Inclassables Mathématiques Le blog 2.0

Les chiffres arrivent au fur et à mesure. Ils varient d'un média à l'autre. Les différentes sources donnent parfois des estimations qui peuvent varier du simple au double. Elles peuvent même être revues plusieurs fois par jour.

Le tremblement de terre d'Haïti vient une fois de plus nous replonger dans le triste calcul mais pourtant nécesssaire du nombre de victimes. En mai 2008, un cyclone a fait 100 000 morts en Birmanie. Les estimations des morts de la seconde guerre mondiale donnent des chiffres variant  entre 41 et 70 millions ( voir Des matheux pour compter les morts ). Les chiffres peuvent servir à mesurer l'ampleur de l'aide, à infléchir des politiques ou même servir d'argument juridiques.

La méthode de comptabilisation doit être scientifique pour que le nombre estimé soit le plus proche possible du nombre réel. Les techniques utilisées font appel au témoignage, au constat aussi bien qu'à l'observation par satellite pour par exemple, imputer à d'autres villages détruits de façon identiques, le taux de mortalité constaté sur l'un d'entre eux. Il reste aussi à prévoir les dégats que causeront les épidémies qui se propageront à la suite de la catastrophe.

Article en anglais à consulter: How will they count the dead in Haïti? Source ( @StatFr)

Vue aérienne du bâtiment des Nations Unies en Haïti après le tremblement de terre de 2010.
Source: ONU

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Les changements climatiques inquiètent de plus en plus, non seulement les scientifiques mais également le monde agricole, notamment en raison des impacts qu'ils ont ou auront sur les pratiques culturales. D'après les climatologues, les changements climatiques ont eu pour conséquence un bouleversement planétaire des rythmes saisonniers. En effet, comparé à la situation quelques décennies en arrière, le printemps est plus précoce, ce qui entraîne notamment une floraison anticipée des plantes. Pour comprendre l'impact de ces phénomènes, les chercheurs tentent de mettre au point des modèles mathématiques permettant de prédire les effets éventuels des bouleversements météorologiques sur les cultures. Nous avions déjà abordé ce thème dans un précédent bulletin qui exposait les travaux de recherche de scientifiques de l'ARS (Agricultural Research Service) et de la NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration), lesquels ont mis au point des modèles numériques pour l'aide à la décision agricole (date des pâtures, estimation des rendements, etc.) en lien avec le climat. Ce projet avait pour but de fournir aux exploitants des données locales les plus pertinentes, à savoir des variations à court terme ou des ruptures par rapport aux moyennes à long terme.

Une excellente animation sur le sujet de la mesure d'un arc de méridienne par Delambre et Méchain à la fin du XVIIIème siècle est proposée par Colette POIRIEL, Professeur de mathématiques au collège Poincaré (Versailles).

Voilà la description que j'ai pu recueillir de l'auteure:

Il s'agit d'un projet de classe initié avec des élèves de 6ème et de 5ème en accompagnement éducatif. Cela m'a pris une année en tout de faire aboutir ce projet (recherches, construction du scénario, séances d'accompagnement éducatif, animation...).

Il est possible d'aborder cette animation en cours de différentes façons :

• Histoire des sciences : Au 18ème siècle, à travers ses savants, ses Académies, ses fabricants d'instruments, la Science imprègne l'esprit des Lumières et représente un pouvoir capable d'imposer un concept aussi inédit et difficile que le Système Métrique Décimal (ou S.M.D.)
• Révolution française : L'épopée des savants Delambre et Méchain traversant la France durant la Révolution est un miroir des évènements et témoigne de la volonté d'unification du pays.
• Triangulation : Cette partie mathématique, destinée aux élèves de 5ème et de 4ème, rappelle quelques notions essentielles et concrètes sur le triangle. C'est également une mise en évidence de l'importance que l'on doit accorder à la précision des mesures.

Un questionnaire en format PDF reprenant l'essentiel de l'animation est disponible ICI

On pourra compléter par le travail de l'IREM d'Orléans sur la Méridienne.

On peut aussi, à l'occasion, rappeler l'existence du livre de Denis Guedj - La méridienne. Impossible d'en dire plus car je ne l'ai pas encore lu.

En hommage à Claude Levi-Strauss, Michèle Audin, sur  le site Images des Mathématiques, nous rappelle sa rencontre avec le mathématicien André Weil:

"En désespoir de cause il me soumit son problème"

Le cancer est l'une des causes majeures de décès dans le monde (en particulier dans les pays en développement), avec environ 11 millions de personnes diagnostiquées et environ 7 millions de personnes qui meurent chaque année. Les prévisons de l'Organisation mondiale de la santé  sont d'environ 9 millions de morts en 2015 et de  11,5 millions de décès en 2030 par cancer.

Le cancer est un sujet très important de la recherche médicale, mais de façon assez inattendue aussi de la recherche en mathématiques appliquées.

Le processus démarre avec la division incontrollée de quelques cellules. les déchets sont expulsés à la surface de la tumeur. Une fois que la tumeur atteint une certaine taille les propriétés des bords de la tumeur se modifient en raison de l'importance des déchets. Elle devient plus agressive.

Les mathématiques sont déjà utilisées pour modéliser la croissance de tumeurs cancéreuses dans la phase pré-invasive. Une équipe de l'université de Dundee est en train de concevoir un modèle global de croissance. Un tel modèle doit fonctionner sur plusieurs niveaux, sub-cellulaire, cellulaire et macroscopique. L'objectif de ce projet est de simuler un cancer virtuel afin d'améliorer les traitements.

La partie continue du modèle serait composée d'un système d'équations de réaction-diffusion modélisant les modifications de concentration des substances chimiques libérées dans les cellules de la tumeur et les tissus environnants  les changements qui en résultent pour les tissus et  la tumeur.

Ce sont visiblement des équations identiques à celles permettant de modéliser la diffusion des pigments donnant naissance aux tâches et rayures du pelage de certains animaux.

L'article complet ( en anglais) sur Plus magazine

Les ordinateurs biomoléculaires, faits d'ADN et d'autres molécules biologiques, existent aujourd'hui seulement dans quelques laboratoires spécialisés. Néanmoins, Tom Ran et Shai Kaplan, deux étudiants qui développent leur recherche dans le laboratoire du Professeur Ehud Shapiro de l'Institut de Chimie Biologique, d'Informatique et de Mathématiques Appliquées ont trouvé une façon de rendre ces dispositifs microscopiques de calcul "conviviaux" en exécutant des calculs complexes et en répondant à des questions compliquées, comme rapporté dans l'article publié en ligne dans Nature Nanotechnology.

Shapiro et son équipe avaient déjà découvert en 2001 les 1ers ordinateurs à ADN programmables et autonomes, si petits qu'un milliard de ces systèmes est contenu dans une goutte d'eau. Trois ans plus tard, une nouvelle version de ces systèmes pouvait détecter des cellules cancéreuses dans une éprouvette et les détruire. En plus de pouvoir imaginer qu'un jour de tels dispositifs pourront être utilisés chez l'être humain, tels des nano-docteurs pouvant localiser et soigner les maladies, ces ordinateurs d'ADN pourront effectuer des millions de calculs en parallèle.

L'ordinateur biomoléculaire développé aujourd'hui suit la logique suivante : il est programmé avec une règle telle que "Tous les hommes sont mortels" et un fait tel que "Socrate est un homme". Lorsque l'on demande alors à l'ordinateur si Socrate est mortel, il répond correctement dans tous les cas. Parallèlement, l'équipe a développé un programme permettant la communication entre le langage de programmation classique d'un ordinateur et le code de fonctionnement de l'ordinateur à ADN. Pour parvenir à la réponse, différents brins d'ADN correspondants aux règles, faits et questions sont assemblés selon un processus hiérarchique par un système robotisé. Afin de visualiser la solution, des molécules naturellement fluorescentes ont été greffées sur certains brins d'ADN, avec une seconde protéine masquant l'émission de lumière. Une enzyme spécialisée est alors attirée sur le site de la réponse correcte, et "découvre" la molécule fluorescente, permettant ainsi la visualisation de la réponse.

Les ordinateurs biomoléculaires contenus dans ces gouttes d'eau ont pu ainsi répondre à des questions bien plus complexes en combinant différents fluorophores.

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Trois jours de stage et six heures de train pendant lesquelles j'ai dévoré ce livre. Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de Philosophie 2007 décerné par l'Académie Française. Je ne connais pas les autres lauréats mais pour ce qui est de ce livre je pense que la philosophie a vraiment trouvé du grain à moudre pour quelques années dans ces métamorphoses numériques.

Au début du livre, j'étais en territoire connu mais j'ai déjà lu beaucoup de livres sur l'histoire des mathématiques alors j'ai pensé, tiens encore une histoire des maths. C'est vrai pour le tout début du livre mais la première partie est nécessaire à quiconque ne maîtrise par bien ce sujet afin d'introduire la logique des prédicats.

Et puis dès la cinquantième page, je vois apparaître mon copain Kant et ses jugements synthétiques à priori. Alors je commence à me dire que ça va cogner. On pourra d'ailleurs lire le documents suivant : La philosophie des mathématiques de Kant . Quel est le problème?

Kant propose deux types de jugements :

Analytique si une proposition est vraie par définition comme "un triangle à trois cotés".

Synthétique si la propostion est vraie sans que ce soit une définition. Par exemple "La terre a un satellite" . Ce jugement peut être a priori si on peut le concevoir dans la tête ou a poseriori s'il faut une intéraction avec la nature.

Les jugements analytiques semblent quant à eux exclusivement à priori.

Pour Kant le raisonnement se situe dans les jugements synthétiques à priori mais c'est là que ça coince par ce que ce n'est pas aussi simple que ça!

Le "simple", 2+2=4 pose problème. Frege va d'ailleurs montrer que 2+2=4 peut se déduire de la définition des nombres entiers et doit être classé parmi les jugements analytiques et non parmi les jugements synthétiques à priori.

On voit déjà poindre à l'horizon une problématique philosophique centrale concernant les mathématiques, leur constitution et leur évolution. Se constituent-elles au sein d'elles mêmes auquelles cas elles sont analytiques à partir des simples définitions. Relèvent-elles du jugement synthétique à priori ou doivent-elles aller chercher des éléments dans la nature pour se construire.

Il est inutile de vouloir répondre simplement à ces questions qui dépendent de l'évolution des mathématiques elles mêmes dont le pivot central est certainement la thèse de Church des années 30, affirmant l'identité entre la notion de calcul "informatique et la notion "commune " de calcul que nous avons.

En avançant encore un peu dans le livre on voit apparaitre l'idée selon laquelle Démonstration = Algorithme et puisque la thèse de Church nous donne Algorithme = Calcul, on a donc l'identité Démonstration = Calcul. Il devient donc nécessaire de distinguer les notions de démontrable et d'explicatif, ce qui est loin d'être facile pour les mathématiciens. La longueur des démonstrations est aussi abordée, avec par exemple la problèmatique suivante : Peut-on démontrer qu'un problème démontrable possède une démonstration "courte"?

Philosophiquement le sujet est dense!

D'autant qu'à la fin de l'histoire une surprise de taille nous attend avec un retour nécessaire à la nature... Mais je n'en dis pas plus.

Ce qui m'a aussi passioné dans le livre est le traitement du rapport du mathématicien et de la machine, de ce nouvel outil qui lui est maintenant indispensable. L'auteur s'interroge aussi sur le fait que l'ordinateur du mathématicien est le même que celui de Mme Michu, sauf bien sûr si les calculs sont vraiment très très longs et demandent un super-calculateur pour pouvoir être faits  en un temps "raisonnable". Il est intreressant de comprendre quelles est la place de l'ordinateur-machine à coté du mathématicien-humain.

J'ai extrait quelques courtes citations vers la fin du livre qui me semblent assez explicites sur les métamorphoses du calcul qui est le sujet du livre et donc des mathématiques elles-mêmes:

En 1976, les mathématiques sont entrées dans la période instrumentée de leur histoire. Les instruments utilisés par les mathématiciens, ne sont pas des instruments qui prolongent les facultés de nos sens, mais qui prolongent les capacités de notre entendement: notre faculté de raisonner et surtout, de calculer. ( p 182 )

L'utilisation d'instruments commence, de même à changer, les mathématiques. ( p 182 )

La maquette sur laquelle on fait l'essai est donc une machine à résoudre un problème mathématique,[...] (p 188)

L'entrée des mathématiques dans leur ère instrumentée incite donc, non à accorder une confiance excessive dans les instruments utilisés, mais à restreindre prudemment la confiance parfois exagérée, que nous avons en nous-mêmes: nous aussi nous pouvons faire des erreurs. (  p 191 )

Podcast de Gille Dowek sur le livre et sur Canal-Académie

Pour compléter :

Des p'tits problèmes de coloriage ( autour du théorème des quatre couleurs)

Alors que les problématiques environnementales liées aux espèces invasives prennent de plus en plus d'ampleur aux Etats-Unis, notamment en raison des dégâts occasionnés sur les espaces boisés des rocheuses et des Appalaches, des chercheurs de l'université californienne UC Davis ont tenté d'évaluer avec plus de précisions les facteurs influençant la propagation d'une espèce animale. Alan Hasting (chercheur à l'université UC Davis) et Brett Melbourne (maître de conférence à l'université du Colorado) ont rendu public les résultats de leur recherche portant sur la difficulté d'évaluer le potentiel invasif d'une espèce donnée.

Si la détermination de la vitesse moyenne de dispersion d'espèces invasives a fait l'objet de nombreuses études, peu de recherches portent actuellement sur l'évaluation du potentiel invasif d'espèces données. Publiés dans la revue Science du 18 septembre 2009 et financés par la "National Science Foundation" [3], ces récents travaux soulignent la difficulté de prédire les comportements malgré la prise en compte d'incertitudes telles que la variabilité environnementale, démographique ou génétique.

Deux méthodes existent actuellement pour déterminer le potentiel invasif d'une espèce et tenter d'anticiper les invasions. La première consiste à faire appel à la modélisation en évaluant les paramètres d'entrée. La seconde vise à extrapoler les résultats obtenus à partir d'observations et de données de terrain. Les chercheurs ont utilisé ces deux outils pour évaluer le degré d'incertitude du potentiel invasif du coléoptère "Tribolium Castaneum". Recréant 30 écosystèmes d'accueil identiques, ils ont étudié les déplacements et comportements de 600 coléoptères sur 13 générations. Ces expériences de laboratoire, couplées à un modèle mathématique, ont mis en évidence un degré de déplacement différent selon les générations, certaines se déplaçant sur l'ensemble du terrain d'étude alors que d'autres se contentaient d'occuper le tiers de l'espace.

Ces résultats soulignent donc la difficulté de cataloguer l'ensemble des facteurs influençant le comportement invasif d'une espèce. En effet, la variabilité intrinsèque à chaque espèce aurait une influence non négligeable sur sa propagation dans un écosystème d'accueil.

Source: Bulletins électroniques

Photo: JR Guillaumin

Voir aussi les très belles photos de coléoptères de Paula FJ

Au début l'histoire commençait bien, la Terre, plate puis sphérique, était au centre du monde que les Dieux tout-puissants ou le Dieu Horloger avaient créé. Les planètes et le soleil tournaient autour d'elle sur des sphères parfaites séparées par l'éther, et sur la sphère des fixes étaient accrochées les étoiles. Les relevés se sont multipliés et puis d'étranges mouvements de retour arrière de quelques planètes ont été découverts. Pas grave puisqu'il suffit de deux cercles qui roulent l'un dans l'autre pour produire cet effet. A moins que la terre ne soit pas au centre du monde, peut-être serait-ce le soleil... Le mouvement des planètes vu de la terre serait relatif et apparent mais pas absolu comme s'eût été le cas si la terre avait été fixe. On s'aperçut aussi que les trajectoires des planètes étaient bien  allongées pour être des cercles, les ellipses conviendraient mieux et c'est ce que découvrit Kepler en interprétant les nombreux relevés de Tycho Brahé. La face est sauve puisque l'on peut même construire une ellipse à l'aide de cercles, mais cela ne devait plus tellement être un sujet d'actualité tellement les croyances anciennes avaient déjà du être balayées. Le système solaire, retiré dans un coin de la voie lactée, s'est ensuite un peu endormi sur ses belles orbites elliptiques et régulières jusqu'à ce qu'un jour un mathématicien du nom de Poincaré vienne un peu le réveiller et lui souffler dans l'oreille qu'il n'était pas éternel. Les trajectoires de 3 corps en mouvement peuvent devenir très instables et leur avenir dépendre énormément des conditions initiales et donc de très faibles variations de trajectoires. Même si l'un d'entre eux est immobile, le système peut toujours être chaotique et soumis à de très fortes variations, en rendant toute tentative de lecture de l'avenir impossible. Si le système simplifié de 3  corps dont le plus massif est immobile est déjà complexe, nous pouvons imaginer ce qu'il en est avec plus de 3 corps, ce qui est le cas du système solaire actuel.

La validité éternelle d'une loi n'entraîne pas la stabilité des trajectoires, qu'on se le dise!