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Livres et citations - Page 5

  • Un défi de taille pour l'éducation

    Un défi essentiel pour l'éducation est donc de prendre en compte la manière dont les gens réussissent à contourner tout besoin d'encodage formel des situations en se fiant à ce que leur disent leurs catégories familières, construites pendant des années d'interactions quotidiennes avec le monde qui les entoure. Si tout enseignant a parfaitement conscience que l'"habillage" d'un énoncé peut modifier profondément sa difficulté, le défi de faire de l'habillage un levier d'apprentissage doit encore être relevé. L'enjeu est de taille, et le défi loin d'être simple.

    Cette citation est extraite de l'excellent livre L'Analogie Coeur de la pensée de Douglas Hofstadter et d'Emmanuel Sander.

    Elle conclut en page 523, un paragraphe qui aborde l'énoncé de deux problèmes dont les opérations et le résultat sont identiques. Seulement le premier est résolu par presque tout le monde avec trois opérations, alors que le second en appelle généralement une seule. Les auteurs y voient une différence d'encodage de la situation qui aboutit in fine à une différence sensible de traitement.

    Testez par vous-même en résolvant les deux problèmes suivants:

    Premier problème:

    Laurent achète une trousse à 7 € et un classeur. Il paie 15 €. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 € de moins que Laurent. Combien coûte l'équerre?

     

    Second problème:

    Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s'est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s'est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse?

     

    Le schéma pour le problème des achats est naturellement associé à un diagramme de Venn. Il incite à calculer le prix du classeur, achat commun aux deux, avant de répondre à la question posée.

    Le schéma pour le problème de la danse est plutôt un axe temporel dont l'origine serait la date de début des cours. Il suffit donc de s'imaginer la différence des durées des deux cours pour répondre à la question.

    La structure commune serait celle de deux rectangles de même base (correspondant à l'origine des prix ou des âges), superposés et de hauteurs différentes, dont une partie serait commune (le prix du classeur ou l'âge auquel Jeanne (et Laurence) ont commencé à faire de la danse. 

    Les deux problèmes peuvent être résolus avec la même opération 7-3. Il est donc faux de penser que la difficulté d'un problème est celle de la difficulté du calcul qu'il mobilise. Elle est en partie due à l'encodage de la situation qui impacte directement sur la résolution du problème.

  • La rugosité fractale de l'apprentissage

    En décembre 2010, je publiais sur le Wiki que j'avais initialement destiné à des cours de mathématiques interactifs, un article intitulé "l'apprentissage fractal".

    L'idée était alors, que les besoins d'apprentissage de l'apprenant (par nature non identifiés précisément puisque leur regroupement est souvent hétérogène), ne coïncidaient que très rarement sur le long terme avec les séquences d'enseignement. L'optimisation me semblait donc possible en "fractalisant" les séquences d'enseignement. Pour cela il suffisait de respecter temporellement les trois principales phases de l'apprentissage (découverte et automatisation, fonctionnement et méthodes, synthèse et liens) en leur ajoutant une dimension fractale, c'est à dire en redécoupant chacune de ces trois phases par les trois autres. Une méthode d'enseignement fractale voit ainsi le jour faisant intervenir sciemment une certaine verticalité locale et globale des contenus ainsi qu'une diversification des approches. J'avais créé une petite animation en considérant un enseignant décrivant successivement ces trois phases au contact d'un étudiant aux besoins d'apprentissage non définis. 

    L'apprenant et ses besoins d'apprentissage est au milieu, le professeur "non fractalisé" en haut, et le professeur "fractalisé" en bas:

     

    fractale2.GIF

    L'apprenant possède ici des besoins équilibrés, le professeur du haut est plutôt "binaire" (présentation des notions - concepts évolués), ne laissant que peu de place à un enseignement intermédiaire. La "fractalisation" (en bas) de l'enseignement optimise en moyenne les contacts d'apprentissage.

    Il est sans doute possible d'aller un peu plus loin dans ce modèle, en faisant intervenir la nature fractale des besoins d'apprentissage et en ne considérant plus seulement qu'ils se délimitent à trois phases temporelles clairement identifiées.

    Cette rugosité fractale entre d'ailleurs dans le langage courant en disant par exemple que les savoirs glissent, que l'enseignant n'a pas de prise, ou qu'au contraire l'élève capte intégralement le discours du professeur, accrochant ainsi tout ce qu'il trouve sur son chemin. D'une surface modélisée comme lisse à une surface accrochant jusqu'aux concepts les plus abstraits ou complexes, le paysage fractal de l'apprentissage peut trouver sa représentation aussi bien dans un lisse bourgeonnement que dans un système montagneux qui retient tout au passage. Le bourgeonnement peut s'avérer lent ou rapide, et la montagne friable ou granitique.

    Dans tous les cas l'image d'un frottement entre l'apprenant et l'enseignant, apparaît. Toutes les rugosités d'enseignement ne peuvent fonctionner sur celles de tous les apprentissages. La diversité semble donc bien être la base de l'optimum recherchée. Cette diversification se fait, non pas sur les contenus (progression spiralée par exemple, dilution), mais sur les approches!

     

    Von_Koch_curve.gif

     

    Cette notion de rugosité d'apprentissage et de glissement est à définir. On pourrait peut-être s'imaginer une diminution de cette rugosité au fur et à mesure que l'on itère la construction fractale. En effet, les concepts abstraits peuvent être considérés comme très saillants, alors que l'approche concrète serait plus douce et donc de grain plus fin. L'analogie mécanique s'arrête donc là et celle du langage courant aussi (personnage grossier par exemple). Les surfaces d'apprentissage et d'enseignement sont d'autant plus adhérentes l'une à l'autre qu'elles sont au même degré de "fractalité", au même nombre d'itérations. Nous voyons ici que l'objectif d'apprentissage optimal serait celui associé à la première itération, ou même à son absence. L'objectif recherché par tout pédagogue, serait que chaque élève accède à la "simplicité" d'apprentissage du premier flocon, symétrique et triangulaire, comme une dent acérée dévorant toute difficulté conceptuelle. Le flocon neigeux fortement itéré, serait quant à lui synonyme d'éloignement, de "trop plein de", d'affectif, d'immédiateté, etc...

    L'analogie précédente possède l'avantage de sortir les difficultés d'apprentissage de l'ornière de la notion de manque et d'insuffisance, et de les ramener vers une "géométrie" de la surface, pour laquelle l'enseignant pourrait construire un outil, une sorte de râpe dynamique dont il ferait varier le grain, la vitesse de passage et la force d'appui.

    Les stratégies de remédiation, de soutien offertes par le système se trouvent de facto remplacées par des stratégies d'adaptation à la surface, de modification du terrain, et de quantification fractale. C'est sans doute ce qui est fait aujourd'hui pendant ces heures dites "différenciées", "individualisées", "personnalisées", mais la notion de manque à combler a disparu ici, pour laisser place à celle de matière à "travailler" en remplaçant une granulosité fine par une autre qui le serait moins, au moins localement.

    Les difficultés d'apprentissage (fractalité fine et peu profonde, aspect globalement poli et localement rugueux) ne devront se trouver en contact qu'avec une forme d'enseignement similaire, au moins jusqu'au déclenchement de la modification durable de la géométrie. Un angle trop saillant... et c'est l'accroc!

    Un profil qui conceptualise et abstrait très rapidement pourra se trouver en contact avec un profil d'enseignement plus "abrupt". Il reste impératif de ne pas confondre, compréhension et restitution. Combien d'élèves possèdent un profil d'apprentissage donné mais avec une restitution ou une compréhension profonde plus difficiles. La géométrie de la surface d'apprentissage, doit aussi tenir compte de l'impératif de restitution sous une forme imposée (langage, écrit, processus, graphique, analogie....).

    Ce qui me parait intéressant dans cette histoire, c'est la généralité de cette approche à tous les profils. J'ai aussi trouvé une modélisation fractale (au niveau des besoins d'apprentissage), dans la littérature : "Identifier des besoins d'apprentissage" par Valérie Barry, qui enseigne dans les formations pour l'adaptation scolaire et la scolarisation des élèves handicapés. Je n'avais pas lu le livre lorsque j'ai construit les premières marches de mon idée d'apprentissage fractal (le livre est sorti en 2011 !). Ceci me laisse à penser que la piste "fractale" a le mérite d'être explorée. J'ai pour ma part en face de moi, un public relativement favorisé, socialement comme scolairement, ce qui ne m'empêche pas de voir des élèves en difficultés dans leur parcours et dans leurs apprentissages. J'ai développé de mon coté cette approche auprès d'élèves qui feront tous, pour la plupart, des études supérieures longues. Elle semble aussi pouvoir être pertinente pour aborder les difficultés d'apprentissage.

    Je vais donc tenter d'affiner mes réflexions et de faire varier la rugosité de ma râpe pédagogique à l'avenir, afin de trouver encore quelques leviers intéressants.

    C'est en écoutant une conférence de Serge Boimare que m'est venue cette image de la râpe fractale, que l'on pourrait qualifier d'outil-problème plus que d'outil-solution pour reprendre une expression du livre de V. Barry.

    J'écoutais Serge raconter comment il attaque méthodiquement, avec une voix douce et des contes, l’extrême dureté de l'intellect des enfants qu'il a devant lui, et qui ne lui offrent que très peu de prise, même pas de rester dans la classe. Alors tous les jours, inlassablement sans doute, faut-il effectuer la même démarche avec des outils de fine rugosité, sans lasser, sans trop appuyer afin de faire naître quelques aspérités plus marquées à la surface de ces apprenants difficiles, ou faire apparaître une surface dépolie, sur lesquelles on peut commencer à construire, à abstraire, à modéliser, à anticiper. Dès ses premiers mots les difficultés d'apprentissage ne sont plus vues comme un manque, mais comme un empêchement de penser, et je rajoute comme si il y avait une gangue à élimer avant de trouver un terrain plus tendre. L'outil s'adapte au fil des jours, synchronisé sur l'état des apprenants. Alors à petit pas certainement, l'apprentissage dessine quelques formes plus vastes, vite recouvertes par les premières feuilles qui tombent mais laissant, au hasard des jours, une base sur laquelle il est sans doute possible de s'appuyer un peu pour poursuivre le travail. 

    Afin de ne pas commettre de contresens sur la rugosité d'apprentissage et d'enseignement, je tiens à préciser que, pour moi, cette rugosité est d'autant plus marquée que l'itération du processus fractal est faible. Ainsi, le premier triangle du flocon de Von Koch, constituerait pour moi un profil très grossier et donc très accrocheur, alors que les itérations successives montrent un adoucissement de la "saillance". Dans le schéma suivant, le profil d'apprentissage le plus difficile est celui qui est en haut. Il correspond à une rugosité fine et à un nombre d'itérations important. Celui du bas est au contraire très "coupant", et peut être mis au contact d'une forte conceptualisation. L'apprentissage est ici vu comme un acte d'épure avant d'être considéré comme celui d'un remplissage, qui s'avère être secondaire, et non entravé dès que le profil requis est atteint. 

     

    vonkoch.jpg


    Cette modélisation a le mérite d'introduire une image plus réelle de la réalité de l'apprentissage qui voit les freins comme un recouvrement, un rapprochement du concret et de l'affectif. En ce sens le "bon apprenant" est déjà celui qui a su faire un chemin inverse de dé-itération et non pas de remplissage, comme on l'imagine usuellement. La symbolique de l'apprentissage est donc renversée puisqu'il est plus question ici d'épure et de vide, que de remplissage, ce dernier ne survenant que lorsque la géométrie de surface de l'apprenant coïncide avec celle de l'enseignant.

    En écrivant ces lignes, je m'aperçois aussi que cette modélisation "colle" avec mon expérience, celle de constater la présence d'un brouillard affectif pouvant avoir raison de tout apprentissage, et aussi de la nécessité du travail sur cette porte d'entrée pour tout apprenant en difficulté et ceux en bas âge. C'est aussi sans doute pourquoi, l'anxiété d'apprentissage prend souvent la forme de la mise à nu, de l'invasion intérieure, de la perte de défense chez les plus fragiles. 

    Ainsi donc à tous les stades de l'apprentissage et quelque soit le profil de l'apprenant, la modélisation fractale semble ouvrir un champ symbolique et conceptuel dont il serait dommage de se priver. Reste sans doute quelques recherches à faire, à quantifier et sans doute un vocabulaire à affiner...

     

  • La formule secrète ou le duel mathématique qui enflamma l'Italie

    51llqwAPj7L._.jpgpar Fabio Toscano, traduit de l’italien par Sophie Lem.
    Belin-Pour la science, août 2011.
    182 p. en 14,5 x 22,5.

    Le détail des chapitres.

    La quatrième de couv.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Je vous conseille la lecture de cet excellent livre mettant en lumière l'incroyable combat liant les trois principaux algébristes italiens Tartaglia, Cardan et Ferrari.

    Ce livre est aussi tout a fait accessible à des lycéens à partir de la première. Il ne contient que très peu de formalisme mathématique et peut être lu dès lors que la notion de résolution d'équations polynomiales est comprise.

    Un court extrait (p 147):

    Dans une incroyable escalade de violence verbale, le jeune Bolonais (c'est Ferrari) accable Tartaglia d'épithètes injurieuses, le traitant d' "homme bestial", de "diable", de "tête de vipère".

    On découvre dans ce livre, la vieille tradition des duels mathématiques dont l'objectif est de garder le plus longtemps l'avantage l'adversaire sans trop se découvrir. Les manipulations sont légion et tous les coups ou presque sont permis pour sauvegarder son prestige, synonyme de notoriété et donc de rémunération. Il est aussi question de paternité des découvertes, de légitimité des publications et bien sûr de talent mathématique.

    L'auteur cite dans le livre (p 22) l'un des plus célèbres duels qui porta sur des sujets philosophiques, physiques et mathématiques. Il opposa en 980, le jour de Noël, l'érudit français Gerbert d'Aurillac, qui deviendra le premier pape français en 999, à l'allemand Otrich Von Magdebourg.

    C'est à Ravenne en Italie que se rencontrèrent les deux hommes. Otton II, à la nuit tombée, déclara la victoire du français.

     2012-07-21 14.55.27.jpg

     Mosaïque à Ravenne

     

  • Faites-le!... Soyez heureux.

    Ce que j'aime dans la lecture n'est pas de me retrouver plongé dans un univers mais de pouvoir sortir de l'un pour entrer dans un autre. Lire l'un à la lumière de l'autre et réciproquement ou lorsque le nombre dépasse deux, je dirai combinatoirement. Alors je zappe, mais contrairement au flux télévisuel qui ne cesse, le livre fermé ne se lit pas tout seul, ni la revue. Alors je reprends à l'endroit où j'étais mais pas tout à fait le même. Un peu transformé, un peu interpellé.

    Que se passe-t-il lorsque je lis ensemble Marek Halter - Faites-le et le dernier numéro de Sciences Humaines. Pourquoi ai-je choisi le premier? Je ne sais pas trop. Sans doute un titre dirigé vers l'action plus que vers la réflexion abstraite. Pour la revue c'est simple j'y suis abonné.

    Et je lis tour à tour...

    Il est plus facile, cher Monsieur Diderot, d'écrire sur une feuille de papier qui supporte tout que sur la peau qui ne supporte rien. Louis XIV.

    Nous sommes tous embarqués. Pascal.

    Les choses tournent mal dès que l'on oublie de se parler. Marek Halter.

    Sans pouvoir identifier clairement les causes de cette mélancolie (je rajoute: française), la chercheuse (je rajoute: Claudia Senik) pense qu'elle pourrait être le fruit d'une expérience malheureuse de l'école. L'élitisme du système scolaire français, son obsession du classement et des disciplines "reines" favoriseraient une image de soi négative chez beaucoup d'élèves faiblement ou moyennement performants. Un malheur que les français garderaient tout au long de leur vie. X. Molenat - Sciences Humaines - Juillet 2013.

    Quand je dis faites-le! Beaucoup s'imaginent qu'il suffit de vouloir pour pouvoir. Ils oublient le troisième volet: le travail. Pour atteindre l'objectif que l'on se donne, il faut bien sûr entreprendre mais surtout travailler, multiplier les efforts, établir une stratégie. Marek Halter.

  • Bruno est décédé

    bruno.jpgLa communauté des blogueurs de maths francophones est très réduite et n'est composée que de quelques adeptes qui se comptent sur les doigts des deux mains. Bruno Kostrzewa était l'un d'entre nous et il nous manquera, à nous et aux mathématiques. Il vient de nous quitter, le 23 décembre 2012, bien trop tôt, à l'âge de 57 ans, emporté par la maladie.

    Si notre activité n'est pas encore bien reconnue ni comprise, elle le sera sans doute, lorsque comme aujourd'hui, dans un moment de douleur, ou de joie, viendront se faire jour les contributions de chacun, mettant ainsi en lumière notre passion quotidienne.

    Lorsqu'en 2008, Didier Müller, Le Coyote, nous demandait: Des blogs de math, pour quoi faire? Voilà ce que Bruno répondait:



    Nous vivons dans un environnement numérique qui exerce une grande influence dans de nombreux domaines. Or, les mathématiques qui sont devenues indispensables pour permettre un bon fonctionnement de notre société technologique, sont quasiment absentes de cet environnement. On ne les rencontre qu'à de trop rares occasions. "Blog à maths" a été créé pour réagir à cet état de fait en mettant chaque jour en évidence un petit bout de culture mathématique qu'on peut trouver sur Internet. Evidemment culture mathématique doit être pris au sens large: actualités, mathématiciens, textes divers, livre, pédagogie, curiosités... Cela s'adresse aux personnes plus nombreuses qu'on ne le croit, qui ont réussit à garder une image positive des mathématiques, en y voyant un jeu, plutôt qu'un torture de l'esprit.

    Les mathématiques sont toujours vivantes, pleines de vitalité, susceptibles de nous aider à mieux comprendre notre monde, mais aussi de nous proposer des défis purement intellectuels. Voilà depuis plus d'un an ce que j'essaie modestement de montrer à tarvers ce blog.

    Le mercredi 13 juin 2007 à 18 h 03, naissait le premier billet de "Blog à maths" écrit par Bruno intitulé "Bonjour". Il écrivait:

    Ce blog à maths est destiné à garder une trace de mes découvertes sur internet concernant les Mathématiques, qu'il s'agisse de sites, de documents ou de pages intéressantes.
    Il est un complément du site Labomath qui contient des outils de calcul et de dessin, des activités diverses, ainsi que des cours et des exercices pour le lycée.

    Blog à Maths est réalisé à l'aide de Simple PHP Blog.

    A peine 20 minutes plus tard, un second billet reprenait déjà un article de Techno-Sciences, sur la résolution des Sudoku à l'aide de la théorie des graphes. 

    Bruno alimenta ainsi Blog à Maths (Archives du blog) jusqu'au samedi 13 juin 2009 où il intitula son billet "Merci et au revoir" après avoir écrit un billet humoristique sur les Ig Nobels de Mathématiques.

    the-end.jpgIl y a exactement 2 ans, le 13 juin 2007, paraissait le premier billet de Blog à Maths, intitulé "Bonjour". 
    J'étais loin d'imaginer à ce moment là tous les développements qu'allait connaître ce blog. Et surtout le rôle thérapeutique qu'il allait avoir; j'ai du faire face à de gros problèmes de tuyauterie cardiaque et le fait de chercher une note quotidienne pour le blog m'a permis de m'évader dans le monde imaginaire des mathématiques. Je suis revenu à une vie à peu près normale, au moins au niveau professionnel, et je pense que je n'aurai plus le temps de faire vivre ce blog. J'espère simplement que la période des vacances scolaires me laissera le temps de transformer Blog à Maths en un Almanach mathématique, pour le mois de septembre.
    A tous les lecteurs, fidèles ou occasionnels, de Blog à Maths, je dis aujourd'hui merci, et au revoir.

    Bruno n'avait pas vraiment abandonné ses publications numériques, loin de là, même s'il s'était retiré du blogging quotidien, au sens où nous l'entendons et qu'il a décrit précédemment, il n'en a pas moins transformé "Blog à maths" en "Almanach mathématique". 

    Il présente tous les jours, un ou plusieurs mathématiciens, dont c'est l'anniversaire de la naissance ou du décès. Aujourd'hui 4 janvier, Newton mort en 1752 et Cramer né en 1643 sont à l'honneur. Mais il n'a pas voulu laisser nos mathématiciens tous seuls... dans leur tour d'ivoire sans y adjoindre à chaque jour de l'année, l'idiomathique du jour, pleine dhumour et de jeux de mots...

    Ainsi blog à maths à cessé au milieu de l'année 2009, mais il a fallu que Bruno imagine et écrive 365 billets articles et idiomathiques pour permettre à l'Almanach de fonctionner perpétuellement.

    Pour celles et ceux qui ne connaissent pas les idomathiques, il s'agit de prendre un concept mathématique et de le transporter avec un jeu de mots, une consonnance similaire ou une analogie, dans un autre domaine que celui des mathématiques.

    Par exemple, le concept des entiers naturels (0,1,2,3,...)  se retrouve tout "naturellement" au centre de la problématique écologique avec l'idiomathique d'aujourd'hui:

    Les écologistes sont férus d'arithmétique, ils étudient les entiers naturels.

    Et pour n'en citer que quelques unes prises au hasard:

    La menthe est une plante aromathique qui favorise le calcul menthal.

    Les amatheurs de mathématiques sont-ils trop mathisés ?

    Un climathologue a toujours le temps pour faire ses calculs.

    Parmi les quatre évangiles canoniques, les mathématiciens chrétiens préfèrent celui de Matthieu.

    Vous pouvez toutes les retrouver une à une, en parcourant le calendrier sur la droite du blog.

    Blog à maths et l'almanach mathématiques n'ont pas été les seules productions de Bruno.

    Il a commencé avant l'ère du Web 2.0 par Labomaths, un portail numérique dirigé vers les élèves, il a créé ensuite l'un des tous premiers portails mathématiques Netvibes,  puis Livraison Mathématique, une bibliothèque virtuelle mathématique et enfin @mathoscope, un fil d'actualité twitter sur les mathématiques. Nous pouvons retrouver les liens de toutes ces contributions sur sa page personnelle.

    Mais le blogging devait sans doute lui trop chatouiller les doigts pour que ce jour du lundi 28 novembre 2011, il revienne avec le blog "Dans le collimatheur, le blog du Mathoscope" et un premier billet intitulé "Bienvenue". S'en suivront ensuite plus d'une vingtaine de billets toujours consacrés aux mathématiques, le dernier sur les mathématiques policières, date du 6 juillet 2012.


    Je suis certain Bruno, qu'au ciel des idées, là-haut,  tu auras toujours quelque chose à mather.


    Photo de Bruno publiée avec l'aimable autorisation de la famille.

    Ajout du 22/01/2013: Contributions à l'APMEP