Il se peut que dans certains cas,
on puisse démontrer une chose 
et son contraire

C'est l'inconsistance

Il existe des vérités mathématiques
 qu'il est impossible de démontrer

C'est l'incomplétude

La page de Gérard Villemin sur l'incomplétude de Gödel : ICI

Et la page Enigmes et Paradoxes : ICI

Gödel: Indémontrable mais vrai, l'article de Principia : ICI