Téléchargement de Geogebra ( logiciel de mathématiques facile d'emploi)

L'objectif de cet exercice est de susciter votre curiosité. Je sais ce n'est pas facile mais je vais essayer. Il faut préparer votre ordinateur à la réception de la sainte parole mathématique et pour cela il vous faut installer Java, c'est rien du tout, il suffit d'aller sur http://www.java.com/fr/ et de télécharger Java. Il ne se passera rien de spécial mais le site sur lequel je vais vous dirriger le demande. Une fois que cela est fait et que vous avez constaté qu'il ne s'est rien passé de spécial à part que vous avez consacré 10 mns de votre précieux temps, allez sur le site Geogebra , cliquez sur téléchargement à droite puis, si vous êtes très peureux sur "Démarrage en ligne de Geogebra" ou si vous êtes vraiment confiant sur "Télécharger Geogebra" et installez-le. C'est tout pour aujourd'hui et il faudra attendre les exercices suivants pour utiliser ce merveilleux outil.

Paradoxe de la corde prise au hasard ( Bertrand )

Problème : On trace une corde au hasard dans un cercle. Quelle est la probabilité pour que sa longueur soit supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit ?

Bertrand donne 3 solutions différentes à ce problème.

En vert les cordes possibles

En rouge les cordes impossibles

Première solution :

On peut pour des raisons de symétrie se donner la direction de la corde ; le point d'intersection de cette corde avec le diamètre ( vertical sur la figure ) perpendiculaire à cette direction  devra alors se trouver sur un segment  égal  à la moitié de la longueur de ce diamètre ( car la distance au centre du côté du triangle équilatéral inscrit est égale à la moitié du rayon ) ; la probabilité est donc de 1/2.

Deuxième solution :

On peut, pour des raisons de symétrie, se donner une des extrémités de la corde sur le cercle ; la tangente en ce point et les 2 cotés du triangle équilatéral inscrit ayant ce point pour sommet forment trois angles de 60° ; la direction de la corde doit être à l'intérieur de l'angle formé par le triangle ( en vert) ; la probabilité est donc de 1/3.

Troisième solution :

Pour fixer la position de la corde, il suffit de donner son milieu ; pour que la corde satisfasse à la condition de l'énoncé, il faut que son milieu soit intérieur à un cercle concentrique au cercle donné et de rayon moitié. La surface de ce cercle ( vert ) est le quart de la surface donnée ; la probabilité est donc de 1/4.

Doit-on penser que ces trois solutions sont également bonnes et, par suite, également mauvaises ? se demande Emile Borel dans son livre Le hasard parut en 1914. Nullement, poursuit-il, il s'agit simplement de préciser le mode d'après lequel se fera la vérification expérimentale, c'est à dire comment on s'y prendra pour tracer une corde au hasard : si on assujetit cette corde à passer par un point fixe du cercle ou si l'on fixe son milieu au hasard, il faudra choisir la deuxième ou la troisième solution, mais il est aisé de voir que la plupart des procédés naturels que l'on peut imaginer conduisent à la première.


Un site traite de ce "paradoxe" et permet la simulation des expériences : ICI

Un fichier pdf de Culturemath : ICI

Pourquoi le chou est-il un objet mathématique ?

 Savez-vous pourquoi une feuille de papier usuelle a pour dimensions 21x29,7  et pas  21x34 par exemple ?

Imaginez que vous soyez organisateur d'une  compétition internationale de lancer de petit-pois. Les participants affluent de tous pays, il y en a 1500 par exemple. Vous décidez pour aller vite, de réaliser un tournoi par élimination directe. C'est à dire qu'à chaque tour, deux joueurs combattent et le vainqueur passe le tour suivant. Si à un tour, le nombre des joueurs est impair, l'un d'entre eux tiré au hasard, passe au tour suivant sans combattre. La question est : combien de matchs seront joués jusqu'à la désignation du vainqueur ?

C'est à vous et on ne copie pas.