Inclassables Mathématiques 2.0

Extraits ( PDF ) de " Les nouvelles d'Archimède", revue publiée par l'Université des Sciences etTechnologies de Lille.

27 - Bien ranger son argent p 20

28 -Tout nombre supérieur ou égal à deux est pair p 18-19

29 - Vous êtes la personne la plus riche du monde p 13-14

30 - Trois pensées suffisent toujours p 10-11

31 - Toute série converge vers Pi p 6-7

32 - Désolantes dérivées p 8-9

33 - Les deux enveloppes p  8-9

Et en accès direct :

34 - Le paradoxe des Dupont

35 - Mona Lisa au photomaton

36 - Impossible de gagner

37 - Echange de cravates

38 - Le réveil

39 - L'hôtel paradoxal

40 - L'interrogation surprise

41 - L'arithmétique malmenée par la géométrie

42 - Le grand méchant logicien et DOSSIER SPECIAL MATHEMATIQUES

43 - Mais qu'ai-je donc fait d'interdit ?

44 - Jetons noirs et jetons blancs

45 - Acheter une voiture au meilleur prix


Et un grand merci à Blog à Maths pour cette découverte.

La mise en ménage du couple a eu lieu depuis bien longtemps, c'est d'ailleurs presque une histoire de famille incestueuse entre les deux. Les Mathématiques ont donné naissance à l'Informatique puis l'Informatique, très soumise, a rendu bien des services aux Mathématiques, à tel point qu'on a parfois bien du mal à reconnaître, qui de l'Informatique ou qui des Mathématiques et que l'on ne sait pas très bien dans quelles conditions cela s'est fait ! Les fiançailles ont eu lieu  lorsque l'agrégation externe de mathématiques s'est vue dotée de l'épreuve d'Informatique et récemment d'une épreuve de modélisation mathématique ( ouf, je suis soulagé, j'ai bien fait des maths pendants 5 ans, jusqu'au DEA de Mécanique ! ). On pressentait l'officialisation de l'union avec l'apparition de l'épreuve pratique de mathématiques au Bac S.  Jean-Paul Delaye nous a déjà prévenu que la relation serait difficile dans son livre intitulé " Complexités - Aux limites des mathématiques et de l'informatique ".

L'union est désormais officielle. La revue de référence en matière de Sciences, la prestigieuse revue " Pour la Science" le confirme dans son numéro de Novembre 2007 " 30 ans d'aventure scientifique " en regroupant Mathématiques et Informatique dans la même rubrique.

Pendant ces 30 dernières années, la Science a produit 4 couples et un célibataire.

J'ai l'honneur de vous annoncer l'union de :

Biologie-Médecine
Astrophysique-Cosmologie
Sciences de la Terre-Archéologie

et le petit dernier :
Mathématiques-Informatique

Le célibataire? Et bien c'est la physique !

Et qu'on fait nos deux tourtereaux  ( l'un un peu plus jeune que l'autre! ) depuis trente ans? Ils n'ont pas chômés. L'informatique a explosé et les Mathématiques ont suivi un programme (  ils étaient déjà faits pour se rencontrer ), celui de Langlands - Références à l'article de Pour la Science Novembre 2007.

Alors pourquoi un PACS ? C'est très simple, aucune information à ce sujet n'étant paru dans les publications officielles, je ne puis déterminer le sexe de nos deux amants. Voulant prendre un risque minimum afin de ne pas m'attirer les foudres de quelques vélléitaires bien informés, je décide de parier, comme Pascal l'a fait bien avant moi sur un autre sujet, pour le PACS, permettant plus de "combinaisons" que le mariage.

Pour la signification de " PACS ", je vous propose :

Pour une Alliance Consentie et Solide.
Promesse d'Activités Calmes et Sérieuses.

Si vous avez d'autres idées...

Au XVIIIème siècle, les cabinets scientifiques permettaient de réaliser la triple tâche de montrer la science au public, de réaliser les toutes dernières expériences du moment et d'enseigner ces notions. Malheureusement, la physique s'est mathématisée et les sciences de la vie et de la terre se sont tellement complexifiées que cet âge d'or semble révolu. Je dis bien semble car la matinée que je viens de passer en donne un contre-exemple.


Alors que mes élèves de seconde étaient en interrogation, je me prélassais tranquillement sur mon siège et feuilletais non moins tranquillement le numéro d'octobre de "Pour la science". Comme à l'accoutumée, je me dirige directement vers l'article mathématique de l'excellent Jean-Paul Delahaye ( tag : ICI ). Il vient de signer un article intitulé " La marelle arithmétique ".

Cet article décrit les travaux d'un mathématicien "amateur" Benoit Cloitre et commence par décrire le " terrain de jeu " .
Il s'agit d'un tableau arithmétique. Le principe est très simple, pour commencer il suffit d'écrire les entiers sur la première ligne,et des 1 sur la première colonne. On écrit ensuite sur la deuxième ligne les entiers espacés d'une case, sur la troisième les entiers espacés de deux cases, sur la quatrième ligne, les entiers espacé de trois cases, etc... et voila le résultat.

Et quel est le premier constat?

En partant d'un nombre quelconque sur la première ligne et en prenant la direction de la diagonale Sud-Ouest, on visualise soit une diagonale vide si le nombre est premier ( 13 ), soit ses diviseurs ( 2 et 5 ) si ce nombre ne l'est pas ( 10 ) ( on dit composé ).

L'article va bien plus loin que cela, mais la simple visualisation géométrique de cette belle propriété liant les nombres entiers me suffisait pour montrer à mes élèves de seconde le magazine, leur expliquer ce tableau arithmétique et  leur dire que la science qui se voit, celle qui se fait et celle qui s'enseigne ne sont pas si éloignées que ça, comme c'éatit le cas au XVIIIème siècle.

Et de terminer l'intermède par la conclusion de l'article :

Les méthodes de travail de ce mathématicien peu ordinaire sont fondées sur des essais numériques prolongés et patients. D'après lui, "l'époque est formidable, car l'expérimentation mathématique est accessible à tout le monde. N'importe qui peut utiliser PARI/GP qui est téléchargeable gratuitement ( c'est un programme de l'Université de Bordeaux). Avec un peu d'imagination, on arrive à dénicher des choses en phase avec la recherche actuelle."

Cette conclusion est à méditer par les plus virulents détracteurs de l'épreuve pratique au baccalauréat.

Le lien du fichier PDF "Chemins dans un tableau arithmétique" de Benoit Cloitre : ICI

La question semble saugrenue, on se demande même comment une telle idée est concevable . Mais à y regarder de plus près, l'évacuer d'un revers de main serait un peu léger car quelques arguments tirés d'un raisonnement solide militent en la faveur du fait que nous ne le soyons pas!

Jean-Paul Delahaye nous les explique dans son excellent livre "Complexités", recueil d'articles qu'il a publié dans la revue "Pour la science".

Comme à l'accoutumée, je vais reprendre les éléments principaux sans détailler le fond de l'article auquel je vous renvoie si le sujet vous intéresse.

Nick Bostrom propose trois arguments dont la réfutation de deux d'entre eux entraîne nécessairement l'acceptation du troisième. Ces arguments s'appuient sur la notion de "société technologique arrivée à maturité".

Une société technologique parvient inéluctablement à l'idée de "simulation" et de "modélisation". Cette idée semble naturelle, comme nous pouvons par exemple le constater en ce qui concerne le climat. Une fois l'idée de simulation acceptée, il semble aussi naturel d'accepter la notion de progrès de cette simulation dont l'horizon final serait d'être capable de simuler le comportement du cerveau de façon suffisamment fine pour arriver à ce qu'il coïncide avec le nôtre et que la simulation soit suffisamment autonome et bonne pour la rendre incapable de réaliser que s'en est une.

Une société technologique arrivée à maturité est donc une société qui est parvenue au résultat précédent. Dans ce cas, le nombre de cerveaux simulés serait incomparablement plus grand que le nombre de "vrais cerveaux" qui les auraient simulés, une telle société utilisant très certainement tous les avantages de la simulation pour en tirer des conclusions sociologiques, historiques, économiques....


Les 3 arguments de Nick Bostrom sont les suivants :

Argument 1 : Toute civilisation technologique disparaît avant d'arriver à maturité.

Argument 2 : Les sociétés technologiques arrivées à maturité abandonnent les simulations de grande précision incluant le cerveau humain.

Argument 3 : Ma vie et mon environnement sont des illusions car je vis dans une simulation.

L'argument 1 est difficilement acceptable et l'est d'autant moins que les progrès dans ce domaine avancent et que l'humanité n'a pas encore disparu.

Accepter l'argument 2 va aussi à l'encontre du constat de ce qui est fait par l'homme jusqu'à maintenant et on a bien du mal à accepter l'idée d'un arrêt complet, brutal et arbitraire des progrès dans ce domaine!

Il reste donc l'argument 3....

L'article de Jean-Paul Delahaye est beaucoup plus dense et plus fouillé, il fait intervenir deux autres arguments ( que j'ai synthétisés et donc réduits).

Argument 4 : La simulation d'un cerveau ne créé pas l'équivalent d'un cerveau.

Argument 5: Il est impossible de créer une simulation si parfaite qu'aucun indice extérieur ne permettrait aux cerveaux simulés de s'apercevoir que s'en est une ( bug).

L'argument 4 est contredit usuellement et naturellement par les religions, sa réfutation demandant de nécessairement de se placer dans le champ des arguments religieux. L'argument 5 peut être contredit si l'on considère que tous les comportement irrationnels et inexplicables des humains et des sociétés entières peuvent être considérés comme des bugs.

Si vous refusez les arguments 4 et 5, il vous faut encore accepter l'argument 3....

Ajout du 10/02/2010

Avec l'aimable autorisation de JP Delahaye

Sommes-nous réels ?

Si vous êtes dualiste alors vous pensez que l'esprit et la matière existent et qu'ils sont en relation.

Si vous êtes matérialiste vous pensez que seule la matière existe et que l'esprit se ramène à son support physique.

Si vous êtes idéaliste, l'esprit existe et la matière est une illusion.

L'essentiel n'est pas d'avoir une position mais d'en assumer les conséquences.

On pourrait explorer l'hypothèse suivante : "Et si nous n'étions que des machines". Nous ferions dans ce cas, le pari de la validité du "mécanisme numérique" aussi dénommé "computationnalisme", c'est à dire que l'on supposera vrai le fait que l'on puisse décrire un être humain de façon suffisamment précise, afin de saisir son identité mentale (et physique).  Si cette hypothèse vous semble farfelue, il ne faut pas oublier que les progrès vont bon train dans ce domaine, qu'une stimulation du cerveau peut redonner des sensations visuelles et que certaines parties du corps peuvent être entièrement remplacées par un objet externe. Si l'on se rend bien compte du chemin qu'il reste encore à parcourir avant que cette hypothèse soit réalisée, on peut déjà en explorer les conséquences. C'est d'ailleurs ce qu'a réalisé Bruno Marchal dans sa thèse résumée par Jean-Paul Delahaye dans le numéro de "Pour la Science" de Janvier 1998.

Il doit être clair qu'il ne s'agit pas de présumer de la validité de cette hypothèse mais d'en explorer les contours et les problèmes qui s'y attachent en la prenant comme base de travail et en suivant un raisonnement logico-déductif rigoureux.

L'hypothèse du mécanisme numérique implique donc la possibilité du codage complet de l'humain et donc celle de recréer un équivalent mécanique ailleurs, plus connu sous le nom de téléportation. La position adoptée est donc ni matérialiste, ni dualiste, qui sont les deux conceptions les plus présentent, mais celle d'un idéalisme particulier, pas le même que l'idéalisme "mathématique". C'est celui des machines numériques abstraites dans lequel on retrouvera de façon surprenante la logique de la prouvabilité, l'autoréférence, les résultats de Gödel, la thèse de Church et où l'on devra voir accoucher la physique de la théorie des machines numériques , donc de la théorie de la calculabilité et dans lequel l'indéterminisme sera présent sous une forme très particulière.

Mais reprenons l'histoire au début.

Monsieur Machin sait qu'il est une machine. Il sait en fait qu'il est possible d'enregistrer sa description, de le reconstruire ailleurs en faisant voyager l'onde électromagnétique et d'annihiler la version de base. Monsieur Machin aura été téléporté si l'expérience est réalisée.

Il est cependant possible de compliquer un peu l'expérience. On peut reconstituer Monsieur Machin en deux endroits différents. Le seul problème est que Monsieur Machin sera dans l'incapacité de déterminer l'endroit où il sera après le transport. Il s'agit d'un indéterminisme "psychologique" sans aucun lien avec l'indéterminisme physique (quantique ou autre). C'est un indéterminisme "intime", du même type que celui rencontré par une amibe qui se duplique.

Photo: aldoaldoz

Poursuivons un peu plus loin le voyage.

Rajoutons l'hypothèse du fonctionnalisme, c'est à dire l'indépendance de la base matérielle. Seule compte l'organisation abstraite. Refuser cette hypothèse revient à accepter celle du vitalisme. Dans ce cas on peut imaginer l'existence d'un déployeur universel qui serait un programme, qui une fois lancé ne s'arrète jamais et qui fait fonctionner tous les programmes envisageables à tour de rôle (théoriquement possible). Il serait donc en mesure de reproduire tous les fonctionnements mentaux, et même si leur éxécution était interrompue, cette intérruption serait invisible de "l'intérieur". Mon cerveau est donc un programme de ce déployeur comme tout les cerveaux.

Un pas en avant peut encore être fait en abandonnant l'hypothèse de la supervénience physique ( thèse selon laquelle esprit et matière ne peuvent se passer d'un support physique), ce qui revient à dire qu'il n'est pas nécessaire de faire tourner ni d'écrire un programme pour qu'il existe, tout comme on peut accepter l'idée l'idée que les objets mathématiques préexistent à la pensée. L'esprit est donc dans ce cas un être arithmétique abstrait. La physique est rejetée comme résultat d'un calcul et plus particulièrement de celui permettant la communication de toutes les machines. Les résultats de Gödel seraient donc être les premiers pas d'une mathématisation de la psychologie.

Bien des points du sujet que je viens de traiter me dépassent, soit à cause de leur profondeur, soit à cause de leur technicité. J'espère ne pas avoir produit de contresens dans ce billet et si le sujet vous intéresse je vous recommande de lire l'histoire de la thèse de Bruno Marchal qui devait être publiée en 2000 :

Le secret de l'amibe

ou le résumé de 12 pages

Conscience, Matière et Mécanisme.

photo: cesarharada

Il arrive qu'un mathématicien ne parvienne pas à résoudre un problème difficile. Pourtant, après des années de travail, il est convaincu de sa solution. Il émet alors l'hypothèse que la solution est celle à laquelle il pense. Lors de cette annonce, cette hypothèse devient une conjecture, que d'autres mathématiciens vont tenter de résoudre. Parmi toutes les conjectures affirmées, rares sont celles qui persistent au-delà de quelques années sans être prouvées ou infirmées. C'est l'apanage des très grands mathématiciens que d'énoncer des propositions qui fournissent du travail à la communauté pendant des décennies, telle la conjecture de Poincaré, voire plusieurs siècles, comme le problème de Fermat.

La  Recherche -Les problèmes difficiles en mathématiques - Avril 2007

En particulier: La conjecture de Syracuse : La page de Sayrac : ICI , et les articles de Jean-Paul Delahaye :  ICI et un document plus complet (PDF) : ICI

Conjecture de Poincaré : les révélations de Perelman : ICI

Des conjectures , par Techno-sciences : ICI

Conjecturons, mais pas trop vite

sont données ICI à :

Gilles Dowek

Professeur informatique

 Laurent Mazliak

Probabilités Modèles Aléatoires

Jean-Paul Delahaye

Mathématicien Informaticien

Benoît Rittaud

Mathématicien

Philobistrot est une "idée à la con" d'Edouard et Julien, qui sont doc et post-doc de philo. Elle a germé lors de leur très nombreuses rencontres au bistrot.

6 dialogues sont déjà nés de cette "écoute" de nos deux protagonistes, dans lesquels on entend presque les pintes de bières qui se vident.

Le 6e Dialogue aborde par exemple la créativité en mathématiques. On trouvera ici les infos pratiques sur ce dialogue... ( prix de la pinte et articles de Delahaye!).

Je n'ai pas encore lu les autres dialogues mais j'y retourne...

A l'adresse suivante : http://www.radiofrance.fr/chaines/france-culture2/nouveau...

La première sur les limites logiques et mathématiques - Palais de  la Découverte -  Jean-Paul Delaye

A télécharger  avant début Mars !!!

 Les mathématiciens, convaincus de la justesse de certaines de leurs hypothèses, posent des conjectures. Ces propositions qu'ils pensent vraies mais qu'ils ne savent pas démontrer cèdent parfois à d'autres mathématiciens, quelques années, voire quelques centaines d'années après avoir été postulées. Ce fut récemment le cas de la conjecture de Poincaré démontrée par un des lauréats de la médaille Fields 2006. Peut-on dire si une conjecture est sur le point d'être démontrée ? Peut-on prévoir quand elle le sera ? Comment les mathématiciens estiment-ils qu'une solution est à portée de main ou qu'elle ne sera pas envisageable avant longtemps ? Certains blocages ne résultent-ils pas de difficultés logiques et peut-on dans certains cas affirmer qu'une conjecture ne sera jamais résolue ? Jean-Paul Delahaye aborde les limites logiques et mathématiques.

Une conférence donnée par Jean-Paul Delahaye, spécialiste en intelligence artificielle, professeur d'informatique et chercheur au sein du laboratoire d'informatique fondamentale de l'Université des sciences et technologies de Lille.

La deuxième sur la théorie du chaos - Musée des arts et métiers - Girolamo Ramunni :

Il existe dans la nature un grand nombre de phénomènes dont l'évolution à long terme échappe à toute prévision fiable : météorologie, arythmies cardiaques, activité solaire... La théorie du chaos nous aide à comprendre l'origine des limites du pouvoir prédictif de la science. A tous les curieux qui souhaitent appréhender l'ordre caché de la nature.

Une rencontre animée par Girolamo Ramunni, professeur au Conservatoire national des arts et métiers, avec Christophe Letellier, maître de conférence à l'université de Rouen.