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Inclass@blεs Mathématiqu€s - Page 3

  • Il n'existe que 15 pavages pentagonaux possibles

    Recouvrir une surface plane avec un motif unique est un problème mathématique qui intéresse l'Homme depuis l'Antiquité, notamment pour la qualité esthétique des pavages, comme les mosaïques et les carrelages. L'un des problèmes encore ouvert dans ce domaine, qui questionne la communauté scientifique depuis 1918, est aujourd'hui définitivement clos grâce à Michaël Rao du Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1) : en utilisant des outils informatiques, il a démontré que pour des motifs à cinq côtés, seules 15 formes sont possibles pour recouvrir une surface plane. Ces travaux sont aujourd'hui disponibles sur le site Arxiv.org.

    Pour recouvrir un sol avec une seule et même forme, il existe de nombreuses solutions : triangles, carrés, rectangles, hexagones, etc. La recherche exhaustive de toutes les formes convexes pouvant paver un plan, c'est-à-dire une forme avec des angles inférieurs à 180° et qui permettent de recouvrir tout un mur sans chevauchement, fut initiée par Karl Reinhardt durant sa thèse en 1918. Il a montré que tous les triangles et quadrilatères pavent le plan, qu'il n'existe que 3 types d'hexagones qui permettent de réaliser un pavage et qu'un polygone à sept côtés ou plus ne permet pas de recouvrir un plan. Seule la question des pentagones restait ouverte. 

    De 1918 à 2015, 15 types de pentagones ont été découverts, lors de recherches plutôt singulières : initiée par Reinhardt en 1918, elle a subi plusieurs rebondissements, comme des nouvelles découvertes de mathématiciens amateurs, jusqu'à l'annonce médiatisée, en 2015, d'une nouvelle et 15e forme, 30 ans après la 14e, sans que la communauté scientifique ne parvienne à déterminer s'il existait encore d'autres formes de pentagones possibles pour paver un plan.

    Michaël Rao, chercheur du CNRS au Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1) a aujourd'hui définitivement montré qu'il n'existe qu'un ensemble fini de familles1 de pentagones à considérer. En générant toutes les possibilités via un programme informatique2, Michaël Rao a montré que 371 familles de pentagones pouvaient potentiellement recouvrir un plan. Il a ensuite testé chacune de ces familles, à l'aide d'un autre programme informatique, et a montré que seuls 19 types de pentagones satisfaisaient les conditions nécessaires, à la fois pour les angles et la longueur des côtés, pour paver un plan. Parmi ces 19 types, 15 correspondent à des types déjà connus, et les quatre autres s'avèrent être des cas particuliers de ces 15 types. Seuls 15 types de tuiles sont donc possibles pour un recouvrir une surface plane.

    Avec sa méthodologie, Michael Rao clôt ainsi un problème vieux d'un siècle, mais pas seulement. Toutes les tuiles convexes pavent le plan de façon périodique (c'est-à-dire que le pavage se répète à l'infini). On ne sait pas encore s'il existe une tuile qui permet de réaliser un pavage non-périodique. Or, la plupart des techniques utilisées ici peuvent également être utilisées dans le cas des polygones non convexes et pourraient donc servir de base à la résolution de cet autre problème encore ouvert dans le domaine des pavages, plus connu sous le nom d' « Einstein Problem » (de l'allemand « ein stein »).

    Les 15 types de pavages pentagonaux et leurs 4 types particuliers.

    © Michaël Rao, Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1).

    1 Une "famille" est un ensemble de conditions portant uniquement sur les angles du pentagone. 
    2 L'exhaustivité de cette liste a également été revérifiée, de manière indépendante, par Thomas Hales qui a notamment prouvé la conjecture de Kepler par ordinateur.

    Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane. Michaël Rao, disponible sur Arxiv.org, arXiv:1708.00274 (https://arxiv.org/abs/1708.00274)

    Deux, deux minutes pour classer les pavages

     

  • Le temps comme une longueur de courbe

    Amaury Pouly reçoit le prix Ackermann qui récompense chaque année au niveau européen une thèse exceptionnelle dans les domaines de la logique et de la science informatique. Ses travaux, qui reposent sur la comparaison des modèles théoriques analogiques et digitaux, proposent une nouvelle vision de la complexité algorithmique, considérant le temps nécessaire à la résolution d’un problème comme la longueur de courbe d’une équation différentielle. Ces apports offrent un nouvel éclairage sur une problématique fondamentale en informatique théorique.

    P = NP. Cette affirmation ne vous dit rien ? Elle est pourtant au cœur de l’informatique théorique, et la résolution de cette problématique aurait des conséquences très importantes dans notre vie quotidienne ! Pour bien comprendre cette question fondamentale, il faut revenir aux sources de l’informatique théorique, cette discipline qui cherche à mesurer l’efficacité des algorithmes à partir du nombre de pas de calcul (petites étapes de calcul) nécessaires pour résoudre des problèmes. En étudiant un modèle théorique des ordinateurs, symbolisé par la machine de Turing, les chercheurs ont pu ranger les problèmes en plusieurs classes. Parmi ces catégories, distingue traditionnellement les problèmes que l’on peut résoudre dans un temps appelé polynomial (la classe dite P), ce qui signifie dans un temps efficace ou du moins acceptable, et les problèmes dont on peut vérifier les solutions lorsqu’elles sont trouvées en temps polynomial (classe dite NP). Ces deux classes de complexité sont définies de manière différente et la question de savoir si ces deux classes sont effectivement distinctes est centrale pour un nombre très important d’outils numériques. C’est le cas notamment de la cryptographie. En effet, chiffrer des informations demande de s’appuyer sur des problèmes impossibles à résoudre par des attaquants. Mais comme les chercheurs ne sont pas certains que cette distinction existe réellement, potentiellement tous les problèmes pourraient être un jour résolus dans un temps polynomial grâce à un outil mathématique non encore découvert ! 

    La suite sur le site du CNRS

  • Faire entrer la terre dans une balle de ping-pong: une transformation "lisse et fractale"

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    Un globe terrestre isométrique

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    Crédits des images et vidéos : E. Bartzos, V. Borrelli, R. Denis, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert

     

    Dans les années 1950, Nicolas Kuiper et le prix Nobel John Nash ont démontré l’existence d’une vaste classe d’objets mathématiques paradoxaux tels que des tores plats en 3D ou des sphères réduites, sans pouvoir toutefois les visualiser. Une équipe de mathématiciens et d’informaticiens du CNRS, de l’Université Grenoble Alpes et de l’Université Claude Bernard Lyon 11, a réussi à construire et représenter visuellement une sphère réduite, cinq ans après avoir obtenu la première image d’un tore plat en 3D2. Les sphères, connues pour être rigides, ne peuvent pas être déformées isométriquement3, c'est à dire en préservant les longueurs des courbes, avec une régularité de classe C2. En se basant sur la théorie mathématique de l’intégration convexe4, les chercheurs sont parvenus à placer une sphère à l'intérieur d'une boule de rayon arbitrairement petit. Si l'on assimile la surface de la Terre à une sphère ronde, cette théorie permet de réduire son diamètre à celui d'un modèle réduit de globe terrestre ou d'une balle ping-pong tout en préservant les distances géodésiques5. La surface obtenue, très déformée, se compose de deux calottes sphériques, parfaitement lisses, connectées par une bande équatoriale fortement déformée. Les chercheurs montrent que ce changement de structure géométrique est similaire à celui observé lorsqu'on relie une courbe de von Koch à un segment de droite (voir figure 3). Ces résultats ouvrent des perspectives inédites en mathématiques appliquées, notamment pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles. Les étonnantes propriétés des fractales lisses pourraient également jouer un rôle central dans l'analyse de la géométrie des formes. Leurs résultats ont été publiés dans la revue Foundations of Computational Mathematics, le 6 juillet 2017.

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  • Les sciences au coeur d'une série policière lancée par des collégiens, c'est sur You Tube

    Gilles Gourio, professeur de mathématiques dans un collège d'Avoine en Indre-et-Loire a lancé avec des élèves de 4eme et de 3eme, une série policière. Intitulée « L'Affaire Nicolas Falmel », la série compte 10 épisodes, dont 6 sont déjà en ligne sur la chaîne Youtube du groupe, Scienticfiz

     

     

    L'article complet de France Val de Loire

     

  • Art et maths

    Abstraites par nature, les mathématiques nous font entrer dans une nouvelle dimension avec l’exposition «Esthétopies», de l’Institut Poincaré à Paris. Le mathématicien Pierre Berger propose un ensemble d’installations visuelles et sonores qui sont autant d’espaces inconnus à explorer, tirés de la géométrie non euclidienne. Une expérience sensible et inédite, à découvrir jusqu’au 8 juillet.

     


    Quand les maths deviennent œuvres d'art par CNRS