Pour résoudre numériquement certains problèmes, il faudrait qu'un ordinateur aussi grand que l'univers travaille pendant
un temps supérieur à l'âge de l'univers !

Ces problèmes sont malgré tout THEORIQUEMENT résolubles.

La taille et la vitesse des ordinateurs sont limitées par des propriétés intrinsèques de l'univers.

En effet un ordinateur:
ne peut pas être plus grand que l'univers lui-même dont le diamètre est inférieur à cent milliards d'années-lumière ( ça fait déjà un bel ordinateur ! ),
il ne peut pas être composé de cellules élémentaires plus petites que la taille d'un proton ( qui n'est pas bien gros ! ) et
il ne peut pas transmettre un signal plus rapide que celui de la lumière ( ça c'est assez rapide !) .

Supposons que cet ordinateur existe
( c'est beau l'imagination ! ).

Nous le nommerons même ORDINATEUR PARFAIT.

Je répète ( déformation professionnelle ) , l'ordinateur parfait ( il n'y en a qu'un, vu sa taille...) est celui qui fait la dimension de l'univers ( attention, vous êtes à l'intérieur ), dont les cellules sont plus petites que des atomes et sont des protons ( non seulement il est gros mais en plus il "pèse" lourd) et dont l'information circule à la vitesse de la lumière.

Ces limitations font qu'un tel ordinateur aurait 10¹²⁶ ( soit un 1 avec 126 zéros derrière: 1 000 000 000... ) cellules élémentaires -  l'univers contiendrait environ 10⁸⁰ atomes à titre de comparaison.

Des mathématiciens ( des gens très spéciaux qui n'ont rien d'autre à faire que de s'occuper de ce type de problèmes...) ont montré qu'il existait des problèmes mathématiques dont on est certain, quelque soit le programme utilisé (cette remarque est capitale ), qu'ils feraient travailler l'ordinateur idéal pendant plus de 20 milliards d'années, temps supérieur à l'âge de l'univers.

Ces mêmes mathématiciens en ont déduit que ces problèmes étaient INTRAITABLES, parce qu'ils ont sans doute considéré que de construire l'ordinateur idéal, alors que l'univers était en plein Big Bang, et créer un programme suffisamment long pour le faire tourner pendant plus de 20 milliards d'années, était hautement improbable.

Texte librement adapté dans le style mais pas dans le fond d'un article de " Pour la science "

Beaucoup de personnes connaissent cette expression, mais peu en connaissent le sens exact. De quoi s'agit-il ?

C'était, il n'y a pas si longtemps, l'un des plus grands problèmes de mathématiques ( plutôt inutile ! mais symboliquement fort ), celui que tous les mathématiciens amateurs ou professionnels révaient de résoudre. On connait aujourd'hui la réponse à ce problème, elle est négative.

Et quel est-il ?

Il est impossible de construire avec seulement une règle non graduée ( pour tracer des droites ) et un compas ( pour tracer des cercles et reporter une mesure ), un carré ayant la même aire qu'un cercle ( disque ) donné.

Comme beaucoup d'autres problèmes mathématiques,  celui de "la quadrature du cercle" trouva une réponse négative.


Pour un petit historique et quelques "Récréations mathématiques" je place ici le lien correspondant du Tome 2 des "Récréations mathématiques" de E. Lucas : ICI, une mine d'or pour les passionnés.

Les 3 tomes sont disponibles sur Gallica.

Un diaporama sur le sujet et trois autres "problèmes" mathématiques qui explique au passage le :
Pourquoi à la règle et au compas ? : ICI


Et laissons à Lucas, le dernier mot de cette note lorsqu'il cite Bacon ( pas Roger je pense ) à la fin du paragraphe :

Nous n'arriverons à quelque chose de définitif qu'après avoir longtemps vécu de provisoire. Mais ce provisoire ne nous fascinera pas, nous saurons qu'il n'est pas notre dernier but, et dans le champ de la science, les plus ardis travailleurs n'oublierons pas qu'il faut d'abord faire une première vendange.

De la quadrature du cercle au siècle des lumières: des amateurs mal éclairés ? ( PDF ) : ICI

Une analyse bibliographique de 3 pages ( PDF) du livre d'André Krop " La quadrature du cercle et le nombre Pi" : ICI

Bien qu'on puisse à la fois définir avec précision ce qu'est une suite aléatoire et donner une mesure de son caractère aléatoire, il est impossible de démontrer qu'une suite donnée est aléatoire.

Par exemple ( simplifié ) :
Il est impossible de montrer que la suite 3 5 6 2 2 est obtenue aléatoirement ou non en lançant, par exemple, un dé équilibré à 6 faces.