Trois jours de stage et six heures de train pendant lesquelles j'ai dévoré ce livre. Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de Philosophie 2007 décerné par l'Académie Française. Je ne connais pas les autres lauréats mais pour ce qui est de ce livre je pense que la philosophie a vraiment trouvé du grain à moudre pour quelques années dans ces métamorphoses numériques.

Au début du livre, j'étais en territoire connu mais j'ai déjà lu beaucoup de livres sur l'histoire des mathématiques alors j'ai pensé, tiens encore une histoire des maths. C'est vrai pour le tout début du livre mais la première partie est nécessaire à quiconque ne maîtrise par bien ce sujet afin d'introduire la logique des prédicats.

Et puis dès la cinquantième page, je vois apparaître mon copain Kant et ses jugements synthétiques à priori. Alors je commence à me dire que ça va cogner. On pourra d'ailleurs lire le documents suivant : La philosophie des mathématiques de Kant . Quel est le problème?

Kant propose deux types de jugements :

Analytique si une proposition est vraie par définition comme "un triangle à trois cotés".

Synthétique si la propostion est vraie sans que ce soit une définition. Par exemple "La terre a un satellite" . Ce jugement peut être a priori si on peut le concevoir dans la tête ou a poseriori s'il faut une intéraction avec la nature.

Les jugements analytiques semblent quant à eux exclusivement à priori.

Pour Kant le raisonnement se situe dans les jugements synthétiques à priori mais c'est là que ça coince par ce que ce n'est pas aussi simple que ça!

Le "simple", 2+2=4 pose problème. Frege va d'ailleurs montrer que 2+2=4 peut se déduire de la définition des nombres entiers et doit être classé parmi les jugements analytiques et non parmi les jugements synthétiques à priori.

On voit déjà poindre à l'horizon une problématique philosophique centrale concernant les mathématiques, leur constitution et leur évolution. Se constituent-elles au sein d'elles mêmes auquelles cas elles sont analytiques à partir des simples définitions. Relèvent-elles du jugement synthétique à priori ou doivent-elles aller chercher des éléments dans la nature pour se construire.

Il est inutile de vouloir répondre simplement à ces questions qui dépendent de l'évolution des mathématiques elles mêmes dont le pivot central est certainement la thèse de Church des années 30, affirmant l'identité entre la notion de calcul "informatique et la notion "commune " de calcul que nous avons.

En avançant encore un peu dans le livre on voit apparaitre l'idée selon laquelle Démonstration = Algorithme et puisque la thèse de Church nous donne Algorithme = Calcul, on a donc l'identité Démonstration = Calcul. Il devient donc nécessaire de distinguer les notions de démontrable et d'explicatif, ce qui est loin d'être facile pour les mathématiciens. La longueur des démonstrations est aussi abordée, avec par exemple la problèmatique suivante : Peut-on démontrer qu'un problème démontrable possède une démonstration "courte"?

Philosophiquement le sujet est dense!

D'autant qu'à la fin de l'histoire une surprise de taille nous attend avec un retour nécessaire à la nature... Mais je n'en dis pas plus.

Ce qui m'a aussi passioné dans le livre est le traitement du rapport du mathématicien et de la machine, de ce nouvel outil qui lui est maintenant indispensable. L'auteur s'interroge aussi sur le fait que l'ordinateur du mathématicien est le même que celui de Mme Michu, sauf bien sûr si les calculs sont vraiment très très longs et demandent un super-calculateur pour pouvoir être faits  en un temps "raisonnable". Il est intreressant de comprendre quelles est la place de l'ordinateur-machine à coté du mathématicien-humain.

J'ai extrait quelques courtes citations vers la fin du livre qui me semblent assez explicites sur les métamorphoses du calcul qui est le sujet du livre et donc des mathématiques elles-mêmes:

En 1976, les mathématiques sont entrées dans la période instrumentée de leur histoire. Les instruments utilisés par les mathématiciens, ne sont pas des instruments qui prolongent les facultés de nos sens, mais qui prolongent les capacités de notre entendement: notre faculté de raisonner et surtout, de calculer. ( p 182 )

L'utilisation d'instruments commence, de même à changer, les mathématiques. ( p 182 )

La maquette sur laquelle on fait l'essai est donc une machine à résoudre un problème mathématique,[...] (p 188)

L'entrée des mathématiques dans leur ère instrumentée incite donc, non à accorder une confiance excessive dans les instruments utilisés, mais à restreindre prudemment la confiance parfois exagérée, que nous avons en nous-mêmes: nous aussi nous pouvons faire des erreurs. (  p 191 )

Podcast de Gille Dowek sur le livre et sur Canal-Académie

Pour compléter :

Des p'tits problèmes de coloriage ( autour du théorème des quatre couleurs)

Rien à voir avec les maths ni l'enseignement, une fois n'est pas coutume...

J'ai découvert sur Twitter via @EPN de Wallonie, l'adresse de Kiibook permettant de créer des livres artistiques. J'ai trouvé l'idée séduisante et j'ai utilisé ce site ainsi qu'un ancien texte que j'avais écrit pour faire la composition suivante. Le résultat me semble intéressant.

les impensées quotidiennes

C'est un Poème de Jacques Peletier du Mans, mathématicien et poète humaniste français (1517,1582), que l'on retrouvera, avec d'autres poèmes sur les mathématiques, dont certains très originaux, dans le livre "Quand les poètes chantent la science" de Michel Toyer.

(Bizarre... l'article de Wikipédia met deux "l" à son nom...)

Les parents de Gauss ont remarqué qu'il avait corrigé une erreur sur un livre de compte alors qu'il était agé de 3 ans. Li Shanlan lisait en cachette les neufs chapitres à l'âge de 10 ans.

Mais Euclide à 6 ans est-ce possible ?

C'est ce que semble affirmer Jean-Baptiste De La  Chapelle en 1763 ( page 7 ):

"Euclide peut être étudié à 6 ans; l'on a à cet âge des yeux & des mains"

J'ose espérer qu'il s'agit là d'une métonymie et qu'à la place de l'ingestion complète des Eléments d'Euclide, le pauvre enfant ne devra seulement découvrir que quelques éléments graphiques de géométrie.

Puisque les gens raisonnables s'adaptent au monde et que les gens déraisonnables le modifient, le progrès humain dépend de ces derniers.

Photo : Danielwer.esq

Entre quelques clous, deux ou trois coups de bèche, la lecture des commentaires sur la réforme des programmes de seconde, j'ai eu le temps de lire deux livres. Je fais une note rapide et j'en réaliserai une plus détaillée du type "notes de lectures" lorsque j'aurai un peu plus de temps. Là, il faut que je retourne au montage de mon barbecue et que je commence le PowerPoint pour la Journée des Maths concernant l'enseignement des mathématiques au XVIIIème, et ça s'est sans compter le plantage des géraniums et la corrections des copies qui me restent...

En attendant, je vous conseille les deux livres suivants, pour qui le sujet intéresse :

Anthroplogie de la communication de Yves Winkin , d'une part pour appredre que cette discipline existe et d'autre part pour faire du banal et du commun, un contenu porteur de sens. Après la lecture de ce livre, il est impossible d'aller à un colloque, un séminaire ou une formation avec le même regard.

Peut-on encore faire de la communication un outil de recherche en sciences humaines et sociales ? Loin de se réduire aux médias, elle devient pour Winkin la « performance de la culture » : dans chaque geste, dans chaque interaction, il y a de la culture à l'oeuvre. La communication, c'est la société qui s'accomplit à chaque instant.

Auto-efficacité - Le sentiment d'efficacité personnelle d'Albert Bandura. C'est un chef-d'oeuvre, c'est un gros bouquin et c'est vraiment dense. Pour tout savoir sur le lien entre le sentiment d'efficacité personnelle et la capacité d'agir. J'y ai découvert en passant le coping, que l'on rencontre au quotidien chez les élèves.

Fruit de très nombreuses recherches relatives à l'impact du sentiment d'efficacité personnelle sur la vie quotidienne des individus, cet ouvrage propose une synthèse majeure sur les représentations que les hommes ont de leur capacité d'agir avec efficacité, par l'influence sur eux-mêmes et sur leur environnement. La théorie de l'auto-efficacité s'enracine dans une perspective sociocognitive selon laquelle interagissent trois types de facteurs dans l'existence humaine : le comportement, les facteurs personnels (processus cognitifs, émotionnels et biologiques) et l'environnement. L'auto-efficacité agit comme un mécanisme autorégulateur central de l'activité humaine. La confiance que la personne place dans ses capacités à produire des effets désirés influence ses aspirations, ses choix, sa vulnérabilité au stress et à la dépression, son niveau d'effort et de persévérance, sa résilience face à l'adversité... C'est dire que la théorie de l'auto-efficacité ouvre des perspectives tout à fait neuves dans des domaines aussi divers que la santé, l'éducation, la psychothérapie, l'organisation des entreprises, l'entraînement sportif... On découvre notamment dans cet ouvrage comment le sentiment d'efficacité personnelle peut modifier le fonctionnement immunitaire et la résistance à la douleur chez des patients, réduire voire éliminer des troubles aussi divers que les phobies, la dépression, l'anorexie et la boulimie, l'alcoolisme et la toxicomanie, permettre à des élèves issus d'un milieu défavorisé d'obtenir de bons résultats scolaires, influencer le choix d'une carrière et la réussite professionnelle, aider à vaincre des difficultés apparemment insurmontables. La présente synthèse démontre clairement que la théorie de l'auto-efficacité répond aux trois critères permettant de juger de la valeur d'une théorie psychologique : son pouvoir explicatif, son pouvoir prédictif et son pouvoir d'améliorer la condition humaine. Cet ouvrage s'adresse tout particulièrement aux professeurs et étudiants des 2e et 3e cycles en psychologie mais intéressera également les psychologues cliniciens, les pédagogues, les sociologues, les responsables de management.

Article sur le site de Jean Heutte

Rien à voir avec la lecture mais j'ai découvert "Coeur de Pirate" et j'aime bien :

Sommaire

• Éditorial
• Dossier Mathématiques et astronomie
  • Mesurer l'univers
  • Les équations n'ont pas de préjugés
• Dossier Logique mathématique et informatique théorique
  • Des constructions impossibles !
  • Découverte mathématique à la polyvalente
• Dossier Grands mathématiciens
  • Leonhard Euler
• Dossier Applications des mathématiques
  • Des ponts d'Euler à la grippe aviaire
• Rubrique des Paradoxes
  • Trois pesées suffisent et Solution du paradoxe précédent
• Section problèmes
• Solutions
• Pour en savoir plus

Le site Accromath

Si l'on peut lire de nombreux articles sur les avantages et les progrès d'Internet en matière d'accès à l'information, on peut se demander à juste titre quels seraient les arguments pouvant faire préférer une recherche sur un livre plutôt que sur un site expert.
Le contact des doigts sur le papier, le bruit des pages qui tournent sont irremplaçables, mais cela est d'un bien maigre poids devant la révolution numérique et ses hyperliens. Il est cependant nécessaire de s'interroger sur ce point, par exemple lorsque l'on rédige un livre de plus de 1000 pages sur les mathématiques tel que  The Princeton Companion to Mathematics. Le plus surprenant est que l'argumentaire apparaît dès la 5ème page de la préface de ce livre monumental qui doit lutter contre des sites  aussi importants que Wikipédia ou Wolfram MathWorld.

Voici donc la traduction (personnelle) de la partie VII de la préface:

" Qu'est-ce que Le Compagnon peut offrir qu'Internet ne peut pas offrir?"

En quelques sortes, la figure du Compagnon est semblable à celle d'un grand site Web mathématique comme la partie mathématique de Wikipédia ou "Mathworld" d'Eric Weisstein. En particulier, les renvois ressemblent aux hyperliens. Ce livre est-il donc utile? A cet instant, la réponse est oui. Si vous avez-vous déjà essayé d'utiliser Internet pour découvrir un concept mathématique, vous devez déjà savoir que c'est une affaire au petit bonheur la chance. Parfois vous trouvez une bonne explication mais souvent ce n'est pas le cas. Les sites web qui viennent d'être mentionnés sont utiles pour trouver la matière qui n'est pas présente ici, mais au moment de l'écriture, ils ont été écrits dans un style différent de celui de ce livre: plus direct ( drier dans le texte ) et plus préoccupé à présenter les faits de base de façon épurée ( economical way dans le texte ) qu'à réfléchir dessus. On ne trouve pas de longs essais de ce type dans les parties I, II, IV, VII et VIII de ce livre. Certaines personnes trouveront aussi préférable  d'avoir l'ensemble de cette matière sous forme de livre. Comme il a déjà été mentionné, ce livre n'est pas organisé comme une compilation d'articles isolés mais avec un ordre soigneusement étudié qui exploite la structure linéaire dont souffrent les livres mais qui est absente des sites Web. La nature physique d'un livre confère une expréience complètement différente lorsqu'on le parcourt par rapport à un site Web. Après avoir lu la table des matières on accède au sens du livre entier alors que sur un grand site web, on ne prend conscience que de la page que l'on est en train de lire. Tout le monde ne sera pas d'accord avec cela, ou n'y trouvera d'avantage significatif mais d'autres le seront et c'est pour eux que ce livre a été écrit. Pour le moment, The Princeton Companion to Mathematics, n'a pas de concurrent en ligne sérieux: plutôt que de rivaliser avec des sites web, il les complète.

Intéressant, non ?

Si vous aimez les maths et l'anglais ( ou plutôt l'américain ), il n'y a qu'a vous servir, c'est gratuit :

Les mathématiciens aiment colorier. Peut-être n'ont-ils pas eu le temps de le faire à l'école, alors ils rattrapent le temps perdu.

Dès 1852, l'un d'entre eux se demanda combien il fallait de couleurs pour colorier tous les pays de n'importe quelle carte sans que deux pays voisins n'aient la même couleur. Le problème est capital car dans le cas contraire on ne pourrait plus distinguer ces deux pays après coloriage. Il pensa que quatre devait être suffisant. Beaucoup de mathématiciens prirent aussi leurs crayons de couleurs et se mirent d'accord sur le nombre : 4 doit convenir mais ils ne s'accordèrent qu'à moitié sur la preuve car celle-ci faisait intervenir un bien étrange "personnage": un ordinateur. Bref après quelques guéguerres internes sur le style, l'incontournable boite aux quatre crayons nécessaire pour colorier toutes les cartes planes imaginables de l'univers s'appelle désormais "Théorème des quatre couleurs".

Malgré  la difficulté de la preuve et des conversations qui lui étaient associée, les mathématiciens s'ennuyaient un peu. C'est ainsi qu'en 1950, un certain Edward Nelson, agé de seulement 18 ans, lança un autre coloriage encore en vogue pour les occuper.

D'un air sans doute amusé, il soumit à la communauté, le petit problème suivant :

Combien faut-il de couleurs différentes pour colorier chaque point du plan, de façon que deux points distants d'une unité n'aient pas la même couleur?

Si les mathématiciens étaient troublés, ce n'était pas parce qu'ils se demandaient avec quel type de crayon ils allaient réaliser cet étrange travail mais plutôt pourquoi est-ce qu'ils avaient seulement réussi à démontrer qu'il fallait au moins 4 couleurs et au plus 7 pour réaliser cette activité presque manuelle? Ils ne parvenaient pas à donner le nombre exact de couleurs minimal dont ils avaient besoin pour colorier les points du plan avec cette contrainte: 4,5,6 ou 7?

Alors d'où vient la difficulté? Certainement de la théorie des ensembles à laquelle on peut adjoindre différentes versions de l'axiome du choix ou au contraire  l'en priver.

L'axiome du choix dit qu'il est possible de prélever des éléments d'ensembles différents et de construire un autre ensemble. Si l'idée parait simpliste lorsque les ensembles sont finis, elle ne l'est pas lorsqu'ils deviennent infinis.

Bertrand Russel, nous donne une vague idée de ce que peut-être l'axiome du choix au quotidien :

Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

• Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
• Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

Cet axiome du choix est vraiment un élement trouble-fête. Il avait déjà permis à un étrange mathématicien peu scrupuleux de s'enrichir.

Il s'est aussi mis sur le chemin de deux mathématiciens Soifer et Shelah qui parvinrent à démontrer qu'en utilisant deux versions différentes de cet axiome, il fallait pour résoudre le même problème de coloriage, soit 2 couleurs, soit une infinité! C'est le grand écart.

Tout cela pour vous dire que les mathématiciens ont vraiment des "gros problèmes de coloriage"!

Inspiré de - Coloriages irréels - Complexités de Jean-Paul Delahaye aux éditions Pour la Science

Pour compléter sur l'axiome du choix :

Du choix dans la dissection -  sur le blog Choux romanesco et intégrale curviligne