Le théorème japonais (11 juin 2009)

Le théorème japonais s'illustre parfaitement à l'aide d'un sangaku qui est en fait une énigme mathématique visuelle.
Vous allez voir c'est très simple à comprendre ( peut-être un peu moins à démontrer!) et c'est très visuel:

Prenons un cercle.

Plaçons des points sur le cercle.

Relions ces points de façon à former un polygone dont les cotés ne se croisent pas.

C'est possible que la figure ressemble à ça pour 7 points :

 

 

cercle.png

Nous allons ensuite faire une triangulation, c'est à dire paver tout simplement le polygone avec des triangles, dans les bleus, comme ceci, pour les garçons:

 

cercle2.png

Et puis dans les roses pour les filles :

cercle3.png

Ensuite on construit les cercles inscrits de tous ces triangles ( si vous avez oublié, le centre est le point d'intersection des bissectrices), ça nous donne quelque chose qui ressemble à ça pour les filles :

 

cercle4.png

Magnifique non? Et imaginez un peu le résultat en bleu pour les garçons. Le plus surprenant dans tout ça, c'est que la somme des rayons des disques "roses" sera égale à la somme des rayons des disques "bleus"  et en fait sera égale à la somme des rayons des disques formés par toute triangulation. Le résultat sera aussi vrai quelque soit le polygone inscrit dans le cercle initial et quelque soit son nombre de cotés.

On peut voir le résultat pour 3 triangulations différentes dans un hexagone ( animation interactive réalisée avec geogebra qui nécessite java), n'hésitez pas à décocher les cases pour faire disparaître une ou deux triangulations et à dépacer les points du polygone sur le cercle.

Cliquez sur l'image :
cercle5.jpg
C'est joli non ?

Source et compléments sur le blog division by zero

L'énoncé du théorème et la preuve en français

18:36 | Tags : sangaku, geogebra | Lien permanent | Commentaires (6) |  Imprimer |  Facebook | | | | Pin it! |