Inclassables Mathématiques 2.0

Supposons que je divise en deux un dieu infini, alors est-ce que chaque morceau est infini ou fini ?

Si Dieu est tout puissant, est-ce qu'il peut créer une pierre si lourde qu'il ne puisse pas la soulever lui-même ?

Qu'est-ce donc que l'infini ?
Voilà les questions que peuvent se poser  philosophes et religieux.

Réponse des mathématiciens: " Un ensemble est infini si il est équivalent à un des ses sous-ensembles stricts "....
Est-ce une définition plus satisfaisante ?

Peut-être pas, mais elle permet d'aller plus loin... et de tomber sur le paradoxe suivant : L'ensemble de tous les ensembles appartient-il à lui même ?

Dans un fichier PDF de 14 pages, ICI, Bahram Houchmandzadeh, nous fait parcourir en introduction, rapidement mais de façon intéressante, l'infini des philosophes, pour détailler un peu plus ( dans une partie plus technique ) celui des mathématiciens et des physiciens. On rencontrera les incontournables Cantor et Gödel et une annexe qui montre que seul, dans un univers infini, l'atome d'hydrogène serait instable.


L'infini en mathématiques, un article ( PDF ) de 15 pages par Eliane Cousquer : ICI

D'autres exemples de musique fractale ( en bas de la page ) : ICI

Funky Cantor

Turing ( père de l'informatique ) : suicide au cyanure certainement suite à un traitement chimique de son homosexualité

Gödel ( certainement le plus grand mathématicien du XXème siècle ): mort de faim

Lovelace ( première programmeuse ) : sa mère cacha la morphine pour obtenir la redemption de sa fille alors qu'elle mourrait d'un cancer

Cantor ( a étudié la notion d'infinis ) : meurt à l'hopital psychiatrique

Riemann ( père de l'intégration ): meurt à 39 ans

Hypatie ( néo-platonicienne, disciple de Pythagore ) : tuée par les chrétiens pour paganisme en lui arrachant la peau avec des coquilles d'huitres et ses membres furent livrés aux flammes.

- Bonjour Monsieur.

- Bonjour, je vais prendre des oeufs façon Cantor.

- Oui Monsieur, nous les préparons et je reviens prendre le reste de la commande.

- Les voilà Monsieur.

Publié avec l'aimable autorisation de Kevin Van Aelst

- Vos sandwichs de Sierpinski sont excellents.

- C'est vrai Monsieur, c'est notre spécialité et nous les servons par cinq. Je vous apporte notre Sierpinski's Gasket?

- Oui.

- La prochaine fois vous tenterez nos toasts au nombre d'or. Je vous apporte une bouteille d'eau et une carafe de vin ?

- Oui, s'il vous plaît.

A consulter :

La source de l'article, le blog divisionbyzero

Le site de Kevin Val Aelst que je remercie pour me permettre de publier ici l'une de ses oeuvres

Le surprenant blog de Juan Guilado Cocina y Matematicas

Certains mathématiciens refusent l'idée que l'infini puisse être un concept que l'on peut utiliser. Ce sont les finitistes. Les plus radicaux d'entre eux sont les ultrafinitistes dont faisait partie le mathématicien russe Alexander Yessenin-Volpin, logicien et poète ( qui a été interné dans un hopital psychiatrique en 1949 pour "poésie anti-soviétique" !).

Lorsqu'on lui demandait si toutes les puissances de 2 avaient un sens, il précisait que la question devait être détaillée pour qu'il puisse y répondre et que chacun de ces nombres devait être étudié.

Il répondait presque instantanément que 2¹ était un réel. Lorsqu'on lui demandait si 2² était un réel, il mettait un peu plus de temps à répondre, puis encore plus de temps pour préciser que 2³ en était aussi un. Et si on lui demandait un jour si  2¹⁰⁰ était un réel, il mettrait  2¹⁰⁰  plus de temps à répondre que pour 2¹. Belle façon de montrer qu'il était impossible de répondre à la question et que l'infini est un concept qui n'a pas de sens.

Source: L'excellent livre "Au nom de l'infini" de Cantor et Graham

J'ai cherché une liste des plus grands mathématiciens de tous les temps sur Internet et je n'ai rien trouvé en français. J'ai donc décidé d'en reproduire une avec les liens Wikipédia.

Toute liste est sujette à polémique. Le classement que je propose en est un parmi d'autres. Je l'ai d'ailleurs repris sur ce site ( en anglais) et je ne pense pas que ma contribution apporte énormément à l'affaire. Si j'ai d'ailleurs nommé ce blog " Inclassables Mathématiques ", c'est devant le constat que la science du classement me parait elle-même inclassable ainsi que ses contributeurs.

La discussion au sujet  de l'ordre choisi peut d'ailleurs être intéressante, ainsi que les grands absents de cette liste. Le H apparaissant à coté d'un mathématicien indique qu'il apparait dans le livre de Stephen Hawking "Et Dieu créa les nombres" regroupant selon lui, les plus grands textes de mathématiques. Tag indique un lien vers le tag correspondant dans ce blog. Vous pouvez aussi faire une recherche directe dans ce blog sur le nom du mathématicien en le sélectionnant.

1 Archimède de Syracuse   H Tag
2 Isaac Newton H Tag
3 Carl F. Gauss H Tag
4 Leonhard Euler Tag
5 Euclide  d'Alexandrie H Tag

6 Bernhard Riemann H Tag
7 Henri Poincaré Tag
8 David Hilbert Tag
9 Joseph-Louis Lagrange
10 Pierre de Fermat Tag

11 Niels Abel
12 Alexander Grothendieck Tag
13 Évariste Galois Tag
14 Srinivasa Aïyengar Ramanujan Tag
15 Leonardo Pisano Fibonacci Tag

16 Gottfried Wilhelm Leibniz Tag
17 Eudoxe de Cnide Tag
18 Karl Wilhelm Theodor Weierstrass
19 Blaise Pascal Tag
20 René Descartes H Tag

21 Brahmagupta `Bhillamalacarya'
22 Augustin Louis Cauchy H Tag
23 Georg Cantor H Tag
24 John von Neumann
25 Aryabhatta

26 Carl G. J. Jacobi
27 Pierre-Simon Laplace H
28 Arthur Cayley
29 Amalie Emma Noether
30 Kurt Gödel H Tag

31 Apollonius de Perga
32 Pythagore de Samos  Tag
33 Muhammed ibn Musâ al-Khawârizmi Tag
34 Hermann Klaus Hugo Weyl
35 Bhaskara II

36 Takakazu Seki
37 Charles Hermite
38 André Weil
39 William Rowan Hamilton
40 Gaspard Monge Tag

41 Christiaan Huygens
42 Pappus d'Alexandrie Tag
43 Girolamo Cardano Tag
44 Jakob Steiner
45 Omar al-Khayyám Tag

H Diophante
H Jean-Baptiste Joseph Fourier
H George Boole
H George Friedrich Bernhard Dedekind
H Henri Lebesgue Tag
H Alan Mathison Turing Tag

Cette liste est destinée aux élèves de l'enseignement secondaire et du supérieur, au grand public mais aussi aux enseignants désireux de parfaire leur culture générale. Toutes les vidéos ne conviennent pas à tous mais le choix est très large. Les critères de sélection sont, suivant le cas: la qualité, la beauté, l'intérêt, la quantité. Ne sont pas exclues de cette liste des conférences de "haut-niveau". Certaines de ces vidéos sont en anglais. L'ordre de préentation n'est pas un classement !

En français ( principalement)

• Dimensions :Neuf chapitres, deux heures de maths, pour découvrir progressivement la quatrième dimension. Vertiges mathématiques garantis! Trouvez des informations supplémentaires pour chaque chapitre. [Leys, Ghys, Alvarez, ENS]

• L'extraordinaire aventure du chiffre 1 Une superbe vidéo diffusée par la chaine [Planète]

• Les entretiens filmés de CultureMath ( Les neufs chapitres, cantor, Newton, l'algèbre arabe, enseignement des maths, polyèdres)  [ENS]

• 71 vidéos mathématiques de Canal-U ( méthode statistique en médecine, d'une nature fractale, Gödel, estimation, Pi, les mathématiques de l'évolution...) [Unisciel : L'Université des Sciences en Ligne]

• 14 vidéos Archives Audiovisuelles de la Recherche. Le programme AAR a été créé en 2001 par Peter Stockinger et l'Équipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias [ESCoM] de la Fondation Maison des Sciences de l'Homme [FMSH] à Paris. Il est devenu, aujourd’hui, un acteur important en France et en Europe dans la collecte, le traitement (informatique, sémiotique et cognitif), la préservation, l'édition, la publication des patrimoines audiovisuels culturels et scientifiques. Voir aussi Jean Dhombres, Jean Petitot.
  

• Le catalogue du Centre de Ressources et d'Information sur les Multimédias pour l'Enseignement Supérieur (4150 résultats) [CERIMES]

• Vidéos de conférences de [l'IREM de Rennes]. (cryptologie, utilité, sondages, bâtiment, culture générale...)

• Les vidéos de l'IREM Paris VII.( enseignement, compression, ADN, logique, chaos, perspective...)

• Les conférences de la [Cité des Géométries]. La Cité des Géometries, issue de la rencontre en 1993 avec le fondateur du mouvement MADI, a pour objectif de favoriser le partage des connaissances et le dialogue entre les hommes et les savoirs. Omniprésente dans la nature et dans les production humaines, matérielles et immatérielles, la géométrie évidente ou cachée est une excellente clef d'entrée dans la connaissance.

• Les vidéos de Curiosphère.tv 20 vidéos ( Denis Guedj, Philippe Meirieu, Hubert Reeves, témoignages...) [France 5]
  

• En vrac chez moi , en français ou en anglais, de toutes qualités. Sur Youtube et Dailymotion.
  
  

Vidéos exclusivement en anglais

• Les Mathématiques de l'avent From December 1 to 24, 2006, we presented one mathematical movie per day. Each one comes with a short description and related links.[ Hans-Christian Graf von Bothmer Leibniz Universitität Hannover,  Oliver Labs Universität des Saarlandes Saarbrücken]

• Mathematics illuminated :This is a thirteen-part series for adult learners and high school teachers. The series explores major themes in the field of mathematics, from humankind's earliest study of prime numbers, to the cutting-edge mathematics used to reveal the shape of the universe. [Oregon Public Broadcasting]

• Les vidéos mathématiques de [l'Open University] sur Itunes. De nombreux films assez courts pour Iphone sur les maths appliquées mais aussi des cours de maths en vidéo. The Mathematics and Statistics Department.

Vidéos scolaires

• Le formulaire multimédia du Brevet [Hatier]

• Vidéos pédagogiques ( développements, factorisation, suites, géométrie..) [Irem]

• Vidéos scolaires de [Netprof]

• Vidéos pour le collège de [logedu]. Professeur certifié de mathématiques dans l'est de la France , j'ai le plaisir de vous proposer des cours vidéos couvrant tous les niveaux du collège. Chaque cours comprend une partie "activités" et une lecture commentée de la trace écrite du cours.

• Les vidéos de [Mihaï-Ioan Stoënescu]. En grec, "mathematikos" signifie "qui désire apprendre, scientifique". Ces vidéos (comme mon blog d'ailleurs) reflètent le plus fidèlement possible ma conception des mathématiques en...transdisciplinarité. A partir, à travers et au-delà des mathématiques, l'aventure et le voyage sont sans fin ! J'aime vous y conduire !!

• Cours en vidéo pour le collège de [Philippe Mercier].

• Video-maths sur Dailymotion

Si vous connaissez d'autres adresses, n'hésitez pas à me les communiquer pour que je les ajoute.

La voie la plus simple pour répondre à la question est de dire que par définition 0 est ou n'est pas un entier naturel. En mathématiques, il est possible de poser la définition  que l'on souhaite. Celle-ci se trouve marquée dans le marbre et interdit toute négociation possible. Considérons par exemple la construction de l'ensemble des entiers naturels de façon axiomatique. Le premier axiome dit que 0 appartient à cet ensemble.  0 sera ensuite défini comme le plus petit élément de cet ensemble par un axiome suivant.

L'ambiguité sur la présence du zéro dans l'ensemble des entiers naturels est abordée très clairement dans l'article de Wikipédia sur le sujet:

Au début :

En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».

Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre…

Au milieu :

Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N₀ ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant.

N

De nombreux réflexes apparaissent avec cette correspondance "nombre" à "élément" qui permet par exemple de se représenter les grands  nombres, c'est la notion d'ordre de grandeur. Dans les livres de science ou d'une façon plus générale, dans les médias, on présente un ensemble comme ayant le même ordre de grandeur qu'un autre. Cela permet de se faire une image mentale de la quantité d'éléments de l'ensemble. Par exemple, j'ai à peu près autant de cheveux sur la tête qu'il y a d'Orléanais... (je sais ce n'est pas un bon exemple... allez je vous aide en donnant un indice avec le nombre attribué au dernier de mes cheveux: 113 000 ).

L'étape suivante est donc d'utiliser ces étiquettes comme standards pour des ensembles équipotents. 5 devient donc un mot pour dire qu'un ensemble possède autant d'éléments que ma main comporte de doigts.

Les langues ont différents usages pour dénombrer. Par exemple, en anglais on trouve "one man" et "a man", "a" n'étant pas considéré comme un nombre alors qu'il en a le sens. En français, on ne distingue pas "un homme" de "un homme", où les deux "un" correspondent d'une part au nombre et d'autre part à l'article. Dans certaines langues les nombres s'accordent en genre.

L'ensemble vide (par exemple la pièce qui ne contient personne ou zéro personne) est associé au nombre zéro. Là aussi on trouve des usages assez particulier comme en langue anglaise dans laquelle on trouve le singulier "one man", le pluriel "two men" et puisque "zero" n'est pas singulier, il est pluriel "zero men"! On voit donc au travers de ce simple exemple que "zéro" est loin d'avoir été naturellement intégré dans les langues comme nombre cardinal.

L'émergence du concept du zéro a été très longue. Les premières traces de cette idée sont certainement une colonne vide sur un abaque de Chine antique. Beaucoup plus tard un symbole a été utilisé en Inde à la place de ce vide.

Les nombres ordinaux

Lorsque les enfants commencent à compter, ils ne distinguent pas les nombres cardinaux (1,2,3...) des nombres ordinaux (1er, 2ème, 3ème...). La distinction se développe progressivement sans d'ailleurs qu'ils apprennnent jamais vraiment à faire la différence. Là encore la langue anglaise est un parfait exemple puisqu'elle a conservé la numération ordinale pour les dates " 5th February 2011" qui se réfère au 5ème jour du mois nommé février, à ne d'ailleurs pas confondre au 5ème mois qui serait appelé février. En français on utilise une date qui serait un peu plus cardinale " 5 février 2011" sous-entendu 5 jours écoulés depuis le début du mois.

La notion de nombre ordinal est associée en mathématiques à celle d'ensemble bien ordonné. C'est justement celà qu'avait découvert Cantor, dont nous avons parlé précédemment. Dans un ensemble bien ordonné on peut classer toutes les parties non vides possède un plus petit élément. Par exemple l'ensemble {1,2,8} est bien ordonné car chacune de ses parties {1},{2},{8},{1,2},{1,8},{2,8},{1,2,8} possède un plus petit élément.

Nous parvenons de plus à étiqueter chacun des éléments d'un ensemble bien ordonné par un nombre entier 1 puis 2 puis 3, le dernier nombre atteint correspondant à la cardinalité de l'ensemble. Il y a donc une correspondance entre la cardinalité et l'ordinalité. Le nom des étiquettes (cardinal) correspond en fait à la position de l'élément dans la liste ordonnée (ordinal). Presque tous les noms des nombres ordinaux sont d'ailleurs dérivés de ceux des cardinaux sauf dans le cas de "premier" et si nous avons "deuxième" en français, il n'en est pas de même en anglais où l'on ne trouve que "second". Sinon pour tous les suivants, il y a une correspondance exacte entre les deux types de nombres.  Ceci indique que la distinction entre ordinaux et cardinaux est un concept plus récent que les nombre cardinaux eux-même. On voit bien de plus qu'il n'existe pas de mot du type "0ème" ou "0th".

Avec l'expérience, nous apprenons que compter amène au même nombre indépendant du fait qu'un bon ordre soit choisi. Il n'y a que les mathématiciens qui prennent conscience qu'il est nécessaire d'apporter une démonstration permettant de faire le lien entre ordinal et ensemble bien ordonné. Pour les ensembles infinis, l'idée du comptage et du classement s'écroule. La première idée qui serait d'utiliser les mêmes noms pour les nombres ordinaux et cardinaux, ne convient pas  pour les ensembles infinis. Le problème est que nous ne savons pas si les cardinaux sont totalement ordonnés. Il  n'y a qu'en acceptant l'axiome du choix  que nous pouvons affirmer que deux cardinaux sont compatibles (c'est à dire qu'il existe un moyen univoque de choisir un élément d'un ensemble plutôt qu'un autre, il est donc théoriquement possible de comparer les cardinaux de deux ensembles infinis). Un autre problème est que nous ne connaissons pas quel est le cardinal suivant celui de l'ensemble des entiers naturels car cette question est équivalente à l'hypothèse du continu (c'est à dire de savoir s'il existe ou pas un cardinal  entre celui des nombres entiers ou des fractions de nombres entiers  -c'est le même - et celui des nombres réels). Ainsi, utiliser les nombres cardinaux comme noms d'ordinaux aboutirait à de sérieuses restrictions dans les fondements des mathématiques car l'ajout de l'axiome du choix, de l'hypothèse du continu ou leur négation aurait des conséquences non triviales. Ceci montre que les nombres ordinaux et cardinaux sont deux types d'objets différents et qu'il n'y a pas de raison, de réutiliser les nombres cardinaux comme étiquettes des nombres ordinaux, hormis dans le cas où c'est pertinent.

Il est à noter que les gens utilisent souvent des noms comme étiquettes des ordinaux comme dans l'ensemble {or,argent,bronze} pour les trois meilleurs compétiteurs. On peut aussi regarder l'ensemble des entiers relatifs: ...,-2,-1,0,1,2,... Si choisir 0 comme point de départ du comptage à droite et à gauche paraît naturel et simple, et fait coïncider l'ordinal et le nombre lui même, 1 est le premier nombre à droite de 0,  -1 est le premier nombre à gauche, cette référence 0 est arbitraire. On aurait tout aussi bien pu choisir 8 comme référence et ainsi 9 aurait été le premier nombre après 8, ce qui revient à ne plus pouvoir associer les ordinaux aux nombres. Les spins des particules sont définis par des nombres tels que 0,1/2,1,3/2,... De tels noms utilisés pour des situations spéciales ne disent rien sur que devrait être un étiquetage par défaut associé à l'ordre. Il n'y a évidemment rien de faux à utiliser d'autres ensembles que celui des nombres ordinaux comme étiquettes mais s'il en est ainsi, nous devons savoir ce qu'est exactement l'ensemble des nombres ordinaux. Un mot tel que "0ème" est parfois utilisé mais cela indique une image eronnée de ce que sont les nombres ordinaux. En faisant ainsi, on utilise simplement le nom des éléments d'un ensemble bien ordonné pour étiqueter les éléments d'un autre ensemble bien ordonné.

Un peu d'ordre

Il y a deux façons d'associer un ensemble bien ordonné à chaque élément d'un ensemble bien ordonné A. Par exemple prenons A={0,2,5}.

Le premier est de définir pour chaque élément de A l'ensemble :

Le deuxième est de définir pour chaque élément de A l'ensemble :

Si l'on utilise la première convention, il n'existe aucun élément associé à l'ensemble vide. Il y a au minimum un élément dans chaque ensemble même lorsque a=0. Si l'on prend la deuxième convention, il y a bien 0 qui est associé à l'ensemble vide mais aucun élément n'est associé à l'ensemble A entier, a valant au maximum 5. Le problème est qu'un ensemble bien ordonné qui possède n éléments comporte aussi n+1 "sections" et il n'y a aucun moyen de le contourner: