A somme constante
Choisissez un nombre de ce carré, notez-le, rayez la colonne et la ligne correspondantes sur lesquelles vous ne pourrez plus choisir de nombres. Répétez cette opération jusqu'à l'obtention de 6 nombres. Faites en la somme et constatez que le résultat fait 111.
Saurez-vous expliquer pourquoi et construire d'autres carrés ayant cette même propriété d'avoir une somme constante en respectant la même procédure?
Commentaires
Pour construire un tel carré de côté n, rien de magique (humour). Si l'on suppose les coefficients dans R, il suffit de choisir une ligne comme on veut (par exemple) et la diagonale. Après le remplissage se fait tout seul puisque chaque sous carré de 2 par 2 a la même somme diagonale et antidiagonale. (comme n'importe quel sous carré d'ailleurs).
Si après on veut choisir la somme en question (111 dans l'exemple) il suffit de ne choisir que n-1 nombre et le dernier sera imposé par la somme voulue.
Si en plus on veut que les coefficients soient dans N, cela impose des inégalités lors du choix des nombres de la première ligne mais je n'ai pas regarder ce que cela donne. Au pire on peut le construire dans R puis prendre des multiples et des arrondis, cela devrait fonctionner.
J'ai trouvé... mais je n'ose pas lâcher le morceau tout de suite. Alors juste un exemple d'un autre carré qui marche : 1.
Comment ça, ça ne compte pas un carré d'une case ? Bon d'accord, la somme de celui-ci vaut 1105 : http://bit.ly/hEGca9
@ Corentin... cela devrait fonctionner mais il y a plus simple.
@ Benoit... je crois que tu as compris le truc :)
Bien sur la méthode utilisée dans les deux exemples plus haut est plus simple, mais ne donnera que 2*(n!)² carrés de ce type si je ne me trompe, alors qu'il en existe bien d'autre n'ayant pas la caractéristique de faire apparaître une et une unique fois chaque nombre entier entre 1 et n² qui n'est pas une condition imposée par l'énoncé.
Pour ma part, j'ai utilisé une propriété logiquement équivalent à la votre (sur la différence entre colonnes ou entre lignes). Il y a un carré simple qui remplie ces conditions (il se trouve que ces coefficients vont de 1 à n²), il suffit de mettre un peu de désordre pour faire croire à sa complexité. En voilà un carré aléatoire de somme 833 (réalisé sous Open Calc) : http://bit.ly/hTi9vx
Benoît, j'ai raccourci les adresses car la plateforme considère l'arobase comme une adresse mail et les modifie... c'est beau le progrès.
Ce type de tableau est tout simplement une table d'addition avec deux séries génératrices. Ici: en ordonnées la dernière colonne du tableau (25,31,13,1,7,19) et la série (3,1,5,2,4,0) en abscisses. On retrouve ainsi un peu mélangées les séries (0,1,2,3,4,5) et la série (1,7,13,19,25,31).