Les paradoxes sont courants en mathématiques, et plus particulièrement à l'intersection de la logique et des probabilités. Trois chercheurs, dont une mathématicienne de l'institut Weizmann (Israël) se sont ainsi récemment intéressés à un jeu simple et célèbre, mais pourtant d'une complexité mathématique redoutable : trouver la stratégie optimale lors du tirage d'une pièce par deux joueurs.

Intuition trompeuse en mathématiques

Tout mathématicien qui se respecte sait ô combien dans cette science, l'intuition peut être bien mauvaise conseillère. L'un des paradoxes les plus connus est celui de Russell, nommé en l'hommage du mathématicien et logicien l'ayant découvert au début du XXème siècle. Son énoncé se résume à : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Cette simple question aboutit à une contradiction quelle que soit la réponse adoptée, ce qui a poussé les logiciens à devoir s'interroger sur la validité même de cet énoncé et l'existence d'un tel objet.

En probabilités, ces paradoxes existent également, sous une forme différence. Le paradoxe de Bertrand permet ainsi d'illustrer les limites de l'intuition humaine dans l'estimation de probabilités. Ce dernier démontre que, suivant la manière dont une personne pose un simple énoncé de géométrie, les subtiles différences dans la rédaction de ce dernier conduiront à un résultat bien différent.

Lançons une pièce

Nos trois mathématiciens, dont le professeur Irit Dinur de l'institut Weizmann, se sont donc attaqués à un jeu très simple : le tirage aléatoire de la face d'une pièce. La configuration classique est très simple : Alice et Bob (deux noms très communs dans la littérature informatique !) jouent deux tours de la manière suivante : Bob lance une pièce et Alice doit deviner de quel côté celle-ci est tombée. Ils réitèrent ensuite l'expérience en inversant les rôles. Quelle est la probabilité qu'ils arrivent tous deux à deviner correctement leur tirage? Là encore, l'intuition s'avère trompeuse : il nous semble à première vue que la meilleure stratégie a uniquement 25% de chances de réussir, en raison des deux tirages indépendants. Cependant, il faut garder à l'esprit qu'Alice et Bob ont chacun accès à la valeur de l'autre tirage. Ainsi, s'ils adoptent comme stratégie de supposer que les deux tirages sont les mêmes, leurs chances de gagner s'élèvent alors à 50%.

Tirage quantique

Afin de complexifier ce problème bien connu, les chercheurs se sont inspirés de la physique quantique et des lois particulières régissant l'infiniment petit. Ils ont ainsi imaginé que les deux tirages puissent s'intriquer. Plus précisément, il est connu en physique quantique qu'il existe des particules ayant un état dit intriqué : les propriétés des deux éléments sont corrélées, et ainsi, mesurer l'état de l'une d'entre elles donne une information additionnelle sur la mesure de la seconde. On parle alors d'intrication quantique pour décrire ce phénomène. Il est possible d'imaginer théoriquement une configuration analogue pour les tirages aléatoires d'Alice et Bob. Les trois scientifiques ont montré que dans ce cas-là, à moins d'une corrélation parfaite entre les deux tirages, la probabilité de gagner, quelque soit la stratégie, est toujours inférieure à 100%. Qui plus est, plus le jeu est répété un grand nombre de fois, plus la probabilité de gagner se réduit, tendant ainsi vers zéro à l'infini. Ainsi, même avec l'aide de la physique quantique, rien ne reste garanti au loto !

Source: http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/78427.htm