Énoncée il y a quinze ans, la conjecture de courbure L2 a enfin été démontrée par un groupe de trois chercheurs du laboratoire Jacques-Louis Lions (CNRS/UPMC/Université Paris Diderot) et de l’université de Princeton. Elle fournit un cadre potentiellement minimal dans lequel il est possible de résoudre les équations d’Einstein. Cela pourrait être une étape cruciale vers la démonstration de conjectures majeures, comme les conjectures de censures cosmiques de Penrose. Ce travail a été publié le 14 octobre 2015 dans la revue Inventiones Mathematicae.

La théorie de la relativité générale d’Albert Einstein a beau fêter ses cent ans cette année, elle recèle encore son lot de mystères. Cette théorie de la gravitation stipule que la matière courbe l’espace-temps avec un effet d’autant plus fort que la masse de l’objet est importante. Ce phénomène se mesure grâce à un outil mathématique appelé tenseur de courbure, sur lequel la conjecture de courbure L2 se concentre afin de trouver des cadres possibles pour construire des solutions aux équations d’Einstein. Énoncée il y a quinze ans par Sergiu Klainerman, cette conjecture a enfin été démontrée grâce aux travaux de Sergiu Klainerman, Igor Rodnianski et Jérémie Szeftel.

La conjecture de courbure L2 stipule que les équations d’Einstein admettent une solution si, à l’instant initial, le tenseur de courbure de l’espace est de carré intégrable, c’est-à-dire que l’intégrale de son carré est un nombre fini. Cette résolution de la conjecture de courbure L2 est importante car elle constitue une étape probable vers la démonstration des célèbres conjectures de censure cosmique de Penrose, qui traitent des singularités gravitationnelles. Il s‘agit de régions pathologiques de l’espace-temps où le champ gravitationnel devient infini, comme au centre d’un trou noir. La présence de tels cas dans les solutions aux équations d’Einstein pourrait remettre en cause la validité physique de la relativité générale.

Roger Penrose présume que ces singularités ne sont jamais visibles car elles sont génériquement cachées derrière l’horizon des événements : la zone d’un trou noir à partir de laquelle la lumière ne peut plus s’échapper et donc nous parvenir. Si ces phénomènes restent encore bien loin de notre portée, les équations qui les régissent sont aujourd’hui un peu moins mystérieuses grâce à ces travaux.

Bibliographie

The bounded L2 curvature conjecture, Sergiu Klainerman, Igor Rodnianski, Jeremie Szeftel. Inventiones Mathematica. 14 octobre 2015. DOI : 10.1007/s00222-014-0567-3