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Si j'ai bien compris, le magazine Tangente, dans l'article de novembre-décembre 2006 intitulé " L'enseignement des mathématiques manque-t-il d'ambition?" s'offusque de la création d'un manuel libre édité par Sésamath qu'il jugerait un peu "au ras des paquerettes" ( je ne l'ai pas consulté, j'ai juste regardé l'intitulé des chapitres ), affirmant sa peur que l'enseignement des mathématiques se résume à l'apprentissage de mécanismes de bases aux antipodes de la création mathématique.
Dans le numéro de Janvier-Février 2007, Tangente publie la réponse de Sésamath qui visiblement n'aborde pas le sujet du manque d'ambition.
 
Pour ma part j'ai un avis ( ça ne coute rien au moins ) qui n'est celui d'aucune des deux parties en cause, ou plutôt des deux, qui ne me semblent pas inconciliables. Je suis depuis plus de  12 ans enseignant de lycée allant des secondes professionnelles, BEP, filières technologiques tertiaires, secondes générales, premières toutes sections, terminales S et ES, j'ai aussi enseigné en STS ( BTS ) en formation initiale et en alternance. J'ai donc l'impression d'avoir une vision suffisamment large pour émettre un avis même si je n'ai fait qu'une classe de 4ème ( les secondes sont des collégiens + un jour de cours ! ).

Je débuterai tout d'abord par un extrait de mon copain Descartes issu du "Discours de la Méthode" :

" Puis, pour l'analyse des anciens et l'algèbre des modernes, outre qu'elles ne s'étendent qu'à des matières fort abstraites et qui ne semblent d'aucun usage, la première est toujours si astreinte à la considération des figures, qu'elle ne peut exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination; et on s'est tellement assujeti en la dernière à certaines règles et à certains chiffres, qu'on en à fait un art confus et obscur qui embarasse l'esprit au lieu d'une science qui le cultive".  

Descartes est-il si moderne pour qu'au style près, on puisse faire dire ces mots à la quasi totalité des élèves d'aujourd'hui?

Est-il raisonnable qu'un programme de collège comporte la moitié de ses chapitres sur la géométrie, dont on sait d'une part qu'elle s'appuie sur l'expression française sur laquelle souffre déjà la majorité des élèves dans d'autres matières ( même les meilleurs ) et les placent naturellement dans une position de répétiteurs de méthodes toutes faites pour limiter la casse,  répétant inlassablement le triptyque du " je sais que , je déduis que, je conclue que ", comme en hommage au triptyque platonicien du Beau ( la figure ), du Vrai ( le théorème) et du Juste ( la conclusion ),  mais qui ne s'applique en fait qu'à des situations simples alors que la plupart sont des démonstrations  emboitées ou à tiroirs et demandent aussi de réaliser des chaines complexes de raisonnement s'appuyant sur des figures approchées ou la nécessité d'associer une vision dynamique à une configuration statique dans le seul objectif de travailler les quelques transformations du programme? Plus que de "former" l'esprit, l'enseignement actuel de la géométrie me parait le rigifier et ne pas développer les compétences attendues en retour, d'ouverture et d'autonomie. De plus le passage de la géométrie euclidienne ( des figures) à la géométrie analytique ( celle des mises en équations en fixant une longueur inconnue ) se fait sans rien dire comme si ce passage était tout naturel pour les élèves alors qu'il ne l'a pas été pour l'humanité toute entière!

D'autre part, on peut s'interroger sur la nécessité d'enseigner un domaine des mathématiques représentant en volume, la moitié des programmes des collègiens alors qu'il sera abandonné par la grande majorité d'entre eux soit par choix de la filière soit par dépit dès l'entrée en lycée et qu'ils seront principalement interrogés en S sur des sujets ne faisant intervenir que des raisonnements géométriques simples , lesquels ne sont cependant pas forcément perçus comme évidents par les élèves malgré le poids de la géométrie dans les programmes. J'ai même vu, certes de façon isolée , des élèves refusant de traiter les exercices de géométrie en 1ère S.

Il ne restera du passage au crible géométrique guère que ceux dont on avait déjà décelé, dans d'autres matières, qu'ils maitrisaient de façon assez correcte la langue française et ses subtilités.

On peut se demander aussi s'il ne faut pas remettre au goût du jour des techniques d'apprentissages répétitives ( et le dire ! ) pour permettre à certains élèves dont le calcul numérique et algébrique est très détérioré, dont les stratégies ne sont pas fiables, de conditionner leurs réflexes et aussi les rassurer. Ils se tromperaient sans doute moins dès la première ligne de calcul posée ou lors de la résolution de l'exercice-type qu'ils n'ont pas reconnu comme tel. J'ai remarqué que ces techniques rassurent les élèves dont le niveau est le plus fragile, mais peut-être n'est-ce pas l'objectif visé! Il est de plus à noter que le nombre d'élèves ayant des réflexes, de quelque ordre que ce soit est très faible, même dans la section scientifique!

On peut se demander comment des personnes ont un jour pensé que la simple découverte par soi-même suffisait comme par enchantement à structurer les connaissances de l'ensemble d'une population, et pouvoir les utiliser plus tard, ou bien qu'une théorie ou science était structurée, en vue de sa présentation au public averti, de la même façon qu'en vue de son apprentissage à des novices, et oublier de dire en passant que les définitions proposées en cours ne sont pas un préalable à l'apprentissage mais le témoin qu'une notion est arrivée à maturité...

On peut se demander comment on peut susciter l'esprit d'initiative, l'esprit de créativité, le travail sur la logique, alors qu'aucun "chapitre" n'est consacré dans aucun niveau à ses objectifs. Les exercices des rallyes mathématiques sont pour cela très interessants car ils décloisonnent les mathématiques de leur enfermement dans des chapitres.

Pire, les enseignants devraient susciter la créativité mathématique alors que les cours sont rythmés à une vitesse effrenée par l'apprentissage de notions toujours nouvelles ( pour certains élèves, voire pour tous et dans chaque filière, car il ne faut pas oublier que les élèves s'ils sont répartis correctement,  rencontrent chacun une difficulté équivalente dans leurs filières respectives et ont pour leur niveau, le même volume de nouveautés ).

Les bons élèves actuels en mathématiques sont ceux qui ont comme acquis ce que leurs enseignants appellent pré-requis et pour les autres on s'arrange pour ne pas trop distinguer, mais la tâche est bien difficile car les écarts sont très prononcés.

Tant que le découpage de la matière sera fait par "chapitres de contenus" en vénération au découpage d'un type scholastique des enseignements libéraux du moyen-âge, comme si l'on était dans un  sytème aristoélicien, où la géométrie reignait au centre de l'univers du collège, aucun changement de cap ne pourra être engagé.

Il me semble aussi qu'on fait l'erreur suivante en considérant que la mesure des capacités mathématiques se réalise toujours à partir de l'apprentissage de connaissances nouvelles ( qu'on évalue d'ailleurs de moins en moins, ou de plus en plus tard, en ayant constaté cette erreur d'appréciation). Une preuve est la possibilité d'évaluation d'épreuves du type rallye mathématiques moins centrées sur des connaissances.

L'informatique va faire son entrée, peut-être aura-t-elle le droit, toute dernière arrivée à son petit chapitre... ou encore devra-t-on utiliser nécessairement l'outil informatique dans la présentation des notions comme cela a été le cas précédemment pour la présentation de toute notion nouvelle, à l'aide d'activités préparatoires, même lorsque le chapitre ne s'y prête pas et que le temps est compté.

Je n'ai pas de recettes miraculeuses, ni ne détient la Vérité, mais j'ai quelques certitudes:

Tout ce qui doit être su, connu ou considéré comme connaissance par un élève doit être dit, expliqué et faire l'objet d'un apprentissage structuré, répétitif et d'une évaluation. Celà doit de plus faire sens à son niveau d'étude.

L'enseignement de la géométrie me parait à un si gros volume, trop précoce, surdimensionné et empêchant la visualisation du paysage mathématique actuel et la créativité.

Ne pas évaluer un élève sur des connaissances de bases clairement identifiées par lui, c'est lui laisser la charge de bâtir seul l'armature de ses propres connaissances alors qu'il n'en connait ni leur nature, ni leur utilisation à venir et cette charge est trop lourde pour un grand nombre d'élèves.

L'acte créatif ne peut naître s'il y a nécessité de pré-requis trop ambitieux qui bien évidemment ne sont pas assimilés par tous.

Le découpage par chapitres de contenus rend l'enseignement des mathématiques cumulatif sur tous les stades de la scolarité, même si on y a ajouté le mot spiralé.

Dans ce système, un élève a priori intéressé par les mathématiques sera au mieux lassé, au pire dégouté par cette accumulation incessante, vaine, dans le seul but de tester les élèves sur l'accumulation de connaissances et non pas sur la capacité de s'engager dans une démarche mathématique, dont la restitution de connaissances et le raisonnement logico-déductif ne sont pas les seules composantes. Il ne faut pas s'étonner ensuite qu'il ne reste que quelques élèves hyper-motivés à l'arrivée pour se lancer dans de telles études.

Il n'existe pour l'instant que peu de  chemins dans l'enseignement, pour une activité réellement mathématique et réellement créatrice sans peur de l'échec, ni des élèves, ni des enseignants.

Alors je me pose les questions suivantes en vrac:

Pourquoi ne pas structurer autrement la matière pour la faire évoluer, est-ce un jeu de pouvoirs qui se joue entre grands, des freins, des peurs?
Pourquoi n'est-il pas possible de faire travailler les jeunes élèves avec des suites numériques sans le formalisme associé ou peu?
Pourquoi n'est-il pas possible de faire du dénombrement simple dès les plus basses classes?
Est-ce qu'un problème ouvert est vraiment un problème sans pré-requis spécifique?
Va t-on introduire l'informatique en expliquant les difficultés supplémentaires associées ou allons nous l'enrober dans un discours de modernité pour  en édulcorer la portée?
Peut-on parcourir les mathématiques autrement que par les grands courants ancestraux symboliques qui ont jalonné la constitution des mathématiques et présenter les notions toutes faites, servies rapidement sur un plateau sans guère plus d'explications que : apprenez le théorème de Pythagore, apprenez vos formules de dérivées, par manque cruel de temps ?
Peut-on aborder les mathématiques aussi de façon historique autrement que par la page de garde du chapitre concerné  que l'élève ne lira pas seul et que le professeur n'aura pas le temps ou la possibilité de commenter?
Existe-t-il une culture mathématique issue du collège, qui ne serait pas réduite à Thalès et Pythagore pour la grande majorité des individus?
Peut-on faire des mathématiques dont les réponses coincident avec des questions actuelles, nous avons en effet une très bonne connaissance des nombres et des ordres de grandeurs qui nous permettent de le faire, ainsi que des moyens rapides de modélisation et de calcul?
Peut-on faire un travail sur les formes, autres que sur les figures filaires académiques:  triangles, quadrilatères, cercles, sur les couleurs par les nouvelles possibilités données par les outils de visualisation,  etc?
Pourquoi ne pose-t-on pas en à priori, les limitations associées aux mathématiques, au lieu de faire croire que leur pouvoir est toujours absolu?
Quelles sont les différentes voies possibles pragmatiques laissées entre les difficultés rencontrées par les élèves, l'investissement des enseignants et les contraintes de structures?
Les formes actuelles des programmes ne sont-elles pas décalées de la réalité rencontrée au quotidien par les professeurs et les élèves?
Le monde est dynamique et en couleurs, les livres de maths sont remplis d'images ( trop sûrement) mais les sujets restent toujours quant à eux bien statiques et en noir et blanc!
Peut-on réaliser une activité mathématique s'appuyant sur d'autres mécanismes intellectuels que les intelligences verbo-linguistiques et logico-déductives?
Peut-on concevoir des exercices de groupes ( comme pour le Rallye mathématiques ) pour sortir les élèves du système de questions-réponses classique, peut-on d'ailleurs tou simplement concevoir une activité mathématique collective ?

Etc, etc, le sujet n'est pas clos...

Après avoir inventé ou découvert les mathématiques, selon le point de vue de chacun et avoir pris connaissance des possibilités et des limites de la discipline, sujets beaucoup plus clairs aujourd'hui qu'auparavent, il reste à l'homme à inventer un enseignement des arts et techniques mathématiques et donc de se poser vraiment la question de la nature de cet "art" !

En conclusion, je pense qu'il y a une place pour un enseignement  des techniques mathématiques, de la création mathématique et du savoir mathématique, faisant sens et ambitieux, pour les enseignants comme pour les élèves, dont le découpage en chapitres correctement étudiés suivant ces  3 composantes permettrait l'équilibre !

La technique, identifiée comme telle peut être travaillée comme telle et laissée pour une part plus importante sous la responsabilité de l'élève qui s'entraine régulièrement sur des exercices répétitifs pour progresser, la créativité d'une année peut faire l'objet d'un formalisme plus poussé au cours des années suivantes et la présence de connaissances à tous les niveaux permet d'avancer dans l'édifice mathématique. Les activités différentes sont clairement distinguées, les portes d'entrées plus nombreuses et le niveau global d'exigences n'est pas nécessairement affecté.

C'est ICI

Le contenu est impressionnant, riche en jeux et en mathématiques comme son nom l'indique, allez voir par vous-même. Mais dans quelle catégorie vais-je bien pouvoir placer ce site ? Dans maths et maths HIC, je crois !

La France reste le seul pays de l’OCDE à ne pas pratiquer la retenue à la source de l’impôt sur le revenu. Après moults atermoiements, le gouvernement a décidé de s’atteler à cette réforme et le Ministre des Finances a tout simplement laissé entendre qu’il faisait un cadeau aux contribuables et que 2008 serait une année blanche !

Effet d’annonce ou vrai cadeau ? Le magazine Tangente - Janv-Fév 2007 - apporte un éclairage mathématique qui lève toute ambiguïté : cette opération sera bonne pour le budget de la France !

Le magazine Tangente se lance dans des sujets d'actualité desquels les mathématiques ont été éloigné pendant de nombreuses années étant réservées à d'autres "vertus" et je trouve que c'est bon signe. La physique n'a jamais été florissante que lorsqu'elle était l'objet d'expériences visibles. Je pense qu'il en est de même des mathématiques et de l'actualité chiffrée.
Sans entrer dans le détail de l'article, Gilles Cohen explique que le base de l'impôt sur laquelle s'appuie le calcul est décalé d'une année et doit donc être augmentée de 2%. Ainsi en sera-t-il de même pour les recettes de l'état. Je vous laisse consulter l'article ( pas en ligne !) pour plus de détails.