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  • Joyeux Noël! =

    Joyeux Noël!

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    Joyeux + Noël x Noë x No x N

  • Des chercheurs israéliens développent un nouveau modèle de la mémoire associative

    Connaissez-vous les Shadoks ? Ces oiseaux retardés ne possèdent que quatre cases dans leur cerveau, chacune de ces cases pouvant contenir un seul et unique mot. Tel est le fonctionnement de la mémoire shadokienne. Notre mémoire fonctionne-t-elle sur le même principe ? Ne sommes-nous que des Shadoks pourvus d'innombrables cases ? La réponse est non.

    Contrairement aux Shadoks, pour qui la nature des éléments contenus dans leurs quatre cases cérébrales n'influe pas sur la qualité de la mémoire, notre mémoire est principalement associative. Cet aspect associatif explique pourquoi le contexte joue un rôle si primordial dans notre capacité à nous remémorer. Si je vous demande ce que vous avez étudié en cours d'histoire au lycée, il est fort probable que cet exercice vous soit extrêmement difficile. Mais, lors d'une discussion sur le Japon, il vous sera sans doute plus aisé de vous rappeler que vous avez étudié ce sujet en classe de terminale. Souvent, l'information recherchée est disponible dans notre cerveau, mais c'est l'accès à ce souvenir qui pose problème, cet accès se faisant généralement de manière associative (en association avec le contexte, d'autres souvenirs, des indices fournis par la conversation, etc.). Une équipe de chercheurs israéliens de l'Institut Weizmann dirigée par le professeur Misha Tsodyks a proposé un nouveau modèle mathématique de la mémoire, tenant compte de cet aspect associatif. Pour cela, les scientifiques se sont servi d'un modèle de calcul fréquemment utilisé pour modéliser l'activité cérébrale : les réseaux de neurones artificiels.

    Introduction aux réseaux de neurones

    Pour comprendre cette étude, parue dans la revue Neural Computation, il est nécessaire de savoir ce qu'est un réseau de neurones artificiels. Ce modèle computationnel a été dérivé du fonctionnement cérébral. En effet, le cerveau est constitué principalement de cellules appelées neurones, connectées entre elles par l'intermédiaire de synapses. L'une des caractéristiques principales de ces neurones est leur excitabilité : ils peuvent présenter de rapides et importantes fluctuations de leur potentiel membranaire (différence de courant entre l'intérieur et l'extérieur de la cellule), appelées potentiels d'action. Lorsqu'un potentiel d'action est émis au niveau du neurone pré-synaptique, cela peut éventuellement engendrer un potentiel d'action au niveau du neurone post-synaptique.

    Le fonctionnement des réseaux de neurones artificiels est similaire. Ces réseaux sont en général caractérisés par un vecteur contenant l'état d'activité des différents neurones du réseau ainsi qu'une matrice contenant les poids de connections entre les différents neurones. Différents types de neurones peuvent être considérés : des neurones biologiquement réalistes, émettant des potentiels d'action, ou des modélisations plus simplistes comme par exemple des neurones binaires (existant dans deux états : actif ou inactif). L'état d'activité de chacun de ces neurones dépend, comme pour les neurones cérébraux, de l'état des neurones pré-synaptiques.

    Modélisation de la mémoire associative à l'aide de réseaux de neurones

    Cette étude n'est pas la première à s'intéresser à la modélisation de la mémoire associative à l'aide de réseaux de neurones artificiels. Plusieurs chercheurs ont montré que l'encodage de la mémoire dans ces réseaux est permis par le renforcement de la connexion entre des groupes de neurones spécifiques, créant ainsi un aspect associatif de la mémoire. Ces réseaux présentent des attracteurs, des motifs d'activité stable du réseau, correspondant à des éléments mémorisés. Pour avoir accès à l'un des éléments mémorisés, le principe est le suivant : le réseau est initialisé dans un état proche de l'attracteur. Une telle initialisation correspond à donner au système un indice sur l'élément à retrouver. Cependant, que se passe-t-il lorsqu'aucun indice n'est fourni directement au système ? Le but de cette étude était de simuler ce qui se passe en cas d'accès à la mémoire sans qu'aucun "indice" ne soit fourni, comme par exemple lorsqu'on demande à quelqu'un de mémoriser une liste aléatoire de mots.

    Accès à la mémoire sans "indice" direct : mode d'emploi

    Les chercheurs ont représenté chacun des mots de cette liste aléatoire par un groupe de neurones (correspondant à un attracteur du système). Les chercheurs ont utilisés des neurones binaires, pouvant donc être soient actifs soient inactifs. Pour un réseau de N neurones, la taille de chacun de ces groupes était de f*N, f étant un paramètre du système compris entre 0 et 1. Le paramètre f va donc jouer sur le chevauchement entre les différents groupes de neurones utilisés pour représenter des mots différents.

    L'algorithme converge tout d'abord vers l'attracteur le plus proche des conditions initiales, puis passe d'attracteur en attracteur, privilégiant à chaque fois celui avec lequel il présente le plus de similarités. Au bout d'un moment, l'algorithme va revenir vers un attracteur déjà visité et le système va tourner en boucle. L'équipe de scientifiques israéliens a également montré que le nombre d'éléments remémorés par le système (nombre d'attracteurs visités par l'algorithme) dépend de la valeur du paramètre f (en général ce nombre augmente quand f diminue).

    Ce modèle est-il un bon modèle de la mémoire associative ?

    Pour tester la validité du modèle, les chercheurs ont comparé les prédictions du modèle avec les performances d'humains qui devaient se remémorer une liste de mots aléatoires. Chez l'homme aussi, l'ordre des mots remémorés n'est pas aléatoire mais suit une sorte de logique. Deux mots proches dans la liste originale auront ainsi plus de chances d'être remémorés l'un après l'autre. Le modèle prédit également que le système arrive à sa limite lorsque les mêmes éléments sont remémorés répétitivement. Une telle hypothèse a déjà été proposée à de multiples reprises en psychologie.

    Pour résumer, cette étude est la première étude analytique de l'accès à la mémoire associative en absence d'indices externes. Les résultats obtenus sont proches de ceux décrits en psychologie, ce qui fournit une bonne validation du modèle. Les performances de l'algorithme semblent être fortement liées à la manière dont les souvenirs sont encodés dans le réseau (paramètre f).

    Source :http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/74472.htm

  • Cubli, un cube gyrosopique

    Les gyroscopes ne sont pour la plupart des gens qu'une curiosité, mais pour pas mal de scientifiques et ingénieurs, il s'agit d'un objet au comportement quasi mystique ; au point que certains à la Royal Society ont un temps pensé à un objet qui défiait vraiment la gravitation... (ce n'est pas le cas). 

    La suite sur "Sur la toile"

  • Qu'est-ce que la culture mathématique?

    C’est l’aptitude d’un individu à formuler, employer et interpréter des mathématiques dans un éventail de contextes de la vie réelle : raisonner en termes mathématiques, utiliser des concepts, procédures, faits et outils mathématiques pour décrire, expliquer et prévoir des phénomènes. Elle aide les individus à comprendre le rôle que les mathématiques jouent dans le monde et à se comporter en citoyens constructifs, engagés et réfléchis, c’est-à-dire à poser des jugements et à prendre des décisions en toute connaissance de cause.  

    Source: education.gouv.fr

  • "... Donc, D'après...", l'excellent livre de Philippe Colliard (mathemagique) pour construire la géométrie du collège de façon axiomatique

    bd-papacoupe.jpgPhilippe Colliard a passé beaucoup de temps pour penser et écrire cette géométrie qu'il explique au lecteur, supposé être un collégien et qu'il tutoie dès le début du livre. Ce n'est pas le tutoiement de celui qui sait devant l'ignorant, mais plutôt de l'ami qui t'emmène par la main pour te montrer un chemin que tu ne pourrais pas parcourir tout seul, par peur, par ignorance de son existence ou par manque de forces.

     "J'écris ce livre pour toi, et j'essaierai de ne pas te décevoir". La tâche est rude car le chemin de la construction axiomatique de la géométrie l'est, mais il est impensable que l'auteur marche seul loin devant, sans que celui qui souhaite comprendre reste à ses côtés et puisse répondre aux délicates questions:  Qu'est-ce qu'un point? Qu'est-ce qu'une droite? Qu'est-ce qu'un plan? et toutes les autres qui en découlent.

    Non, non "Ce n'est pas un roman". " Fil après fil, [le livre] tisse devant toi chacun des éléments de ta géométrie: chaque ensemble de points, chaque théorème, chaque transformation."

    Alors, comme Clairaut qui souhaitait placer le "Commençan" sur les traces du "découvreur" à travers la résolution de problèmes pour aborder l'univers mathématique,  Philippe Colliard adopte démarche analogue pour entrer en Géométrie par la porte axiomatique. L'apprenant tutoyé est celui qui va suivre le chemin du "découvreur" sans se faire abandonner ni manipuler en cours de route. Se faire abandonner car la pente serait trop rude et se faire manipuler par des tours de passe-passe rhétoriques ou des raisonnements évités pour poursuivre plus loin, au lieu d'expliquer le fondement.

    Aux frontières de l'étendue au sens géométrique, de l'espace physique géométrique, de la logique et de la construction axiomatique,  les gestes de l'auteur se doivent d'être précis et rigoureux, en fin pédagogue, pour que le binôme géométrie/lecteur reste lié tout au long du chemin.

    L'auteur a du faire appel à ce qu'il nomme 24 "métaxiomes", 8 physiques et 16 mathématiques, pour réaliser cette construction conjointe incluant le lecteur commençant. Ces métaxiomes pourraient être qualifiés d'axiomes pédagogiques. Ils n'enlèvent rien à la rigueur du propos mais permettent une approche plus visuelle, plus sensible des concepts abordés afin de mieux les appréhender

    P3-triang.jpgLe départ: qu'est-ce qu'un point?

    Le point perd son statut naïf d'objet comme on le conçoit de façon intuitive en le représentant par une croix, il devient l'emplacement sur lequel vient naturellement se placer ce qui est appelé un objet ponctuel.

    L'idée de cet objet ponctuel est tout simplement magique, pour ne pas dire mathémagique...

    Mais c'est quoi, un objet ponctuel?

    Son signe caractéristique est que c'est un "objet plus petit que petit"

    "Choisis un objet, n'importe quel objet. Par exemple un Airbus modèle réduit, télécommandé.

    Imagine (eh oui) que tu aies le pouvoir de le faire rétrécir 10 fois, cent fois,... un million de fois...

    Avec un microscope suffisamment puissant, tu peux tout de même retrouver sa forme, voir ses ailes, ses réacteurs. Ce n'est pas un objet ponctuel. Imagine que tu continues à le faire rétrécir, encore. Jusqu'à ce que, malgré tes efforts, il ne puisse plus rétrécir davantage!

    [...]

    Mais tu t'entêtes, tu t'acharnes a le faire rétrécir une fois de plus, une fois de trop, et l'Airbus implose. Il rentre en lui même. Et là, il perd sa forme. Aucun microscope, même surpuissant, ne te permettra plus jamais de voir que c'était un Airbus... C'est devenu un objet "plus petit que petit". [...]

    Maintenant tu as ton objet ponctuel.

    Qu'est-ce qu'un point? Tu ne devines pas? Un endroit "plus petit que petit". Seul un objet ponctuel pourrait l'occuper sans en  déborder... [...]

    D'où l'entrée en scène du premier métaxiome physique:

    Mphy-0     Un objet ponctuel qui se déplace occupe constamment un point. "

     

    Philippe Colliard explique:


    La construction axiomatique

    Pour le reste du voyage, et même tous les autres voyages, les escales, les terminus, afin de découvrir les boites à outils qui se créent à mesure que la dextérité et la compréhension se forgent, je ne vois qu'une possibilité: terminer l'aventure avec le livre, dans le livre, en se laissant accompagner par l'auteur et les jeunes personnages qui n'oublient pas de faire "la bonne remarque au bon moment".

    Au fur et à mesure de l'avancée dans le livre, les intentions de l'auteur s'affirment: permettre au lecteur de saisir l'approche euclidienne de la géométrie. Il est difficile pour ne pas dire impossible que les collégiens entrent dans cet univers, malgré ce qu'en disait Jean-Baptiste De La Chapelle en 1763 qui était même plus ambitieux: 

    « Euclide peut être étudié à six ans ; l’on a à cet âge des yeux et des mains. »

    Le livre permet cette entrée, et même si le lecteur ne parvient pas à lire l'intégralité du livre, il est en mesure d'en saisir la portée et la philosophie générale dès les premières pages, celle de construire chacune des marches avant de faire un pas concernant des objets mathématiques abstraits et universels, afin de créer des vérités universelles. Cette démarche unique et particulière aux mathématiques est difficilement explicable, enseignable, visualisable sans un support ad hoc. 

    Quelques extrait de l'ouvrage sont présents sur le site Mathemagique.

    "... Donc, D'après..." Une construction axiomatique de la géométrie au collège" de Philippe Colliard, trouvera naturellement sa place dans la bibliothèque du collégien motivé, du lycéen intéressé, du parent curieux et de l'honnête homme qui souhaite approcher de façon concrète le concept de construction axiomatique en mathématiques.

    Ce livre intéressera aussi l'enseignant actuel ou futur, indépendamment du niveau d'enseignement. Il trouvera aussi tout à fait sa place au CDI d'un collège ou d'un lycée.

    Bonne lecture.

     

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    La couverture du livre.