Inclassables Mathématiques 2.0 - simulations-modelisations

Les mathématiques pour combattre les épidémies

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Sat, 26 Mar 2011 19:48:45 +0100

l'aide de modèles mathématiques, deux chercheurs de Szeged ont montré qu'en vaccinant prioritairement les enfants, une épidémie pouvait être réduite de 10%.

L'utilisation de modèles mathématiques permet de mieux comprendre comment se propage une épidémie et facilite ainsi la mise en place de techniques d'intervention efficaces pour limiter les impacts de la maladie. Afin d'optimiser les campagnes de vaccination et de déterminer un calendrier de vaccination optimal, deux mathématiciens de Szeged ont mis au point une cinquantaine de modèles mathématiques en classant les individus en fonction de leur âge.

Jusqu'à présent, les scientifiques cherchaient à déterminer la répartition optimale des doses vaccinales disponibles entre les différentes catégories de la population. Les deux mathématiciens ont étudié les effets de campagnes de vaccination au cours desquelles les différents groupes de population recevaient leurs doses les uns après les autres. Leurs résultats révèlent que la concentration des campagnes de vaccination sur les enfants et leurs parents serait la meilleure stratégie à adopter pour éviter la dissémination massive de la maladie.

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/66143.htm

Dis "Pourquoi?"

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Tue, 15 Mar 2011 15:22:00 +0100

L'objectif de ce billet est de se demander s'il peut exister une théorie générale des questions "Pourquoi?", ou de l'explication en général, de montrer que des philosophes et des scientifiques s'intéressent à cette question, et d'essayer de comprendre en quels termes est-ce qu'elle peut se formuler, quelles sont les difficultés liées à son élaboration. On ne pourra bien sûr pas traiter la totalité de ce sujet dans un simple billet de blog, compte tenu de l'ampleur de la tâche, de sa difficulté, du fait que l'on ne dispose certainement pas actuellement des bases théoriques suffisantes et aussi, signalons-le, des limites vite atteintes de l'auteur!

Les questions "Pourquoi?"

Lorsque l'on demande à Teddy et Valentin, "Pourquoi les léopards ont-ils des tâches?", voilà ce qu'ils répondent:

L’histoire se passe dans la jungle, en Afrique. Nous sommes le 31 mars, avec trois meilleurs amis. Il y a Benji, un jeune léopard sans tâches, Chita et Kikou, ses deux amis singes. Comme chaque jour, ils jouent à trap-trap et à courir dans la jungle. Chita et Kikou adorent se cacher ou se percher dans les arbres. Mais Benji a beaucoup plus de mal pour les attraper. Eux, ils sont habitués à grimper et à sauter d’arbre en arbre. Pour Benji, il faut courir plus et user beaucoup d’énergie pour grimper dans l’arbre où se trouvent ses amis.
Chita et Kikou, très farceurs, décident de faire une farce à leur ami pendant sa sieste. Ils lui mettent des tâches de peinture noire sur son pelage. Benji se réveille et ne remarque rien. Il part à la recherche de ses amis. Mais il se pose des questions : « Pourquoi tout le monde me regarde et rie quand je passe ? » Arrivé au bout de la jungle, il retrouve Chita et Kikou. Ils tiennent un bout de miroir et se tordent de rire. Benji sursaute de peur quand il se voit avec son pelage tout tacheté de noir. Il comprend pourquoi les habitants rigolaient. Voyant leur ami triste, Chita et Kikou disent : « Poisson d’avril ! » Chose qu’ils ne savent pas, c’est que c’est de la peinture indélébile. Du coup, Benji rit aussi, il aime son nouveau look. Surtout depuis que les jeunes léopards l’admirent ! Voila pourquoi les léopards ont des tâches. On trouvera d'autres réponses d'enfants à la question "Pourquoi?" ICI.

Lorsqu'on pose la même question au scientifique voilà l'un des éléments principaux de la réponse qu'il propose, et l'on est bien loin de celle de Teddy et de Valentin:

Une réponse intermédiaire entre le conte et la modélisation mathématique, serait le récit du vulgarisateur:

Ce qui est étonnant et remarquable, c'est que l'équation mathématique montre que les différents motifs de pelage dépendent seulement de la grosseur et de la forme de la région où ils se développent. Autrement dit, la même équation de base explique tous les motifs. Mais alors, pourquoi les tigres et les léopards ont-ils des motifs différents puisque leurs corps sont très similaires ? Parce que la formation des motifs ne se produirait pas au même moment durant la croissance de l'embryon.
Dans le premier cas, l'embryon serait encore petit et, dans l'autre cas, il serait déjà beaucoup plus gros. Plus précisément, l'équation montre qu'il ne se forme pas de motif si l'embryon est très petit, qu'il se forme un motif rayé si l'embryon est un peu plus gros, un motif tacheté s'il est encore plus gros, et ... aucun motif s'il est trop gros !
Voilà pourquoi la souris et l'éléphant n'auraient pas de taches !

A travers cette question, il semble flagrant que la question du "Pourquoi?" est relative, que la connaissance de l'interlocuteur est fondamentale. Une théorie du "Pourquoi?" pourra-t-elle se constituer indépendamment de celui-ci?

Un autre type de question va faire apparaître une nouvelle difficulté. Par exemple on peut se demander: "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?"

La première idée qui viendrait à l'esprit est de considérer que cette question est du domaine religieux et qu'elle ne trouvera aucune réponse. Si cette remarque est vraie et renvoit la problématique vers la construction des mythes fondateurs, il n'en reste pas moins que si l'on tente d'y répondre, force est de constater que son ambiguité n'est pas religieuse mais, bel et bien, sémantique.

On peut en fait répondre à "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?". La problématique implicite étant de répondre à la question "Pourquoi lui?".

On peut aussi répondre à "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?", la problématique implicite étant maintenant de savoir pourquoi cette action a été réalisée et non une autre, comme l'écraser, la donner, la cacher.

Il reste une dernière interrogation du type "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?", sous entendu, pourquoi ce fruit, pourquoi un fruit?

Contrairement à l'exemple précédent où la connaissance de l'interlocuteur avait une place capitale une fois que la question était posée, dans ce cas présent, c'est la question elle-même qui peut être ambigüe, trop lâche. Il paraît donc important de se prémunir devant ces ambiguités en formulant une question "Pourquoi?" satisfaisante permettant d'assurer une réponse pertinente. Il est important de connaître l'angle d'attaque de la réponse satisfaisante. Mais est-il possible de construire ce type de questions? Là aussi c'est un point incontournable de la possibilité de formuler une théorie du "Pourquoi?".

Dans le domaine mathématique, des questions "Pourquoi?" peuvent aussi apparaître, comme par exemple :

Le problème qui se pose ici est encore d'un autre niveau que les deux précédents. Il s'agit de comprendre que ce n'est pas parce qu'une chose est vraie et qu'elle est prouvée, qu'elle est expliquée. Le résultat énoncé plus haut est vrai mais la question est de savoir "Pourquoi est-ce que c'est Pi/4 qui se trouve à droite de l'égalité et pas un autre nombre?", sous entendu quel est le lien explicatif entre le membre de gauche et celui de droite? On va donc voir arriver un gros problème avec le statut de la démonstration mathématique et du calcul. Démonstrations et calculs ne sont pas tous explicatifs. La démonstration, le calcul ne répondent pas de façon inconditionnelle à la question du "Pourquoi?". Dans le champ des mathématiques, une théorie du "Pourquoi?" ne pourra pas se contenter de l'existence d'une démonstration valide ou d'un bon calcul.

Si l'on reste dans le domaine des mathématiques, un autre type de question "Pourquoi?" pose problème. C'est celle qui demande pourquoi est-ce que l'on fait tel type de chose pour faire une démonstration? Par exemple "Pourquoi introduire la fonction "machin" pour démontrer le résultat "truc"? Et le professeur de mathématiques ne s'y trompe pas car sa réponse est presque toujours invariable même si elle n'est en rien explicative "On fait ça parce que ça marche!". On voit donc bien qu'il y a là une difficulté réelle qui aborde la naissance des idées, la justification de l'intuition, la justification d'une étape "deus ex machina".

D'autres questions "Pourquoi?" peuvent aussi s'avérer problématiques, comme par exemple: "Pourquoi JFK est-il mort le 22 novembre 1963?". Une fois levées les ambiguités de la question sur les attentes (JFK, mort ou date), il est ici question de l'explication historique. L'histoire ne se répétant pas, peut-on concevoir une "explication historique". L'explication relevant principalement de la rationnalité et de la science, n'est-on pas dans l'incapacité d'expliquer l'histoire, sauf à la considérer comme science, ce qui n'est pas sans apporter un autre lot de difficultés?

Les questions exclusivement scientifiques ne sont pas non plus sans poser de problème!

Y a t'il une meilleure explication que les autres à cette question : "Pourquoi aucun observateur ne peut se déplacer plus vite que la lumière ?" ?

"Pourquoi les lois de Kepler sont-elles valides ?" Le "vrai" physique, comme nous l'avons vu juste au dessus, n'épuise pas à lui seul la question du "pourquoi".

Derrière ces quelques "questions-pourquoi", nous voyons pointer la difficulté de concevoir une théorie qui permettrait d'englober toutes les réponses possibles et de sélectionner parmi elles, celle qui est la plus pertinente. Cette théorie devra de plus nécessairement contenir les "questions-pourquoi" des mathématiques. La réponse au "Pourquoi?" se devant d'être explicative, il faudra se confronter à la nature de l'explication qui soulignons-le, ne peut pas éliminer le récepteur, introduisant ainsi une forte part de relativité, bien inconfortable en sciences par exemple.

Pouvons-nous concevoir une théorie du "Pourquoi?"? Est-il possible de la mathématiser, et est-elle compatible avec les mathématiques? Pour préciser les choses , la théorie des questions-pourquoi impose que le particulier puisse se déduire de la règle. Cela exige aussi de savoir s'il est possible de lever toutes les ambiguïtés associées à ce type de question, comme nous pouvons le constater dans les questions sur Adam et la pomme. Il faut aussi se poser la question, si l'on choisit d'associer la meilleure explication à la meilleure probabilité de certitude, de savoir si la démonstration mathématique (de probabilité 1) est toujours explicative. Il faut aussi se poser la question de savoir si l'on parvient à expliquer le "Pourquoi faire cela?" en vue d'une démonstration, plutôt qu'autre chose, mettant ici de l'arbitraire là où il ne devrait pas y en avoir.

Modélisation numérique de la propagation du tsunami

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Sun, 13 Mar 2011 21:35:00 +0100

Quel est le losange de côté donné et d'aire maximale? Réponse avec Casyopée

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Sun, 06 Mar 2011 16:03:00 +0100

J'aime beaucoup faire modéliser cette situation aux élèves qui éprouvent déjà d'énormes difficultés pour créer un losange "articulé" sur GeoGebra si l'on ne leur donne aucune indication, non pas sur le fonctionnement du logiciel, qu'ils connaissent pour la plupart, mais sur la façon de s'y prendre, de concevoir le versant "dynamique". La démonstration manuelle en devient presque une libération lorsque l'on revient sur un chemin difficile mais mieux balisé.

J'ai traité cet exercice avec le logiciel Casyopée qui m'impressionne. Les résultats algébriques sont découverts au fur et à mesure de l'avancée de l'exercice. Le logiciel permet de plus de réinvestir des stratégies de base. Il peut y avoir pour ce type de recherche une disparition presque complète de l'énoncé, l'élève arrivant à des résultats qu'il pourra (devra?) démontrer ultérieurement. Je vous laisse juge en parcourant l'animation suivante que vous pourrez retrouver directement dans votre navigateur ICI.

Casyopée, un logiciel formidable pour naviguer entre géométrie, fonctions et calcul formel

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Fri, 04 Mar 2011 11:21:00 +0100

Casyopée est un logiciel qui termine son développement et qui dispose dès maintenant d'une version stable. Il utilise le logiciel Maxima pour le noyau de calcul formel et offre parfois des menus qui ne sont pas très éloignés de ceux de GeoGebra. Il a été conçu et créé par une petite équipe dont la base est constituée de trois personnes:

Jean-baptiste Lagrange, enseignant-chercheur à l’Université de Reims, membre du LDAR (Laboratoire de Didactique André Revuz, Université Paris Diderot),

Bernard Le Feuvre, professeur au lycée Cassin de Montfort (Ille et Vilaine),

Xavier Meyrier, professeur au lycée Maupertuis de Saint Malo (Ille et Vilaine).

Le logiciel est libre et gratuit et pour se rendre compte des possibilités incroyables qu'il offre, il suffit de suivre l'excellent tutoriel pas à pas. Un wiki dispose déjà de quelques activités préparées pour les élèves.

Je présente ici deux brèves vidéos non exhaustives de présentation des possibilités du logiciel:

On pourra les visualiser directement dans le navigateur ICI et ICI.

Calcul formel et bloc-notes:

Géométrie, fonctions, étude de signe et de variation:

Pour compléter:

Casyopée conviviable sur SésaBlog

Qui est le meilleur joueur de tennis de tous les temps?

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Sun, 30 Jan 2011 16:24:00 +0100

Voilà une bonne question et si on la pose à M. Google voilà ce qu'il nous répond ou plutôt ce que les principaux utilisateurs de forums nous répondent.

Bon allez, en fonction de la tête du joueur, de l'âge de celui qui répond et ses connaissances tennistiques on voit apparaître les noms de Nadal, de Federer, de Börg, de Mac Enroe, Wilander, Edberg et cela seulement en consultant le premier lien précédent.

J'ai toujours révé de me faire interroger sur la question par un vrai journaliste sportif. Ah, tiens je le vois arriver.

Le journaliste sportif
- Bonjour, vous êtes Webmaster des Inclassables Mathématiques et passionné de tennis.

Moi
- C'est ça oui.

Moi (dans ma tête)
- J'adore qu'on m'appelle Webmaster avec un W majuscule.

Le journaliste sportif
- Alors pour vous quel est le meilleur joueur de tennis de tous les temps?

Moi
- Personnellement, je dirai Jimmy Connors à cause de ça:

Le journaliste sportif
- Je vois qu'en fait vous êtes très attaché à Connors car c'est un excellent showman mais objectivement, rationnellement, rien ne vous permet de dire que Jimmy Connors est le meilleur joueur de tous les temps.

Moi (dans ma tête)
- Le journaliste ne doit sans doute pas savoir que je suis prof de maths et que je peux apporter des arguments mathématiques et rationnels.

Moi
- Il faudrait en fait que je vous explique comment faire une analyse du réseau complexe de l'histoire du tennis professionnel depuis 1968 mais je ne sais pas si vous vous sentez d'attaque (de coup droit bien sûr).

Rires (en plus je fais rire le journaliste sportif, je suis aux anges...)

Moi
-Alors allons-y.

Nous allons tout d'abord définir les conditions de l'analyse. Nous prendrons en compte les résultats de tous les matchs joués par les joueurs de tennis professionnels entre 1968 et 2010. Tous les matchs du Grand Chelem et ceux intervenant dans le classement ATP seront pris en compte, soit au total 3700 joueurs, 3640 tournois et 133 261 matches.

Si le nombre de tournois est assez régulier avec cependant des pics en 1980 et 1992 avec plus de 90 tournois par an, le nombre de joueurs ne cesse de décroître linéairement depuis 1996 et est passé de 400 environ à 300, comme l'indique le graphique suivant:

Le graphique suivant indique la proportion de de joueurs ayant remporté ou perdu un nombre donné de matches. On voit que beaucoup de joueurs gagnent ou perdent peu de matches (en fait ils quittent les tournois rapidement. A l'autre bout, un petit groupe de joueurs (les meilleurs) jouent beaucoup de matches qu'ils gagnent généralement contre les plus faibles et aussi entre eux qu'ils gagnent ou qu'ils perdent, connu sous le nom d'effet Matthew (les pauvres deviennent plus pauvres et les riches plus riches).

Nous allons ensuite construire le graphe des rencontres. Il sera orienté (une flèche sera "tracée" à chaque victoire du joueur j vers le joueur i) et pondérée par le nombre de défaites du joueur j contre le joueur i.

Le graphique suivant est un sous-graphe extrait de celui de tous les joueurs concernant ceux qui ont été premier au classement ATP. L'intensité et la largeur d'une flêche sont proportionnelles au logarithme de son importance (poids).

La représentation de ce résau peut être utilisée pour classer les joueurs en calculant pour chacun leur taux de "Prestige" dont la somme serait égale à 1. Celà n'est pas sans rappeler la méthode de calcul du PageRank pour classer les pages Web.

Le prestige d'un joueur i représente la fraction de prestige totale de l'état d'équilibre du graphe dans un processus de diffusion. Pour expliquer en termes un peu plus simples, chaque nouveau résultat d'un matche modifie le "prestige" des deux compétiteurs puis par diffusion celui de tous les joueurs. Les mathématiques nous indiques que ce calcul converge vers un équilibre permettant de calculer le nouveau "Prestige" de tous les joueurs du graphes. Par exemple un joueur k qui a gagné contre le joueur i qui vient lui même de remporter un matche contre un adversaire fort voit son prestige augmenter.

Comme dans le cas du PageRank, il est nécessaire de fixer la valeur d'un paramètre (c pour le PageRank, q ici). La valeur a été choisie dans les deux cas.

Le graphique suivant indique le prestige en fonction du nombre de victoires (jusqu'à 7) pour différentes valeurs du paramètre q. Le choix de 0.15 est "traditionnel" et équilibré.

Plus le nombre de matchs gagné est grand plus le prestige est grand. Cependant, le nombre de match gagnés augmentant, le niveau de prestige doit être recalculé en implémentant une condition dite de normalisation, imposant qu'une quantité donnée soit constante. Elle permettra ainsi de définir un Prestige de référence a partir duquel tous les autres pourront être caculés. Cette condition impose que la somme des produits du nombre de victoires par le prestige pour chaque joueur soit égal à 1.

Et le résultat est bien celui que je vous avais donné. Jimmy Connors est bien le meilleur joueur de tous les temps:

Le journaliste sportif
- C'est certainement aussi celui qui a gagné le plus grand nombre de matches, c'est à dire dont la carrière a été la plus longue. Et les joueurs dont la carrière est terminée sont favorisés par rapport aux autres qui sont en cours de carrière. Alors pour ce qui est de la rationnalité de votre méthode de calcul permettez moi d'en douter.

Moi (un peu embarassé par les arguments du journaliste)
- Burp, c'est à dire que en fait... Vous voyez, il ne faut pas confondre le nombre de victoires et le prestige. Rafael Nadal par exemple serait classé 40 ème au nombre de victoires alors qu'il est à la 24 ème position dans notre classement. C'est aussi visible pour Björn Borg qui a eu une carrière plus courte que la moyenne et est cependant classé dans le top 10 de notre classement.
Pour ce qui est de la carrière en cours d'un certain nombre de joueurs, vous avez remarqué qu'il y a un biais. On peut penser à un classement annuel qui diffère parfois du classement ATP et IDF.

Il est possible aussi de penser à un classement par type de surface qui donnerait Jimmy Connors gagnant pour l'herbe et Andre Agassi pour les surfaces dures. Si l'on considère le meilleur joueur des tournois en terre battue c'est Guillermo Villas.

En faisant le calcul par décennie, Jimmy Connors est le meilleur pour les années 70, Ivan Lendl pour les années 80, Pete Sampras pour les années 90 et Roger Federer pour les anées 2000.

Le classement par "Prestige" est donc une nouvelle forme de classement qui ne coïncide d'ailleurs pas toujours avec les classements techniques et qui permet en outre de faire des comparaisons sur des temps longs.

Le journaliste sportif
- Merci, je crois que j'ai tout compris, enfin la partie non technique. Vos inclassables mathématiques ont prouvé leur incroyable efficacité et ont eu raison de mes inclassables joueurs de tennis.

Moi
-Si vous voulez de plus amples informations sur la partie technique de ces classements, je vous renvoie à l'article original de Filippo Radicchi publié sur ArXiv. Voilà c'est fini.

Toujours pas un as du dessin mais je me soigne...

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Sun, 13 Jun 2010 18:30:00 +0200

Voilà ce que j'ai réussi à faire en quelques minutes avec Scupltris sans rien connaître au logiciel... Alors imaginez en une heure si vous êtes fort en dessin !
Déformations, évidement, triangulation avant peinture, tout y passe avec une fluidité exceptionnelle.

Cliquez sur l'image pour agrandir.

Le dôme polyédrique

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Thu, 13 May 2010 16:45:34 +0200

Il s'agit d'un fichier Google Sketchup trouvé ICI

La dynamique des vaches

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Wed, 12 May 2010 14:29:00 +0200

Voilà un sujet fort passionnant qui va certainement intéresser Didier notre collègue blogueur. C'est d'ailleurs certainement la lecture de son blog qui a encouragé quelques chercheurs à se pencher sur le problème majeur bovin, à savoir: comprendre la dynamique des vaches ( repas, lever, coucher...). Qui n'a pas remarqué que lorsque l'une se couche , les autres ne tardent pas à le faire, et qu'il en est de même lorsqu'elles se relèvent?

La vache: Image prélevée sans autorisation (Aïe) sur le Blog-notes mathématiques du Coyote

Je vous vois déjà esquisser un sourire, en pensant que les matheux n'ont que ça à faire de se préoccuper de ce type de sujet, mais c'est sans compter les succès passés déjà obtenus dans le domaine du comportement collectif animalier avec quelques équations "simples". Les mathématiques ont réussi à modéliser le vol de oiseaux en groupe,s compris le comportement des essaims d'insectes, mis à jour la coopération des bactéries en phase de croissance et les décisions collectives des bancs de poisson.

Revenons à nos vaches. Pour les spécialistes, on peut imaginer que la vache est un oscillateur simple (un ressort par exemple) et que le comportement du groupe peut être modélisé par leur couplage. Les éleveurs ont d'ailleurs remarqué que lorsque les vaches ne peuvent pas toutes se coucher en même temps par manque de place la productivité chute. L'analyse quantitative du phénomène peut permettre de mieux comprendre ce phénomène par exemple en prenant la distance entre chacune d'entre elles comme variable. Il est aussi possible de mieux évaluer l'importance de paramètres externes (LSD?).

Compléments et Source: Publication Arxiv.

Mon mouton que j'ai adopté et qui est un peu jaloux que personne ne s'occupe de lui...

Fluctuation d'échantillonnage avec GeoGebra

noreply@inclassablesmathematiques.fr (Olivier Leguay) — Thu, 01 Apr 2010 15:40:00 +0200

J'ai transposé sur Geogebra la simulation des 1000 lancers d'une pièce donnant lieu à la visualisation du phénomène de fluctuation d'échantillonnage. Le fichier est ICI. Le calcul est plus lent que sur un tableur classique mais le logiciel y parvient.

Commandes du tableur:

Pour la simulation du lancer : AléaEntreBornes[0, 1]

Pour le calcul des fréquences : NbSi[x ≟ 0, $B$1:B1] / C2

( ≟ correspond à == )

Pour le tracé des points:

Litseabs=Plage[C2:C1000]

Listeordonnées= Plage[D2:D1000]

Listepoints=Séquence[(Elément[listeabs, i], Elément[listeordonnées, i]), i, 1, 1000]

Cliquer sur l'image pour l'agrandir