Inclassables Mathématiques 2.0

Merci pour ce bel exo.
je trouve 1/6 en utilisant une baguette de longueur 1 et p(x,y)=4xy la loi du couple (X,Y) de variables aléatoires correspondant (resp.) à la proba de se casser entre 0 et x (resp. et y).
Toutefois, j'en doute car je trouve cela bien faible...

Écrit par : scheman | 04 avril 2010

Réflexion faite, ce résultat est comparable à la version discrétisée où on ne peut couper la baguette qu'en 0; 0.2 ; 0.4; 0.6; 0.8; 1 et qui donne également 1/6.
Ah, l'intuition en probabilité ...

Écrit par : scheman | 04 avril 2010

Ce n'est pas le résultat que je trouve avec un régionnement du plan.

Écrit par : ol | 04 avril 2010

tu trouves 1/4 n'est-ce pas ? Je ne sais pas où est mon erreur ...

Écrit par : scheman | 04 avril 2010

Oui,c'est ça. Tu peux préciser comment tu trouves 1/6?

Écrit par : ol | 04 avril 2010

Je donnerai la réponse complète dimanche.

Écrit par : ol | 05 avril 2010

erreur de modélisation : j'ai confondu densité et fonction de répartition. La densité est simplement p(x,y)=1.
Soit L le symbole "strictement inférieur" (le symbole usuel ne passe pas ici on dirait).
Sans perte de généralité, supposons y L x (0 L= x et y L= 1 étant les positions des coupures sur la baguette). Alors les trois morceaux ont pour longueurs y, x-y et 1-x donc les ineg. triang. imposent
y L x-y+1-x soit y L 1/2,
x-y L y+1-x soit x L y+1/2 et
1-x L y+x-y soit x L 1/2.
Dans ce cas la proba se ramène au calcul de la double intégrale int(y=0..1/2, int(x=1/2..y+1/2, p(x,y).dx).dy) = 1/8 car p(x,y)=1.
On trouve le même résultat en étudiant x L y et comme les événements y L x et x L y sont incompatibles, et que l'événement x=y n'est pas favorable, le résultat est 1/8+1/8=1/4.

Écrit par : scheman | 05 avril 2010

N'est-ce pas le genre d'exo qui manque d'une information nécessaire pour avoir une réponse dénuée d'ambiguité ?

Je veux dire, tout dépend de ce qu'on entend par casser la baguette en trois morceaux aléatoires, non ?

Voilà, ça me revient maintenant : cet exo me rappelle le paradoxe de Bertrand :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand

Mais je suis peut-être à côté de la plaque, je vais y réfléchir qq minutes tout de même !

Écrit par : Fab | 05 avril 2010

Au plus simple, la réponse venant est 1/4 : puisque casser en trois morceaux revient à casser le tout en deux, puis casser un des morceaux en deux, il y a une chance sur deux pour que le premier prenne moins de la moitié de la baguette, et idem pour l'action suivante.

Donc (1/2)² soit une chance sur quatre.

Écrit par : Gilles | 05 avril 2010

D'ailleurs, en revenant sur ce que disait Fab, on est plutôt à du 1/2 au cas où le morceau est cassé en deux actions consécutives :

- en cassant la première fois, dans un cas sur deux le morceau prend plus de la moitié ; dans ce cas, impossible de faire un triangle (puisque la somme des deux autres longueurs sera forcément inférieure)

- donc en cassant la première fois, dans un cas sur deux le morceau obtenu prendra moins de la moitié ; et la somme des deux autres longueurs lui sera forcément supérieure, ce qui permet de faire un triangle

Après il reste le cas où le morceau est cassé en trois, instantanément (c'est bien Harry, ça) :-)

Écrit par : Gilles | 06 avril 2010

La réponse avec le régionement du plan (3 inégalités triangulaires, distances positives et x+y inférieur à 1 ) donne 1/4 :
http://img.over-blog.com/300x287/1/12/11/21/figureprobatriangle.png

Je pense que la modélisation du problème avec des ruptures successives n'est pas correcte.

Écrit par : ol | 11 avril 2010