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Les mathématiques chinoises à la pointe de la géométrie

Comment réconcilier la mécanique quantique qui cherche à comprendre les phénomènes à l'échelle atomique, et la relativité générale qui décrit la gravitation à l'échelle macroscopique ? C'est l'objectif de la théorie des cordes selon laquelle une unique force régie par des principes de symétrie particuliers aurait régné sur l'Univers aux tous premiers instants. Cette théorie dite de grande unification ne convainc pas tous les scientifiques, notamment du fait de l'impossibilité de mettre en place des protocoles expérimentaux validant ses principes. Pourtant, il est indéniable que le champ de recherche ouvert par ce type de théories est immense, et que les concepts mathématiques auxquels elles font appel stimulent la créativité des scientifiques.

 


Exemple de variété de Calabi-Yau
Crédits : Rogilbert


Cela est particulièrement vrai en géométrie différentielle, largement sollicitée pour répondre à ces questions, et notamment pour résoudre des équations très complexes faisant appel à des espaces de grande dimension (pouvant aller jusqu'à 11 pour certains d'entre eux). Proposer des espaces de compactification devient alors nécessaire pour traiter efficacement ces équations : une très célèbre conjecture en topologie formulée en 1954 par le mathématicien Eugenio Calabi postulait l'existence d'une certaine métrique dans une variété compacte kahlérienne. Les mathématiques chinoises se sont beaucoup penchées sur ce champ de recherche complexe et encore récent. Le mathématicien YAU Sing-Tung, récompensé de la médaille Fields en 1983, y a consacré sa carrière. Ce scientifique, après des études brillantes aux Etats-Unis dans les plus prestigieuses universités, a résolu en 1976 la conjecture de Calabi et a laissé son nom aux variétés de Calabi-Yau. Toutes ces analyses autour des variétés différentielles (objet de base pour les calculs en géométries différentielle) sont possibles grâce aux travaux considérables d'un autre célèbre mathématicien chinois, CHERN Shiing-Cheng (CHEN Xinshen). Sa définition des classes caractéristiques permet de définir précisément les propriétés topologiques de ces variétés et a durablement influencé la manière d'aborder la géométrie différentielle. Récompensé par le prix Wolf en 1984, il a laissé son nom à l'astéroïde 29552 Chern.

C'est aujourd'hui une nouvelle étape qui est franchie dans la compréhension et la caractérisation des espaces topologiques complexes avec la publication d'une série de trois articles dans la revue de l'AMS (American Mathematical Society). Fruit de la coopération entre l'USTC de Hefei (University of Science and Technology of China) et l'Imperial College of London, ces études prouvent l'existence d'une métrique Kahler-Einstein pour certaines variétés différentielles (variétés de Fano K-stable). Cette démonstration pourrait, selon les examinateurs de l'AMS, avoir un impact important sur la géométrie kahlerienne, essentielle pour comprendre les liens entre la géométrie et les équations aux dérivées partielles. Encore loin de présenter des applications concrètes, ces nouvelles preuves mathématiques viendront assurément alimenter une recherche foisonnante sur le sujet. Ces résultats sont surtout la marque d'un intérêt renouvelé pour ce champ des mathématiques en Chine et de la qualité de la recherche chinoise dans ce domaine.

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/76052.htm

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