusement vérifiées par l’expérience. C’est la meilleure éducation que nous pouvons souhaiter donner à nos élèves. Quand ils auront bien compris à la fois la puissance indéfinie du raisonnement abstrait et son incapacité absolue à créer de toutes pièces une vérité pratique, ils seront mieux armés pour la vie.

Le hasard, Emile Borel, éd. Librairie Félix Alcan, 1914, p. 12-13

On pourra lire avec un intérêt tout particulier la conférence qu'il a donné le 3 mars 1904 au  musée pédagogique d'où sont extraites les citations suivantes:

Mais pour amener, non seulement les élèves, mais aussi les professeurs, mais surtout l’esprit public à une notion plus exacte de ce que sont les Mathématiques et du rôle qu’elles jouent réellement dans la vie moderne, il sera nécessaire de faire plus et de créer de vrais laboratoires de Mathématiques.

Si la création de laboratoires en partie communs, se prêtant des appareils, utilisant même, dans un petit établissement, les mêmes outils, pouvait avoir pour résultat de rapprocher les physiciens et les mathématiciens, ce serait déjà une raison suffisante pour les créer.

j’ai parlé de ce que, à mon sens, il y avait à faire au point de vue des exercices pratiques de Mathématiques, mais je n’ai pas dit qu’il fallait supprimer l’enseignement théorique des Mathematiques ; je pense, au contraire, qu’on peut le conserver tel qu’il existe (à peu de chose près) ; mais cet enseignement théorique ne sera que mieux compris s’il est accompagné d’exercices pratiques, tels que nous avons essayé de les définir.

Cela étant bien entendu, il semble que la valeur éducative de l’enseignement mathématique ne pourra qu’etre augmentée si la théorie y est, le plus souvent possible, mélée à la pratique.

Avez-vous des exemples de preuves sans mots comme l'illustration suivante, que je trouve excellente?     

 A chaque couple de la dernière ligne correspond un unique point jaune... d'où le résultat.

Je n'ai pas trouvé de traduction en français pour un triangle possédant un angle de 60°.

Un peu comme le triangle rectangle qui dispose de l'un des théorèmes les plus beaux des mathématiques, le triangle eutrigone, dont l'angle de 60° remplace celui de 90°, possède une propriété très analogue.

Si l'on trace des triangles équilatéraux sur chacun des cotés du triangle eutrigone, son aire est égale à la somme de celles des deux triangles adjacents à l'angle de 60° moins l'aire du troisième!

Belle propriété non?

 Vous trouverez l'applet GeoGebra pour constater la propriété ICI.

 Pour la démonstration, elle est du niveau de première S !

The area of an equilateral triangle with side is . By the law of sines, the area of a eutrigon is . The law of cosines gives , because . Multiplying by gives the statement of the theorem.

 Voir le site de Wolfram.

Certains mathématiciens refusent l'idée que l'infini puisse être un concept que l'on peut utiliser. Ce sont les finitistes. Les plus radicaux d'entre eux sont les ultrafinitistes dont faisait partie le mathématicien russe Alexander Yessenin-Volpin, logicien et poète ( qui a été interné dans un hopital psychiatrique en 1949 pour "poésie anti-soviétique" !).

Lorsqu'on lui demandait si toutes les puissances de 2 avaient un sens, il précisait que la question devait être détaillée pour qu'il puisse y répondre et que chacun de ces nombres devait être étudié.

Il répondait presque instantanément que 2¹ était un réel. Lorsqu'on lui demandait si 2² était un réel, il mettait un peu plus de temps à répondre, puis encore plus de temps pour préciser que 2³ en était aussi un. Et si on lui demandait un jour si  2¹⁰⁰ était un réel, il mettrait  2¹⁰⁰  plus de temps à répondre que pour 2¹. Belle façon de montrer qu'il était impossible de répondre à la question et que l'infini est un concept qui n'a pas de sens.

Source: L'excellent livre "Au nom de l'infini" de Cantor et Graham

J'ai adoré ce livre de 188 pages aux illustrations fournies, alors qu'il ne m'était pas destiné. En effet l'auteur Rob Eastaway explique qu'il a écrit ce livre pour répondre à une journaliste qui mettait en doute la beauté des maths.

Le sous-titre du livre, très bien traduit par Olivier Courcelle, indique avec pertinence qu'il abordera les mathématiques surprenantes de la vie quotidienne, alors qu'en conclusion Rob remercie deux amis mathophobes, qui lui ont permis de savoir ce qu'il NE FALLAIT PAS mettre dans un livre comme celui-ci. Il est à noter que le livre ne perd rien en rigueur explicative mais gagne fortement en adoptant toujours un angle d'attaque favorable au lecteur qui n'est pas accomodé aux subtilités mathématiques.

Je connaissais de nombreuses propriétés citées, et malgré le fait que je baigne dans l'univers mathématique quotidiennement, je me suis fait encore surprendre par ses fascinantes propriétés, et j'ai encore découvert quelques merveilleux joyaux qui peuvent facilement s'énoncer. Je n'hésiterai d'ailleurs pas à présenter à l'occasion, à mes élèves, quelques propriétés amusantes telles que le paradoxe de Penney, qui donne un avantage décisif à celui qui débute dans un certain jeu de pile ou face ou celui du dictateur qui, pour soutenir une politique nataliste en faveur des garçons interdit aux mères ayant eu une fille, d'avoir un autre enfant... Politique paradoxalement d'un effet nul sur la répartition des naissances!

Je vous encourage donc à croquer dans ce petit moment de maths abordables, sous l'angle du AAHH (la beauté), du AHA (l'émerveillement) et du HAHA (le rire!).

Et, pour conclure... Si on a deux couleurs de chaussettes dans un tiroir, combien faut-il prélever de chaussettes au hasard (il fait noir le matin..), pour être certain d'avoir une paire de chaussettes de la même couleur? Et que se passe-t-il avec 3,4,5 puis n couleurs de chaussettes dans le tiroir?