Inclassables Mathématiques Le blog 2.0

Même si je ne dispose pas des connaissances suffisantes pour émettre un avis sur le sujet, j'ai apprécié le billet de David Madore, certes très technique, De quoi parlent les mathématiques?, abordant la problématique du codage des mathématiques.

On y retrouvera les acteurs principaux que sont ZFC, Peano et Gödel.

J'adore....

L'histoire de Google commence à l'université entre les maths et l'informatique.

Vidéo trouvée sur : Descary.com

Les ordinateurs biomoléculaires, faits d'ADN et d'autres molécules biologiques, existent aujourd'hui seulement dans quelques laboratoires spécialisés. Néanmoins, Tom Ran et Shai Kaplan, deux étudiants qui développent leur recherche dans le laboratoire du Professeur Ehud Shapiro de l'Institut de Chimie Biologique, d'Informatique et de Mathématiques Appliquées ont trouvé une façon de rendre ces dispositifs microscopiques de calcul "conviviaux" en exécutant des calculs complexes et en répondant à des questions compliquées, comme rapporté dans l'article publié en ligne dans Nature Nanotechnology.

Shapiro et son équipe avaient déjà découvert en 2001 les 1ers ordinateurs à ADN programmables et autonomes, si petits qu'un milliard de ces systèmes est contenu dans une goutte d'eau. Trois ans plus tard, une nouvelle version de ces systèmes pouvait détecter des cellules cancéreuses dans une éprouvette et les détruire. En plus de pouvoir imaginer qu'un jour de tels dispositifs pourront être utilisés chez l'être humain, tels des nano-docteurs pouvant localiser et soigner les maladies, ces ordinateurs d'ADN pourront effectuer des millions de calculs en parallèle.

L'ordinateur biomoléculaire développé aujourd'hui suit la logique suivante : il est programmé avec une règle telle que "Tous les hommes sont mortels" et un fait tel que "Socrate est un homme". Lorsque l'on demande alors à l'ordinateur si Socrate est mortel, il répond correctement dans tous les cas. Parallèlement, l'équipe a développé un programme permettant la communication entre le langage de programmation classique d'un ordinateur et le code de fonctionnement de l'ordinateur à ADN. Pour parvenir à la réponse, différents brins d'ADN correspondants aux règles, faits et questions sont assemblés selon un processus hiérarchique par un système robotisé. Afin de visualiser la solution, des molécules naturellement fluorescentes ont été greffées sur certains brins d'ADN, avec une seconde protéine masquant l'émission de lumière. Une enzyme spécialisée est alors attirée sur le site de la réponse correcte, et "découvre" la molécule fluorescente, permettant ainsi la visualisation de la réponse.

Les ordinateurs biomoléculaires contenus dans ces gouttes d'eau ont pu ainsi répondre à des questions bien plus complexes en combinant différents fluorophores.

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/60785.h...

Trois jours de stage et six heures de train pendant lesquelles j'ai dévoré ce livre. Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de Philosophie 2007 décerné par l'Académie Française. Je ne connais pas les autres lauréats mais pour ce qui est de ce livre je pense que la philosophie a vraiment trouvé du grain à moudre pour quelques années dans ces métamorphoses numériques.

Au début du livre, j'étais en territoire connu mais j'ai déjà lu beaucoup de livres sur l'histoire des mathématiques alors j'ai pensé, tiens encore une histoire des maths. C'est vrai pour le tout début du livre mais la première partie est nécessaire à quiconque ne maîtrise par bien ce sujet afin d'introduire la logique des prédicats.

Et puis dès la cinquantième page, je vois apparaître mon copain Kant et ses jugements synthétiques à priori. Alors je commence à me dire que ça va cogner. On pourra d'ailleurs lire le documents suivant : La philosophie des mathématiques de Kant . Quel est le problème?

Kant propose deux types de jugements :

Analytique si une proposition est vraie par définition comme "un triangle à trois cotés".

Synthétique si la propostion est vraie sans que ce soit une définition. Par exemple "La terre a un satellite" . Ce jugement peut être a priori si on peut le concevoir dans la tête ou a poseriori s'il faut une intéraction avec la nature.

Les jugements analytiques semblent quant à eux exclusivement à priori.

Pour Kant le raisonnement se situe dans les jugements synthétiques à priori mais c'est là que ça coince par ce que ce n'est pas aussi simple que ça!

Le "simple", 2+2=4 pose problème. Frege va d'ailleurs montrer que 2+2=4 peut se déduire de la définition des nombres entiers et doit être classé parmi les jugements analytiques et non parmi les jugements synthétiques à priori.

On voit déjà poindre à l'horizon une problématique philosophique centrale concernant les mathématiques, leur constitution et leur évolution. Se constituent-elles au sein d'elles mêmes auquelles cas elles sont analytiques à partir des simples définitions. Relèvent-elles du jugement synthétique à priori ou doivent-elles aller chercher des éléments dans la nature pour se construire.

Il est inutile de vouloir répondre simplement à ces questions qui dépendent de l'évolution des mathématiques elles mêmes dont le pivot central est certainement la thèse de Church des années 30, affirmant l'identité entre la notion de calcul "informatique et la notion "commune " de calcul que nous avons.

En avançant encore un peu dans le livre on voit apparaitre l'idée selon laquelle Démonstration = Algorithme et puisque la thèse de Church nous donne Algorithme = Calcul, on a donc l'identité Démonstration = Calcul. Il devient donc nécessaire de distinguer les notions de démontrable et d'explicatif, ce qui est loin d'être facile pour les mathématiciens. La longueur des démonstrations est aussi abordée, avec par exemple la problèmatique suivante : Peut-on démontrer qu'un problème démontrable possède une démonstration "courte"?

Philosophiquement le sujet est dense!

D'autant qu'à la fin de l'histoire une surprise de taille nous attend avec un retour nécessaire à la nature... Mais je n'en dis pas plus.

Ce qui m'a aussi passioné dans le livre est le traitement du rapport du mathématicien et de la machine, de ce nouvel outil qui lui est maintenant indispensable. L'auteur s'interroge aussi sur le fait que l'ordinateur du mathématicien est le même que celui de Mme Michu, sauf bien sûr si les calculs sont vraiment très très longs et demandent un super-calculateur pour pouvoir être faits  en un temps "raisonnable". Il est intreressant de comprendre quelles est la place de l'ordinateur-machine à coté du mathématicien-humain.

J'ai extrait quelques courtes citations vers la fin du livre qui me semblent assez explicites sur les métamorphoses du calcul qui est le sujet du livre et donc des mathématiques elles-mêmes:

En 1976, les mathématiques sont entrées dans la période instrumentée de leur histoire. Les instruments utilisés par les mathématiciens, ne sont pas des instruments qui prolongent les facultés de nos sens, mais qui prolongent les capacités de notre entendement: notre faculté de raisonner et surtout, de calculer. ( p 182 )

L'utilisation d'instruments commence, de même à changer, les mathématiques. ( p 182 )

La maquette sur laquelle on fait l'essai est donc une machine à résoudre un problème mathématique,[...] (p 188)

L'entrée des mathématiques dans leur ère instrumentée incite donc, non à accorder une confiance excessive dans les instruments utilisés, mais à restreindre prudemment la confiance parfois exagérée, que nous avons en nous-mêmes: nous aussi nous pouvons faire des erreurs. (  p 191 )

Podcast de Gille Dowek sur le livre et sur Canal-Académie

Pour compléter :

Des p'tits problèmes de coloriage ( autour du théorème des quatre couleurs)

Hier j'ai eu une conversation très enrichissante au sujet des TICE (il parait que maintenant on dit TUIC le U étant pour usuelles) dans l'enseignement et particulièrement de leur usage dans les mathématiques. Vous pouvez retrouver les traces du texte initial et de la conversation qui s'en est suivie ICI.

Je ne vais pas développer une seconde fois mon argumentaire et mon analyse qui allait dans le sens d'une intermédiation logicielle généralisée, de la modification de nos formes de pensées dans un monde "logiciel/applications/écrans" et de la nécessité de mise en concordance prochaine de la communication avec et dans ces nouvelles formes.

J'ai appelé la "grande convergence numérique" le moment à la plupart des applications en ligne vont migrer vers un format " standard" vers des appareils portables aux fonctions décuplées.

Je vous laisse apprécier ce qu'il est aujourd'hui possible de faire avec un Iphone et j'aimerai bien que vous laissiez quelques uns de vos ressentis en commentaires au bas de ce billet qu'ils soient positifs ou négatifs, que vous soyez matheux ou non.

Images extraites du blog Wolframalpha

tice et mathématiques

J'ai parcouru la galerie d'Art abstrait Géométrique de Friedricch A. Lohmüler. J'y ai particulièrement apprécié l'image suivante d'un grossissement de Blob (Goutte ou Binary Large OBject)

Synthèse d'image 3D - Raytracing
Animations 3D avec Raytracing
Animations 3D avec POV-Ray
Fractales Infographie
Galerie photographique de la Botanique
Cactacées et d'autres Plantes Grasses
Photographies

Après plusieurs années de surf sur la toile, voilà à peu près la façon dont je perçois les maths. Cette présentation sera modifiée petit à petit. Si vous pointez des oublis et si vous avez d'autres idées n'hésitez pas à m'en faire part.Cette vision est très personnelle et n'engage que moi!

Après la version 2 voilà la version 4 du célèbre "Did you know ?"

Source : PédagoTic

Hier, je faisais un petit billet sur Pi et ses décimales, l'idée me vint de me demander si Pi était normal. En mathématiques, le mot "normal" revêt un sens tout particulier lorsqu'il s'agit de nombres.

Si l'on est dans notre base usuelle, c'est à dire la base 10, un nombre normal est un nombre dont les chiffres de 0 à 9 apparaissent avec la même fréquence de 10%.

Un exemple de nombre normal formé avec les nombres entiers mis à la suite les uns des autre : 0,012345678910111213141516.... c'est le nombre de Champernowne.

On ne sait pas grand chose sur Pi malgré tout le travail déjà effectué !

On ne sait toujours pas si Pi est normal !

On ne sait pas non plus si Pi est un nombre univers, c'est à dire si on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie dans la suite infinie des décimales.

Alors on en est où ?

Et bien on sait que c'est un nombre irrationnel depuis 1761, c'est à dire qu'il ne peut pas s'écrire comme un quotient de deux nombres entiers.

On sait aussi qu'il est transcendant (ce qui interdit la quadrature du cercle!) depuis 1882 seulement.

Pour les spécialistes, voir le site pi314 sur le sujet ainsi que celui de Gérard Villemin et le travail de Bailey de 2001.

Combien connait-on de décimales de Pi aujourd'hui?

Là ça a bougé cet été !

Le 17 août, à l'université de Tsukuba au Japon. Le 47 ème super-calculateur TK2 mondial d'une puissance de calcul de 95 Téra-flops ( 95 mille milliards d'opérations à la seconde) a tourné pendant 73 heures et 36 minutes pour écraser l'ancien record du nombre de décimales trouvées. Il était de 1.2 milliard environ et il est passé à plus de 2.5 milliards.2,576,980,377,524 très exactement.

Une source en français : Infomaths

Pour se faire une petite grande idée au sujet des décimales de Pi:

Du Soleil à Pluton, la plus lointaine (ex)planète du système solaire, il y a 4 743 700 000 000 km et si l'on suppose la trajectoire à peu près circulaire, on calcule la distance parcourue par Pluton autour du Soleil en multipliant par 2Pi. Il suffit  seulement d'une dizaine de décimales pour calculer la distance parcourue par Pluton  au mètre près!

Photo : Mykl Roventine