Inclassables Mathématiques 2.0

Lire les conséquences du théorème de Gödel dans l'article suivant :

http://www.jutier.net/contenu/kgodel.htm

" Les conséquences du théorème "

Les deux théorèmes de 1931 de Gödel sur l'inconsistance et l'incomplétude de l'arithmétique du premier ordre ont eu des répercussions importantes sur la pensée philosophique moderne.

La première conséquence de ces théorèmes est que la Vérité ne peut pas être exprimée en terme de démonstrabilité. Une chose prouvable n'est pas nécéssairement vraie et une chose vraie n'est pas toujours prouvable. Beaucoup de philisophes ont pensé le contraire et ont essayé de définir la vérité comme étant égale aux choses démontrables. De manière générale, dans quasiment toutes les entreprises intellectuelles conséquentes, on peut exprimer des arguments mathématiques simples et on risque donc de rentrer dans le cadre du théorème de Gödel. Je peux ainsi prétendre des choses fausses sans qu'on ne puisse démontrer le contraire.

De la même manière, je peux prétendre des choses vraies sans pouvoir me justifier par une démonstration De la même manière que l'ensemble des vérités est plus important que l'ensemble de ce qui est démontrable, la réalité est plus importante que l'ensemble des connaissances possibles. Contrairement aux enseignements de nombreux philosophes, être raisonné n'est pas simplement une question de règles. La raison est créative et originale. Pour trouver des vérités dans un système donné, il faut pouvoir s'en extraire et pour cela il faut une raison qui soit capable non pas de simplement rajouter des axiomes à un système mais d'en créer un nouveau dans lequel l'ancienne vérité indémontrable deviendra au contraire tout à fait démontrable.

La note du blog Anaximandrake : ICI

Autopsie d'une vie de famille

Forum : Pff c'est compliqué ! http://www.chez.com/at7760/f43.htm

La vérité n'est pas toujours prouvable : ICI

La page d'Yves Sagnier: ICI

Il se peut que dans certains cas,
on puisse démontrer une chose 
et son contraire

C'est l'inconsistance

Il existe des vérités mathématiques
 qu'il est impossible de démontrer

C'est l'incomplétude

La page de Gérard Villemin sur l'incomplétude de Gödel : ICI

Et la page Enigmes et Paradoxes : ICI

Gödel: Indémontrable mais vrai, l'article de Principia : ICI

Supposons que je divise en deux un dieu infini, alors est-ce que chaque morceau est infini ou fini ?

Si Dieu est tout puissant, est-ce qu'il peut créer une pierre si lourde qu'il ne puisse pas la soulever lui-même ?

Qu'est-ce donc que l'infini ?
Voilà les questions que peuvent se poser  philosophes et religieux.

Réponse des mathématiciens: " Un ensemble est infini si il est équivalent à un des ses sous-ensembles stricts "....
Est-ce une définition plus satisfaisante ?

Peut-être pas, mais elle permet d'aller plus loin... et de tomber sur le paradoxe suivant : L'ensemble de tous les ensembles appartient-il à lui même ?

Dans un fichier PDF de 14 pages, ICI, Bahram Houchmandzadeh, nous fait parcourir en introduction, rapidement mais de façon intéressante, l'infini des philosophes, pour détailler un peu plus ( dans une partie plus technique ) celui des mathématiciens et des physiciens. On rencontrera les incontournables Cantor et Gödel et une annexe qui montre que seul, dans un univers infini, l'atome d'hydrogène serait instable.


L'infini en mathématiques, un article ( PDF ) de 15 pages par Eliane Cousquer : ICI

Aurait-on pu confier le théorème de Fermat à un groupe d'Enarques qui nous auraient fait des directives, des super-directives ? Y seraient-ils arrivés en 300 ans? C'est impossible, il faut des idées!

Jean-Yves Girard (au sujet du formalisme en mathématiques - 19.45)

Une excellente conférence pleine d'humour.

• Introduction
• 10:10L'arithmétique de Peano
• 06:34Mathématique v.s informatique
• 12:20Paradoxes
• 04:40Les formalistes
• 10:58Imcomplétude
• 08:28Intuitionnismes
• 11:08Questions